1、考研数学二-102 及答案解析(总分:100.01,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:4,分数:4.00)1.矩阵 (分数:1.00)2.设 , 为 3 维列向量, T 为 的转置若矩阵 T 相似于 (分数:1.00)3.二次型 (分数:1.00)4.设二次型 (分数:1.00)二、选择题(总题数:8,分数:8.00)5.设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A 2 +A=O 若 A 的秩为 3,则 A 相似于 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.6.设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 若 P=( 1 , 2 , 3 ),Q=( 1 + 2 , 2 , 3 )
2、,则 Q -1 AQ= A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.7.矩阵 (分数:1.00)A.a=0,b=2B.a=0,b 为任意常数C.a=2,b=0D.a=2,b 为任意常数8.设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 ,其中 P=(e 1 ,e 2 ,e 3 )若Q=(e 1 ,-e 3 ,e 2 ),则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.9.设二次型 (分数:1.00)A.a1B.a-2C.-2a1D.a=1 或 a=-210.设矩阵 (分数:1.00
3、)A.合同且相似B.合同,但不相似C.不合同,但相似D.既不合同,也不相似11.设 ,则在实数域上与 A 合同的矩阵为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D.12.设 A,B 是可逆矩阵,且 A 与 B 相似,则下列结沦错误的是 A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似(分数:1.00)A.B.C.D.三、解答题(总题数:16,分数:88.00)13.若矩阵 (分数:6.00)_14.设矩阵 (分数:6.00)_15.证明 n 阶矩阵 (分数:6.00)_设矩阵 相似于矩阵 (分数:6.00)(1).求 a,b
4、的值;(分数:3.00)_(2).求可逆矩阵 P,使 P -1 AP 为对角矩阵(分数:3.00)_设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =2, 3 =3,对应的特征向量依次为 又向量 (分数:4.00)(1).将 用 1 , 2 , 3 线性表出;(分数:2.00)_(2).求 A n (n 为自然数)(分数:2.00)_某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ,记成向量 (分数:5
5、.01)(1).求 的关系式并写成矩阵形式: (分数:1.67)_(2).验证 (分数:1.67)_(3).当 (分数:1.67)_已知矩阵 (分数:5.00)(1).求 A 99 ;(分数:2.50)_(2).设 3 阶矩阵 B=( 1 , 2 , 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 , 2 , 3 ),将 1 , 2 , 3 分别表示为 1 , 2 , 3 的线性组合(分数:2.50)_设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1 =(-1,2,-1) T , 2 =(0,-1,1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解(分数:5.00)(1).求 A 的特征值与
6、特征向量;(分数:2.50)_(2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 Q T AQ=A(分数:2.50)_设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1, 2 =2, 3 =-2,且 1 =(1,-1,1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E,其中 E 为 3 阶单位矩阵(分数:5.00)(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量;(分数:2.50)_(2).求矩阵 B(分数:2.50)_16.设 正交矩阵 Q 使 Q T AQ 为对角矩阵,若 Q 的第 1 列为 (分数:5.00)_设 A 为 3 阶实对称矩阵,A 的秩
