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    【考研类试卷】考研数学二-104 (1)及答案解析.doc

    • 资源ID:1395426       资源大小:46KB        全文页数:6页
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    【考研类试卷】考研数学二-104 (1)及答案解析.doc

    1、考研数学二-104 (1)及答案解析(总分:155.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.设 0,f(x)在(-,)内恒有 f“(x)0,且|f(x)|x 2,记则有( )(分数:4.00)A.(A) I=0B.(B) I0C.(C) I0D.(D) 不能确定2.下列无穷小中阶数最高的是( )(分数:4.00)A.B.C.D.3.设 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点,则 k 的范围是( )(分数:4.00)A.(A) |k|1B.(B) |k|1C.(C) |k|2D.(D) k24.下列说法中正确的是( )(分数:4.00)A.(A) 若 f(

    2、x0)0,则 f(x)在 x0的邻域内单调减少B.(B) 若 f(x)在 x0取极大值,则当 x(x 0-,x 0)时,f(x)单调增加,当 x(x 0,x 0+)时,f(x)单调减少C.(C) f(x)在 x0取极值,则 f(x)在 x0连续D.(D) f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值5.下列命题正确的是( )(分数:4.00)A.(A) 若 f(x)在 x0处可导,则一定存在 0,在|x-x 0| 内 f(x)可导B.(B) 若 f(x)在 x0处连续,则一定存在 0,在|x-x 0| 内 f(x)连续C.(C) 若存在,则 f(x)在 x0处可导D.

    3、(D) 若 f(x)在 x0的去心邻域内可导,f(x)在 x0处连续,且存在,则 f(x)在 x0处可导,且6.设 A 是 n 阶矩阵,则 A 可相似对角化的充分必要条件是( )(分数:4.00)A.(A) A 是可逆矩阵B.(B) A 的特征值都是单值C.(C) A 是实对称矩阵D.(D) A 有 n 个线性无关的特征向量7.设 f 有一阶连续的偏导数,且 f(x+y,x-y)=4(x 2-xy-y2),则 xfx(z,y)+yf y(x,y)为( )(分数:4.00)A.(A) 2x2-8xy-2y2B.(B) -2x2+8xy-2y2C.(C) 2x2-8xy+2y2D.(D) -2x2

    4、+8xy+2y28.设 B 等于( )(分数:4.00)A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)在(-,+)内可导,且 则 a=_(分数:4.00)填空项 1:_10.设 f(x,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分为= 1(分数:4.00)11.xy“-y=x2的通解为 1(分数:4.00)12.设,且 F(u,v)连续可偏导,则= 1(分数:4.00)填空项 1:_13.设 A 为一个装满水的半球形水池,半径为 R,若用水泵将 A 中水全部抽出,则克服重力做功为 1(分数:4.00)14.设 A 为三阶矩阵,A 的三个特征值为 1=-2, 2=1,

    5、 3=2,A *是 A 的伴随矩阵,则 A11+A22+A33= 1(分数:4.00)填空项 1:_三、B解答题/B(总题数:9,分数:99.00)15.证明:当 X1 且 z0 时,(分数:11.00)_计算_17.设 f“(x)Ca,b,证明:存在 (a,b),使得(分数:11.00)_18.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0,又(分数:11.00)_19.设 f(x)在(0,+)内一阶连续可微,且对满足 xf(x)+x3,又 f(1)=0,求 f(x)(分数:11.00)_20.一个容器的内表面侧面由曲线绕 x 轴旋转而成,外表面由曲线 x=在点的切线位于点与 x 轴交点之间的部

    6、分绕 x 轴旋转而成,此容器材质的密度为 求此容器自身的质量 M 及其内表面的面积 S(分数:11.00)_21.位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0,2),在该点处的切线水平,曲线上任一点(x,y)处的曲率与及 1+y2。之积成反比,比例系数为,求 y=y(x)(分数:11.00)_22.设 A 是 n 阶矩阵,证明: () r(A)=1 的充分必要条件是存在行阶非零列向量 ,使得 A= T; () r(A)=1 且 tr(A)0,证明 A 可相似对角化(分数:11.00)_23.设 A,B 都是 n 阶正定矩阵,P 为 nm 矩阵,证明:P T(A+B)P 正定的充分必要条件是 r

    7、(P)=m (分数:11.00)_考研数学二-104 (1)答案解析(总分:155.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.设 0,f(x)在(-,)内恒有 f“(x)0,且|f(x)|x 2,记则有( )(分数:4.00)A.(A) I=0B.(B) I0 C.(C) I0D.(D) 不能确定解析:详解 因为|f(x)|x 2,所以 f(0)=0,由|f(x)|x 2,得夹逼定理得 f(0)=0 由泰勒公式得 ,其中 介于 0 与 x 之间,因为在(-,)内恒有2.下列无穷小中阶数最高的是( )(分数:4.00)A.B. C.D.解析:详解 e x-e

