1、考研数学二-102 及答案解析(总分：100.01，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：4.00)1.矩阵 （分数：1.00）2.设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 （分数：1.00）3.二次型 （分数：1.00）4.设二次型 （分数：1.00）二、选择题(总题数：8，分数：8.00)5.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=O 若 A 的秩为 3，则 A 相似于 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )
2、，则 Q -1 AQ= A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.7.矩阵 （分数：1.00）A.a=0，b=2B.a=0，b 为任意常数C.a=2，b=0D.a=2，b 为任意常数8.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )若Q=(e 1 ，-e 3 ，e 2 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.设二次型 （分数：1.00）A.a1B.a-2C.-2a1D.a=1 或 a=-210.设矩阵 （分数：1.00
3、）A.合同且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似11.设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.12.设 A，B 是可逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结沦错误的是 A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似（分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：16，分数：88.00)13.若矩阵 （分数：6.00）_14.设矩阵 （分数：6.00）_15.证明 n 阶矩阵 （分数：6.00）_设矩阵 相似于矩阵 （分数：6.00）(1).求 a，b
4、的值；（分数：3.00）_(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.00）_设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 又向量 （分数：4.00）(1).将 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_(2).求 A n (n 为自然数)（分数：2.00）_某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：5
5、.01）(1).求 的关系式并写成矩阵形式： （分数：1.67）_(2).验证 （分数：1.67）_(3).当 （分数：1.67）_已知矩阵 （分数：5.00）(1).求 A 99 ；（分数：2.50）_(2).设 3 阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：2.50）_设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解（分数：5.00）(1).求 A 的特征值与
6、特征向量；（分数：2.50）_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A（分数：2.50）_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2，且 1 =(1，-1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：5.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.50）_(2).求矩阵 B（分数：2.50）_16.设 正交矩阵 Q 使 Q T AQ 为对角矩阵，若 Q 的第 1 列为 （分数：5.00）_设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩
7、为 2，且 （分数：5.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：2.50）_(2).求矩阵 A（分数：2.50）_设二次型 （分数：5.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.50）_(2).若二次型 f 的规范形为 （分数：2.50）_已知 （分数：5.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.50）_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形（分数：2.50）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：5
8、.00）(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ；（分数：2.50）_(2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 （分数：2.50）_17.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n （分数：5.00）_设 （分数：10.00）(1).计算 P T DP，其中 （分数：5.00）_(2).利用上一小题的结果判断矩阵 B-C T A -1 C 是否为正定矩阵，并证明你的结论（分数：5.00）_考研数学二-102 答案解析(总分：100.01，做