7、为 2,且 (分数:5.00)(1).求 A 的所有特征值与特征向量;(分数:2.50)_(2).求矩阵 A(分数:2.50)_设二次型 (分数:5.00)(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值;(分数:2.50)_(2).若二次型 f 的规范形为 (分数:2.50)_已知 (分数:5.00)(1).求实数 a 的值;(分数:2.50)_(2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形(分数:2.50)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ,记 (分数:5
8、.00)(1).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ;(分数:2.50)_(2).若 , 正交且均为单位向量,证明 f 在正交变换下的标准形为 (分数:2.50)_17.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 mn 实矩阵,B T 为 B 的转置矩阵,试证:B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n (分数:5.00)_设 (分数:10.00)(1).计算 P T DP,其中 (分数:5.00)_(2).利用上一小题的结果判断矩阵 B-C T A -1 C 是否为正定矩阵,并证明你的结论(分数:5.00)_考研数学二-102 答案解析(总分:100.01,做
9、题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:4,分数:4.00)1.矩阵 (分数:1.00)解析:4 解析 设 则 2.设 , 为 3 维列向量, T 为 的转置若矩阵 T 相似于 (分数:1.00)解析:2 解析 设 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,=(y 1 ,y 2 ,y 3 ) T ,则 3.二次型 (分数:1.00)解析:2 解析 解法 1 求二次型矩阵 A 的特征值 因为 所以 即 A 的特征值为 1 =0, 2 =1, 3 =4,原二次型的标准形为 ,其正惯性指数 p=2 解法 2 配方法 4.设二次型 (分数:1.00)解析:-2,2 解析 解法 1 由于 因为 f 的负
10、惯性指数为 1,所以 4-a 2 0,故-2a2 解法 2 二次型 f 的负惯性指数为 1,则 1 0, 2 0, 3 0,于是 二、选择题(总题数:8,分数:8.00)5.设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A 2 +A=O 若 A 的秩为 3,则 A 相似于 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 因 A 是秩为 3 的实对称矩阵,所以 A 必相似于秩为 3 的对角矩阵设 为 A 的特征值,由A 2 +A=O 可得 2 +=0,即 =0 或-1由此可知只有选项 D 是正确的 题目中“实对称”这个条件是可以删掉的,不影响结果,但是这样题目难度就加大了,因为此时判断A 就
11、不那么容易了读者可以通过利用“A 有 n 个线性无关的特征向量,因此 A”这一思路去完成6.设 A 为 3 阶矩阵,P 为 3 阶可逆矩阵,且 若 P=( 1 , 2 , 3 ),Q=( 1 + 2 , 2 , 3 ),则 Q -1 AQ= A B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解析 解法 1 由题设 知,矩阵 A 是可相似对角化的矩阵,因而其相似变换矩阵 P 的列向量 1 , 2 , 3 是 A 的分别属于特征值 1 =1, 2 =1, 3 =2 的特征向量由于 1 = 2 =1是 A 的 2 重特征值,所以 1 + 2 仍是 A 的属于特征值 l 的特征向量,即 A(
12、1 + 2 )=1( 1 + 2 ),从而有 应选 B 解法 2 因为矩阵 Q 是对矩阵 P 作一次初等列变换将 P 的第 2 列加到第 1 列上而得到的,所以有 从而有 7.矩阵 (分数:1.00)A.a=0,b=2B.a=0,b 为任意常数 C.a=2,b=0D.a=2,b 为任意常数解析:解析 题中所给矩阵分别记为 A,B,因为 8.设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )在正交变换 x=Py 下的标准形为 ,其中 P=(e 1 ,e 2 ,e 3 )若Q=(e 1 ,-e 3 ,e 2 ),则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )在正交变换 x=Qy 下的标准形为 A B C D (