    8、tanx=etanx(ex-tanx-1)x-tanx,所以3.设 f(x)=x3-3x+k 只有一个零点,则 k 的范围是( )(分数:4.00)A.(A) |k|1B.(B) |k|1C.(C) |k|2 D.(D) k2解析:详解 f(x)为三次函数,至少有一个零点,因为函数不单调,故要使函数只有一个零点,必须极小值大于零或极大值小于零由 f(x)=3(x2-1)=0,得驻点 x=1,且由图形可知,z=-1 为极大点,x=1 为极小点故,所以选(C)4.下列说法中正确的是( )(分数:4.00)A.(A) 若 f(x0)0,则 f(x)在 x0的邻域内单调减少B.(B) 若 f(x)在

    9、x0取极大值,则当 x(x 0-,x 0)时,f(x)单调增加,当 x(x 0,x 0+)时,f(x)单调减少C.(C) f(x)在 x0取极值,则 f(x)在 x0连续D.(D) f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析:详解 在 x=0 的任意邻域内都不单调减少,(A)不对;f(x),f(x)在 x=0 处取得极大值,但其在x=0 的任一邻域内皆不,f(x)在 x=1 处取得极大值,但 f(x)在 x=1 处不连续;由 f“(0)存在,得 f(0)存在,又 f(x)为偶函数,所以 f“(0)=0,所以 x=0 一定为 f(x)的极值点,选(D)5.下列命

    10、题正确的是( )(分数:4.00)A.(A) 若 f(x)在 x0处可导,则一定存在 0,在|x-x 0| 内 f(x)可导B.(B) 若 f(x)在 x0处连续,则一定存在 0,在|x-x 0| 内 f(x)连续C.(C) 若存在,则 f(x)在 x0处可导D.(D) 若 f(x)在 x0的去心邻域内可导,f(x)在 x0处连续,且存在,则 f(x)在 x0处可导,且 解析:详解 得 f(x)在 x=0 处可导(也连续) 对任意的 a0,因为不存在,所以 f(x)在 x=a 处不连续,当然也不可导,即 x=0 是 f(x)唯一的连续点和可导点,(A),(B)不对; 令 f(x)在 x=0 处

    11、不连续,当然也不可导,(C)不对; 因为 f(x)在 x0处连续且在 x0的去心邻域内可导,所以由微分中值定理有 f(x)-f(x0)=,其中 介于 z0与 x 之间,两边取极限得存在,即 f(x)在 x0处可导,且,选(D)6.设 A 是 n 阶矩阵,则 A 可相似对角化的充分必要条件是( )(分数:4.00)A.(A) A 是可逆矩阵B.(B) A 的特征值都是单值C.(C) A 是实对称矩阵D.(D) A 有 n 个线性无关的特征向量 解析:详解 (A)既不是 A 可对角化的充分条件,又不是 A 可对角化的必要条件;(B)是 A 可对角化的充分条件而非必要条件;(C)也是 A 可对角化的

    12、充分而非必要条件;A 可对角化的充分必要条件是存在 n 个线性无关的特征向量,选(D)7.设 f 有一阶连续的偏导数,且 f(x+y,x-y)=4(x 2-xy-y2),则 xfx(z,y)+yf y(x,y)为( )(分数:4.00)A.(A) 2x2-8xy-2y2B.(B) -2x2+8xy-2y2C.(C) 2x2-8xy+2y2D.(D) -2x2+8xy+2y2 解析:详解 令 x+y=u,x-y=V,则,于是由 f(x+y,x-y)=4(x 2-xy-y2),得 f(u,v)=4uv-u 2+v2,故 f(x,y)=4xy-x2+y2,xf x(x,y)+yf y(x,y)=x(

    13、4y-2x)+y(4x+2y)=-2x 2+8xy+2y2,选(D)8.设 B 等于( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:详解 选(C)二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)在(-,+)内可导,且 则 a=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:详解 ,由微分中值定理得 f(x)-f(x-1)=f(),其中 x-1x,则,于是 e2a=e2,a=110.设 f(x,y)为连续函数,改变为极坐标的累次积分为= 1(分数:4.00)解析:详解11.xy“-y=x2的通解为 1(分数:4.00)解析:详解12.设,且 F(u,v)连续可偏导,则=

    14、 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:z)解析:详解13.设 A 为一个装满水的半球形水池,半径为 R,若用水泵将 A 中水全部抽出,则克服重力做功为 1(分数:4.00)解析:详解 取半球的球心为坐标原点,铅直向下的直线为 z 轴,则克服重力所做的功14.设 A 为三阶矩阵,A 的三个特征值为 1=-2, 2=1, 3=2,A *是 A 的伴随矩阵,则 A11+A22+A33= 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:-4)解析:详解 因为 A 的特征值为 1=-2, 2=1, 3=2,所以 A*的特征值为 1=2, 2=-4, 3=-2,于是A11+A22+A33=tr