9、题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：4.00)1.矩阵 （分数：1.00）解析：4 解析 设 则 2.设 ， 为 3 维列向量， T 为 的转置若矩阵 T 相似于 （分数：1.00）解析：2 解析 设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，=(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T ，则 3.二次型 （分数：1.00）解析：2 解析 解法 1 求二次型矩阵 A 的特征值 因为 所以 即 A 的特征值为 1 =0， 2 =1， 3 =4，原二次型的标准形为 ，其正惯性指数 p=2 解法 2 配方法 4.设二次型 （分数：1.00）解析：-2，2 解析 解法 1 由于 因为 f 的负
10、惯性指数为 1，所以 4-a 2 0，故-2a2 解法 2 二次型 f 的负惯性指数为 1，则 1 0， 2 0， 3 0，于是 二、选择题(总题数：8，分数：8.00)5.设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A 2 +A=O 若 A 的秩为 3，则 A 相似于 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 A 是秩为 3 的实对称矩阵，所以 A 必相似于秩为 3 的对角矩阵设 为 A 的特征值，由A 2 +A=O 可得 2 +=0，即 =0 或-1由此可知只有选项 D 是正确的 题目中“实对称”这个条件是可以删掉的，不影响结果，但是这样题目难度就加大了，因为此时判断A 就
11、不那么容易了读者可以通过利用“A 有 n 个线性无关的特征向量，因此 A”这一思路去完成6.设 A 为 3 阶矩阵，P 为 3 阶可逆矩阵，且 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q -1 AQ= A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 解法 1 由题设 知，矩阵 A 是可相似对角化的矩阵，因而其相似变换矩阵 P 的列向量 1 ， 2 ， 3 是 A 的分别属于特征值 1 =1， 2 =1， 3 =2 的特征向量由于 1 = 2 =1是 A 的 2 重特征值，所以 1 + 2 仍是 A 的属于特征值 l 的特征向量，即 A(
12、1 + 2 )=1( 1 + 2 )，从而有 应选 B 解法 2 因为矩阵 Q 是对矩阵 P 作一次初等列变换将 P 的第 2 列加到第 1 列上而得到的，所以有 从而有 7.矩阵 （分数：1.00）A.a=0，b=2B.a=0，b 为任意常数 C.a=2，b=0D.a=2，b 为任意常数解析：解析 题中所给矩阵分别记为 A，B，因为 8.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 ，其中 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )若Q=(e 1 ，-e 3 ，e 2 )，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为 A B C D （
13、分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 解法 1 设二次型矩阵为 A，则 可见 e 1 ，e 2 ，e 3 都是 A 的特征向量，特征值依次为 2，1，-1，于是-e 3 也是 A 特征向量，特征值是-1因此 从而在正交变换 x=Qy 下的标准二次型为 解法 2 则 9.设二次型 （分数：1.00）A.a1B.a-2C.-2a1 D.a=1 或 a=-2解析：解析 二次型矩阵 由特征多项式 得矩阵 A 的特征值：a+2，a-1，a-1 由于正、负惯性指数分别为 1，2，可知 10.设矩阵 （分数：1.00）A.合同且相似B.合同，但不相似 C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似解析：解
14、析 因为 所以矩阵 A 的特征值为 3，3，0由此可知矩阵 A 与 B 不相似，从而选项 A 和 C 错误 又因为实对称矩阵 A 相似且合同于对角矩阵 11.设 ，则在实数域上与 A 合同的矩阵为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 直接观察可知各矩阵的秩均为 2，亦即各选项的矩阵的秩都等于矩阵 A 的秩求矩阵 A 的特征值加下： 矩阵 的特征值为-3，-1，正惯性指数为 0； 矩阵 的特征值为 1，3，正惯性指数为 2； 矩阵 的特征值为 1，3，正惯性指数为 2； 矩阵 的特征值为 3，-1，正惯性指数为 1 由此可知与矩阵 A 合同的是 12.设 A，B 是可
15、逆矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结沦错误的是 A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 依题意可知，存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B 则 B T =(P -1 AP) T =P T A T (P -1 ) T =P T A T (P T ) -1 =P 1 -1 A T P 1 ，其中 P 1 =(P T ) -1 可逆故 A T B T ， B -1 =(P -1 AP) -1 =P -1 A -1 (P -1 ) -1 =P -1 A -1 P，故 A -1 B
16、 -1 ， 且 P -1 (A+A -1 )P=P -1 AP+P -1 A -1 P=B+B -1 ，故 A+A -1 B+B -1 故选 C三、解答题(总题数：16，分数：88.00)13.若矩阵 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 矩阵 A 的特征多项式为 故 A 的特征值为 1 = 2 =6， 3 =-2 由于 A 相似于对角矩阵 ，故对应于 1 = 2 =6 有两个线性无关的特征向量，因此矩阵 6E-A 的秩应为 1从而由 知 a=0 对应于 1 = 2 =6 的两个线性无关的特征向量可取为 当 3 =-2 时， 解方程组 得对应于 3 =-2 的特征向量 令 14.设矩阵