13、分数:1.00)A. B.C.D.解析:解析 解法 1 设二次型矩阵为 A,则 可见 e 1 ,e 2 ,e 3 都是 A 的特征向量,特征值依次为 2,1,-1,于是-e 3 也是 A 特征向量,特征值是-1因此 从而在正交变换 x=Qy 下的标准二次型为 解法 2 则 9.设二次型 (分数:1.00)A.a1B.a-2C.-2a1 D.a=1 或 a=-2解析:解析 二次型矩阵 由特征多项式 得矩阵 A 的特征值:a+2,a-1,a-1 由于正、负惯性指数分别为 1,2,可知 10.设矩阵 (分数:1.00)A.合同且相似B.合同,但不相似 C.不合同,但相似D.既不合同,也不相似解析:解
14、析 因为 所以矩阵 A 的特征值为 3,3,0由此可知矩阵 A 与 B 不相似,从而选项 A 和 C 错误 又因为实对称矩阵 A 相似且合同于对角矩阵 11.设 ,则在实数域上与 A 合同的矩阵为 A B C D (分数:1.00)A.B.C.D. 解析:解析 直接观察可知各矩阵的秩均为 2,亦即各选项的矩阵的秩都等于矩阵 A 的秩求矩阵 A 的特征值加下: 矩阵 的特征值为-3,-1,正惯性指数为 0; 矩阵 的特征值为 1,3,正惯性指数为 2; 矩阵 的特征值为 1,3,正惯性指数为 2; 矩阵 的特征值为 3,-1,正惯性指数为 1 由此可知与矩阵 A 合同的是 12.设 A,B 是可
15、逆矩阵,且 A 与 B 相似,则下列结沦错误的是 A.AT与 BT相似 B.A-1与 B-1相似 C.A+AT与 B+BT相似 D.A+A-1与 B+B-1相似(分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 依题意可知,存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP=B 则 B T =(P -1 AP) T =P T A T (P -1 ) T =P T A T (P T ) -1 =P 1 -1 A T P 1 ,其中 P 1 =(P T ) -1 可逆故 A T B T , B -1 =(P -1 AP) -1 =P -1 A -1 (P -1 ) -1 =P -1 A -1 P,故 A -1 B
16、 -1 , 且 P -1 (A+A -1 )P=P -1 AP+P -1 A -1 P=B+B -1 ,故 A+A -1 B+B -1 故选 C三、解答题(总题数:16,分数:88.00)13.若矩阵 (分数:6.00)_正确答案:()解析:解 矩阵 A 的特征多项式为 故 A 的特征值为 1 = 2 =6, 3 =-2 由于 A 相似于对角矩阵 ,故对应于 1 = 2 =6 有两个线性无关的特征向量,因此矩阵 6E-A 的秩应为 1从而由 知 a=0 对应于 1 = 2 =6 的两个线性无关的特征向量可取为 当 3 =-2 时, 解方程组 得对应于 3 =-2 的特征向量 令 14.设矩阵
17、(分数:6.00)_正确答案:()解析:解 矩阵 A 的特征多项式为 若 =2 是特征方程的二重根,则有 2 2 -16+18+3a=0,解得 a=-2 当 a=-2 时,A 的特征值为 2,2,6,矩阵 的秩为 1,故 =2 对应的线性无关的特征向量有两个,从而 A 可相似对角化 若 =2 不是特征方程的二重根,则 2 -8+18+3a 为完全平方,从而 18+3a=16,解得 当 时,A 的特征值为 2,4,4,矩阵 15.证明 n 阶矩阵 (分数:6.00)_正确答案:()解析:证 设 因为 所以 A 与 B 有相同的特征值 1 =n, 2 =0(n-1 重) 由于 A 为实对称矩阵,所
18、以 A 相似于对角矩阵 设矩阵 相似于矩阵 (分数:6.00)(1).求 a,b 的值;(分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由于矩阵 A 与矩阵 B 相似,所以 trA=trB,|A|=|B|, 于是 3+a=2+b,2a-3=b, 解得 a=4,b=5(2).求可逆矩阵 P,使 P -1 AP 为对角矩阵(分数:3.00)_正确答案:()解析:解 由上一小题知 由于矩阵 A 与矩阵 B 相似,所以 |E-A|=|E-B|=(-1) 2 (-5), 故 A 的特征值为 1 = 2 =1, 3 =5 当 1 = 2 =1 时,解方程组(E-A)x=0,得线性无关的特征向量 当 3 =5
19、时,解方程组(5E-A)x=0,得特征向量 令 则 设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =1, 2 =2, 3 =3,对应的特征向量依次为 又向量 (分数:4.00)(1).将 用 1 , 2 , 3 线性表出;(分数:2.00)_正确答案:()解析:解 设 对此方程组的增广矩阵作初等行变换 (2).求 A n (n 为自然数)(分数:2.00)_正确答案:()解析:解 由于 A i = i i ,故 ,i=1,2,3因此 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n