    15、(A*)= 1+ 2+ 3=2-4-2=-4三、B解答题/B(总题数:9,分数:99.00)15.证明:当 X1 且 z0 时,(分数:11.00)_正确答案:()解析:当 x0 时,令 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x),显然 f(0)=0,因为 所以 f(x)在(-,0)上单调减少,所以当 X0 时,f(x)f(0)=0,即 x+ln(1-x)- xln(1-x)0,于是 当 0x1 时,令 f(x)=x+ln(1-x)-xln(1-x),且 f(0)=0,因为 所以 f(x)在(0,+)内单调增加,于是 f(x)f(0)=0,计算_正确答案:()解析:令 x=tant,则17

    16、.设 f“(x)Ca,b,证明:存在 (a,b),使得(分数:11.00)_正确答案:()解析:,则 F(x)=f(x),且 F“(x)Ca,b由泰勒公式得 因为 f“(x)Ca,b,所以 f“(x)C 1, 2,由闭区间上连续函数最值定理,F“(x)在区间 1, 2上取得最小和最大值,分别记为 m,M,则有 再由闭区间上连续函数的介值定理,存在 1, 2(a,b),使得 f“()=18.设 f(x)在 R 上可微且 f(0)=0,又(分数:11.00)_正确答案:()解析:令 u-lnx,则 因为 f(0)=0,所以19.设 f(x)在(0,+)内一阶连续可微,且对满足 xf(x)+x3,又

    17、 f(1)=0,求 f(x)(分数:11.00)_正确答案:()解析:令 u=xt,则原方程变换为,两边对 x 求导得 f(x)=2f(x)+f(x)+xf(x)+3x2,整理得此微分方程的通解为 f(x)20.一个容器的内表面侧面由曲线绕 x 轴旋转而成,外表面由曲线 x=在点的切线位于点与 x 轴交点之间的部分绕 x 轴旋转而成,此容器材质的密度为 求此容器自身的质量 M 及其内表面的面积 S(分数:11.00)_正确答案:()解析:切线方程为,与 x 轴的交点坐标为(1,0) 切线旋转后的旋转体体积为,曲线旋转后的旋转体的体积为此容器的质量为 容器内表面积为21.位于上半平面的上凹曲线

    18、y=y(x)过点(0,2),在该点处的切线水平,曲线上任一点(x,y)处的曲率与及 1+y2。之积成反比,比例系数为,求 y=y(x)(分数:11.00)_正确答案:()解析:根据题意得22.设 A 是 n 阶矩阵,证明: () r(A)=1 的充分必要条件是存在行阶非零列向量 ,使得 A= T; () r(A)=1 且 tr(A)0,证明 A 可相似对角化(分数:11.00)_正确答案:()解析:() 若 r(A)=1,则 A 为非零矩阵且 A 的任意两行成比例,即 ,显然 , 都不是零向量且 A= T; 反之,若 A= T,其中 , 都是 n 维非零列向量,则 r(A)=r( T)r()-

    19、1,又因为 , 为非零列向量,所以 A 为非零矩阵,从而 r(A)1,于是 r(A)=1 ()因为 r(A)=1,所以存在非零列向量 ,使得 A= T,显然 tr(A)=(,),因为 tr(A)0,所以(,)=k0 令 AX=X,因为 A2=kA,所以 2X=kX,或( 2-k)X=0,注意到 X0,所以矩阵 A 的特征值为 =0或 =k 因为 1+ 2+ n=tr(A)=k,所以 1=k, 2= 3= n=0,由 r(0E-A)=r(A)=1,得 A 一定可以对角化23.设 A,B 都是 n 阶正定矩阵,P 为 nm 矩阵,证明:P T(A+B)P 正定的充分必要条件是 r(P)=m (分数

    20、:11.00)_正确答案:()解析:因为P T(A+B)PT=PT(AT+BT)(PT)T=PT(A+B)P,所以 PT(A+B)P 为实对称矩阵 设 PT(A+B)P 正定,则 PT(A+B)P 为 m 阶可逆矩阵,即 rPT(A+B)P=m,由矩阵秩的性质得 rPT(A+B)Pr(P),所以 r(P)m,显然 r(P)m,所以 r(P)=m 设 r(P)=m,对任意的 X0,X TPT(A+B)PX=(PX)T(A+B)(PX),令 PX=Y,显然 Y0,因为若 Y=0,由 r(P)=m 得 X=0,矛盾,所以 Y0,于是 XTPT(A+B)PX=YTAY+YTBY。 因为 A,B 都是正定矩阵,所以 YTAY0 且 YTBY0,于是 XTPT(A+B)PX0,即 PT(A+B)P 为正定矩阵


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