17、（分数：6.00）_正确答案：()解析：解 矩阵 A 的特征多项式为 若 =2 是特征方程的二重根，则有 2 2 -16+18+3a=0，解得 a=-2 当 a=-2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 的秩为 1，故 =2 对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化 若 =2 不是特征方程的二重根，则 2 -8+18+3a 为完全平方，从而 18+3a=16，解得 当 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 15.证明 n 阶矩阵 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证 设 因为 所以 A 与 B 有相同的特征值 1 =n， 2 =0(n-1 重) 由于 A 为实对称矩阵，所
18、以 A 相似于对角矩阵 设矩阵 相似于矩阵 （分数：6.00）(1).求 a，b 的值；（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以 trA=trB，|A|=|B|， 于是 3+a=2+b，2a-3=b， 解得 a=4，b=5(2).求可逆矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：解 由上一小题知 由于矩阵 A 与矩阵 B 相似，所以 |E-A|=|E-B|=(-1) 2 (-5)， 故 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =5 当 1 = 2 =1 时，解方程组(E-A)x=0，得线性无关的特征向量 当 3 =5
19、时，解方程组(5E-A)x=0，得特征向量 令 则 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 又向量 （分数：4.00）(1).将 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 设 对此方程组的增广矩阵作初等行变换 (2).求 A n (n 为自然数)（分数：2.00）_正确答案：()解析：解 由于 A i = i i ，故 ，i=1，2，3因此 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n
20、 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：5.01）(1).求 的关系式并写成矩阵形式： （分数：1.67）_正确答案：()解析：解 于是(2).验证 （分数：1.67）_正确答案：()解析：解 令 则由|P|=50 知， 1 ， 2 线性无关 因 故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值 1 =1 因 ，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 (3).当 （分数：1.67）_正确答案：()解析：解 由 有 于是 又 故 因此 解析 容易求得 于是 已知矩阵 （分数：5.00）(1).求 A 99 ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：
21、解 因为 所以 A 的特征值为 1 =-1， 2 =-2， 3 =0 当 1 =-1 时，解方程组(-E-A)x=0，得特征向量 1 =(1，1，0) T ； 当 2 =-2 时，解方程组(-2E-A)x=0，得特征向量 2 =(1，2，0) T ； 当 3 =0 时，解方程组 Ax=0，得特征向量 3 =(3，2，2) T 令 则 所以 (2).设 3 阶矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 ， 2 ， 3 )，将 1 ， 2 ， 3 分别表示为 1 ， 2 ， 3 的线性组合（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 因为 B 2 =BA，所以
22、B 100 =B 98 B 2 =B 99 A=B 97 B 2 A=B 98 A 2 =BA 99 ， 即 所以 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(-1，2，-1) T ， 2 =(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解（分数：5.00）(1).求 A 的特征值与特征向量；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由于 A 的各行元素之和均为 3，所以有 (2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 为求正交矩阵 Q，将 1 ， 2 正交化： 令 1 = 1 =(-1，2，-1) T ， 再
23、分别将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 以 1 ， 2 ， 3 为列向量组即可构成正交矩阵 Q，以对应的特征值 0，0，3 构成对角阵 A，即 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =-2，且 1 =(1，-1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E 为 3 阶单位矩阵（分数：5.00）(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 A 1 = 1 1 ，知 因而向量 1 是 B 的属于特征值-2 的一个特征向量 因为 A 的所有特征值分别为 1
24、 ， 2 ， 3 ，故 B=A 5 -4A 3 +E 的所有特征值分别为 (2).求矩阵 B（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 将 B 的特征向量 1 ， 2 ， 3 正交化、单位化后构成一正交矩阵 Q 令 则 于是 解析 (1)在第一问求 B 的属于特征值 1 的特征向量 2 ， 3 时，可以直接取成二者正交，这样就能回避下面的施密特正交化步骤由 x 1 -x 2 +x 3 =0，取 2 =(1，1，0) T ，此时再设 3 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，且令 ，得 x 1 +x 2 =0，联立 16.设 正交矩阵 Q 使 Q T AQ 为对角矩阵，若 Q 的第 1 列为