20、 年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ,记成向量 (分数:5.01)(1).求 的关系式并写成矩阵形式: (分数:1.67)_正确答案:()解析:解 于是(2).验证 (分数:1.67)_正确答案:()解析:解 令 则由|P|=50 知, 1 , 2 线性无关 因 故 1 为 A 的特征向量,且相应的特征值 1 =1 因 ,故 2 为 A 的特征向量,且相应的特征值 (3).当 (分数:1.67)_正确答案:()解析:解 由 有 于是 又 故 因此 解析 容易求得 于是 已知矩阵 (分数:5.00)(1).求 A 99 ;(分数:2.50)_正确答案:()解析:
21、解 因为 所以 A 的特征值为 1 =-1, 2 =-2, 3 =0 当 1 =-1 时,解方程组(-E-A)x=0,得特征向量 1 =(1,1,0) T ; 当 2 =-2 时,解方程组(-2E-A)x=0,得特征向量 2 =(1,2,0) T ; 当 3 =0 时,解方程组 Ax=0,得特征向量 3 =(3,2,2) T 令 则 所以 (2).设 3 阶矩阵 B=( 1 , 2 , 3 )满足 B 2 =BA记 B 100 =( 1 , 2 , 3 ),将 1 , 2 , 3 分别表示为 1 , 2 , 3 的线性组合(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 因为 B 2 =BA,所以
22、B 100 =B 98 B 2 =B 99 A=B 97 B 2 A=B 98 A 2 =BA 99 , 即 所以 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1 =(-1,2,-1) T , 2 =(0,-1,1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解(分数:5.00)(1).求 A 的特征值与特征向量;(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 由于 A 的各行元素之和均为 3,所以有 (2).求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 Q T AQ=A(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 为求正交矩阵 Q,将 1 , 2 正交化: 令 1 = 1 =(-1,2,-1) T , 再
23、分别将 1 , 2 , 3 单位化,得 以 1 , 2 , 3 为列向量组即可构成正交矩阵 Q,以对应的特征值 0,0,3 构成对角阵 A,即 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1, 2 =2, 3 =-2,且 1 =(1,-1,1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E,其中 E 为 3 阶单位矩阵(分数:5.00)(1).验证 1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量;(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 由 A 1 = 1 1 ,知 因而向量 1 是 B 的属于特征值-2 的一个特征向量 因为 A 的所有特征值分别为 1
24、 , 2 , 3 ,故 B=A 5 -4A 3 +E 的所有特征值分别为 (2).求矩阵 B(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 将 B 的特征向量 1 , 2 , 3 正交化、单位化后构成一正交矩阵 Q 令 则 于是 解析 (1)在第一问求 B 的属于特征值 1 的特征向量 2 , 3 时,可以直接取成二者正交,这样就能回避下面的施密特正交化步骤由 x 1 -x 2 +x 3 =0,取 2 =(1,1,0) T ,此时再设 3 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,且令 ,得 x 1 +x 2 =0,联立 16.设 正交矩阵 Q 使 Q T AQ 为对角矩阵,若 Q 的第 1 列为
25、 (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 由于 是正交矩阵 Q 的第 1 列,所以(1,2,1) T 是矩阵 A 的一个特征向量设其对应的特征值为 1 ,于是有 即 解得 a=-1, 1 =2由此可知 其特征多项式 |E-A|=(-2)(-5)(+4) A 的特征值为 1 =2, 2 =5, 3 =-4 当 2 =5 时,解齐次方程组 得到属于 2 的一个特征向量 2 =(1,-1,1) T ; 当 3 =-4 时,解齐次方程组 得到属于 3 的一个特征向量 3 =(=1,0,1) T ; 将 2 , 3 单位化后分别作为 Q 的第 2,3 列,可得 并有 设 A 为 3 阶实对称矩阵,A