25、 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由于 是正交矩阵 Q 的第 1 列，所以(1，2，1) T 是矩阵 A 的一个特征向量设其对应的特征值为 1 ，于是有 即 解得 a=-1， 1 =2由此可知 其特征多项式 |E-A|=(-2)(-5)(+4) A 的特征值为 1 =2， 2 =5， 3 =-4 当 2 =5 时，解齐次方程组 得到属于 2 的一个特征向量 2 =(1，-1，1) T ； 当 3 =-4 时，解齐次方程组 得到属于 3 的一个特征向量 3 =(=1，0，1) T ； 将 2 ， 3 单位化后分别作为 Q 的第 2，3 列，可得 并有 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A
26、 的秩为 2，且 （分数：5.00）(1).求 A 的所有特征值与特征向量；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由于 3 阶矩阵 A 的秩为 2，所以 0 是 A 的一个特征值 由 可得 所以-1 是 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 k 2 为任意非零常数 设 A 的对应于特征值 0 的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的，所以有 即 于是对应于 0 的特征向量为 k 3 为任意非零常数 解析 也可令 则 (2).求矩阵 A（分数：2.50）_正确答
27、案：()解析：解 令 则 故 设二次型 （分数：5.00）(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解 二次型 f 的矩阵为 其特征多项式为 (2).若二次型 f 的规范形为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：解 由 f 的规范形为 已知 （分数：5.00）(1).求实数 a 的值；（分数：2.50）_正确答案：()解析：解法 1 因为 2=r(A T A)=r(A)，故可对 A 作初等行变换： 所以 a=-1 解法 2 由已知 r(A T A)=2，且 A T A 有一个 2 阶子式 故 (2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形（分数：2
28、.50）_正确答案：()解析：解 由上一小题知 a=-1，得 故矩阵 A T A 的特征多项式为 A T A 的特征值为 1 =2， 2 =6， 3 =0 当 1 =2 时，解方程组 得相应的特征向量为 单位化后为 当 2 =6 时，解方程组 得相应的特征向量为 单位化后为 当 3 =0 时，解方程组 得相应的特征向量为 单位化后为 于是得到正交矩阵 在正交变换 x=Qy 下，二次型的标准形为 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ，记 （分数：5.00）(1
29、).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ；（分数：2.50）_正确答案：()解析：证法 1 记列向量 由于 类似地，b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 也有对应的表达式，所以 又(2 T + T ) T =2 T + T ，即 2 T + T 是对称矩阵，所以二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T 证法 2 将二次型 f 展开并写成矩阵相乘的形式得 而 所以 (2).若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：证法 1 记矩阵 A=2 T + T 由于 ， 是相互正交的单位向量，即 T = T =1， T =
30、0，所以 A=(2 T + T )=2， A=(2 T + T )=， 即 1 =2， 2 =1 是矩阵 A 的特征值 又 A 的秩 r(A)=r(2 T + T )r(2 T )+r( T )2， 即 A 不是满秩矩阵，所以 3 =0 也是矩阵 A 的特征值，故二次型 f 在正交变换下的标准形为 证法 2 同证法 1： 1 =2， 2 =1 是矩阵 A 的两个特征值， 分别是其对应的单位特征向量 取单位向量 使得其与向量 ， 都正交，即 T =0， T =0(如何取得 ，请读者思考) 令矩阵 Q=(，)，则 Q 为正交矩阵在正交变换 x=Qy(其中 y=(y 1 ，y 2 ，y 3 ) T
31、)下，二次型 即 f 在正交变换 X=Qy 下的标准形为 17.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 B T AB 为正定矩阵，则对任意的实 n 维列向量 x0，有 X T (B T AB)x0，即(Bx) T A(Bx)0，于是，Bx0因此 Bx=0 只有零解从而 r(B)=n 充分性因(B T AB) T =B T A T B=B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解从而对任意实 n 维列向量 x0 有 Bx0又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0 有(Bx) T A(Bx)0于是当 x0 时，x T (B T AB)x0，故 B T AB 为正定矩阵 必要性的另一证法：因 B T AB 正定，所以 r(B T AB)=n但另一方面 r(B T AB)r(B)n，所以 r(B)=n 解析 正定矩阵是由二次型的正定性引入的，所以首先需要验证 B T AB 是实对称矩阵；充分性的证明是采用定义法完成的，当然还可以采用特征值法完成：设 是 B T AB 的特征值， 是对应于 的特征向量，于是(B