26、 的秩为 2,且 (分数:5.00)(1).求 A 的所有特征值与特征向量;(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 由于 3 阶矩阵 A 的秩为 2,所以 0 是 A 的一个特征值 由 可得 所以-1 是 A 的一个特征值,其对应的特征向量为 k 1 为任意非零常数;1 也是 A 的一个特征值,其对应的特征向量为 k 2 为任意非零常数 设 A 的对应于特征值 0 的特征向量为(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的,所以有 即 于是对应于 0 的特征向量为 k 3 为任意非零常数 解析 也可令 则 (2).求矩阵 A(分数:2.50)_正确答
27、案:()解析:解 令 则 故 设二次型 (分数:5.00)(1).求二次型 f 的矩阵的所有特征值;(分数:2.50)_正确答案:()解析:解 二次型 f 的矩阵为 其特征多项式为 (2).若二次型 f 的规范形为 (分数:2.50)_正确答案:()解析:解 由 f 的规范形为 已知 (分数:5.00)(1).求实数 a 的值;(分数:2.50)_正确答案:()解析:解法 1 因为 2=r(A T A)=r(A),故可对 A 作初等行变换: 所以 a=-1 解法 2 由已知 r(A T A)=2,且 A T A 有一个 2 阶子式 故 (2).求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形(分数:2
28、.50)_正确答案:()解析:解 由上一小题知 a=-1,得 故矩阵 A T A 的特征多项式为 A T A 的特征值为 1 =2, 2 =6, 3 =0 当 1 =2 时,解方程组 得相应的特征向量为 单位化后为 当 2 =6 时,解方程组 得相应的特征向量为 单位化后为 当 3 =0 时,解方程组 得相应的特征向量为 单位化后为 于是得到正交矩阵 在正交变换 x=Qy 下,二次型的标准形为 设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 +(b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ) 2 ,记 (分数:5.00)(1
29、).证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T ;(分数:2.50)_正确答案:()解析:证法 1 记列向量 由于 类似地,b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 也有对应的表达式,所以 又(2 T + T ) T =2 T + T ,即 2 T + T 是对称矩阵,所以二次型 f 对应的矩阵为 2 T + T 证法 2 将二次型 f 展开并写成矩阵相乘的形式得 而 所以 (2).若 , 正交且均为单位向量,证明 f 在正交变换下的标准形为 (分数:2.50)_正确答案:()解析:证法 1 记矩阵 A=2 T + T 由于 , 是相互正交的单位向量,即 T = T =1, T =
30、0,所以 A=(2 T + T )=2, A=(2 T + T )=, 即 1 =2, 2 =1 是矩阵 A 的特征值 又 A 的秩 r(A)=r(2 T + T )r(2 T )+r( T )2, 即 A 不是满秩矩阵,所以 3 =0 也是矩阵 A 的特征值,故二次型 f 在正交变换下的标准形为 证法 2 同证法 1: 1 =2, 2 =1 是矩阵 A 的两个特征值, 分别是其对应的单位特征向量 取单位向量 使得其与向量 , 都正交,即 T =0, T =0(如何取得 ,请读者思考) 令矩阵 Q=(,),则 Q 为正交矩阵在正交变换 x=Qy(其中 y=(y 1 ,y 2 ,y 3 ) T
31、)下,二次型 即 f 在正交变换 X=Qy 下的标准形为 17.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 mn 实矩阵,B T 为 B 的转置矩阵,试证:B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n (分数:5.00)_正确答案:()解析:设 B T AB 为正定矩阵,则对任意的实 n 维列向量 x0,有 X T (B T AB)x0,即(Bx) T A(Bx)0,于是,Bx0因此 Bx=0 只有零解从而 r(B)=n 充分性因(B T AB) T =B T A T B=B T AB,故 B T AB 为实对称矩阵若 r(B)=n,则线性方程组 Bx=0 只有零解从而对任意实 n 维列向量 x0 有 Bx0又 A 为正定矩阵,所以对于 Bx0 有(Bx) T A(Bx)0于是当 x0 时,x T (B T AB)x0,故 B T AB 为正定矩阵 必要性的另一证法:因 B T AB 正定,所以 r(B T AB)=n但另一方面 r(B T AB)r(B)n,所以 r(B)=n 解析 正定矩阵是由二次型的正定性引入的,所以首先需要验证 B T AB 是实对称矩阵;充分性的证明是采用定义法完成的,当然还可以采用特征值法完成:设 是 B T AB 的特征值, 是对应于 的特征向量,于是(B