1、考研数学二-102 (1)及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：4.00）A.(A) 1 个B.(B) 2 个C.(C) 3 个D.(D) 4 个2.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（分数：4.00）A.(A) 若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点B.(B) 若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.(C) 若 f(x)没有零点，则 f(x)至少有一个零点D.(D) 若 f(x)
2、没有零点，则 f(x)至多有一个零点3.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，则 (x)是( )（分数：4.00）A.(A) 单调增加的奇函数B.(B) 单调减少的奇函数C.(C) 单调增加的偶函数D.(D) 单调减少的偶函数4.设函数 y=f(x)的增量函数，且 f(0)=，则 f(-1)为( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=m n，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.(A) A 的任意 m 阶子式都不等于零B.(B) A 的任意 m 个列向量线性无关C.(C) 方程组 AX=b 一定有无数个解D.(D) 矩阵 A 经过初等行变换化
3、为6.设，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（分数：4.00）A.(A) 3B.(B) 4C.(C) 5D.(D) 67.设 f(x，y)在(0，0)处连续，则( )（分数：4.00）A.(A) f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.(B) f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.(C) fx(0，0)=f y(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0)处可微分D.(D) fx(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分8.曲线的渐近线条数为( )（分数：4.00）A.(A) 3 条B.(B) 2 条C.(C) 1 条D.(D) 0 条二
4、、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)10.曲线在 t=0 对应点处的法线方程为 1（分数：4.00）11.设，f 有一阶连续的偏导数，则= 1（分数：4.00）13.微分方程 y“-3y+2y=2ex的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：99.00)15.当 x-1 时，f(x)可导，f(0)=1，且满足 () 求 f(x)； () 证明：当 x0 时有不等式 e-xf(x)1（分数：11.00）
5、_16.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0 () 证明：对任意的 X0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x(x)； () 求（分数：11.00）_17.设，且 g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，求（分数：11.00）_18.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得（分数：11.00）_19.设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 () 证明：F(x)单调增加 () 当 x 取何值时，F(x)取最小值? () 当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时，求函数 f(x)（分数：11.00）
6、_20.计算,其中 D：x 2+y2a 2（分数：11.00）_21.现有两个分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：11.00）_22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解（分数：11.00）_23.设 =(1，1，-1) T是的一个特征值 () 确定参数 a，b 及特征向量所对应的特征值； () 问 A 是否可以对角化?说明理由
7、（分数：11.00）_考研数学二-102 (1)答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：4.00）A.(A) 1 个B.(B) 2 个C.(C) 3 个 D.(D) 4 个解析：令 AX=X，则 A2X= 2X，因为 ， 正交，所以 T： T=0，A 2= T T=0，于是 2X=0，故 1= 2= 3= 4=0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r( T)r()=1，所以 r(A)=1 因为 4-r
8、(0E-A)=4-r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)2.设函数 f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )（分数：4.00）A.(A) 若 f(x)只有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点B.(B) 若 f(x)至少有一个零点，则 f(x)必至少有两个零点C.(C) 若 f(x)没有零点，则 f(x)至少有一个零点D.(D) 若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点 解析：若 f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f(x)至少有一个零点，故若 f(x)没有零点，则 f(x)至多一个零点，选(D)3.设函数 f(x)是连续且单调增加的奇函数，则 (x)
9、是( )（分数：4.00）A.(A) 单调增加的奇函数B.(B) 单调减少的奇函数 C.(C) 单调增加的偶函数D.(D) 单调减少的偶函数解析：所以 (x)为单调减少的奇函数，选(B)4.设函数 y=f(x)的增量函数，且 f(0)=，则 f(-1)为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：则，因为 f(0)=，所以 C=x，于是 f(x)=e arctanx， 故，选(C)5.设 A 为 mn 矩阵，且 r(A)=m n，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.(A) A 的任意 m 阶子式都不等于零B.(B) A 的任意 m 个列向量线性无关C.(C) 方程组 AX=b 一
10、定有无数个解 D.(D) 矩阵 A 经过初等行变换化为解析：因为 A 与都是 m 行，所以，所以方程组 AX=b 一定有无数个解，选(C)6.设，若 f(x)在 x=0 处可导且导数不为零，则 k 为( )（分数：4.00）A.(A) 3B.(B) 4C.(C) 5 D.(D) 6解析：因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 k-2=3，即 k=5，选(C)7.设 f(x，y)在(0，0)处连续，则( )（分数：4.00）A.(A) f(x，y)在(0，0)处不可偏导B.(B) f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微C.(C) fx(0，0)=f y(0，0)=4 且 f(x，y)在(0，0
11、)处可微分D.(D) fx(0，0)=f y(0，0)=0 且 f(x，y)在(0，0)处可微分 解析：8.曲线的渐近线条数为( )（分数：4.00）A.(A) 3 条 B.(B) 2 条C.(C) 1 条D.(D) 0 条解析：，所以曲线的斜渐近线为 y=x+2，故曲线有 3 条渐近线，选(A)二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)解析：10.曲线在 t=0 对应点处的法线方程为 1（分数：4.00）解析：11.设，f 有一阶连续的偏导数，则= 1（分数：4.00）解析：解析：二重积分的积分区域为 D=(x，y)|1-yx1+y 2，0y1， 13.微分方程 y“-3y+2y=2e
12、x的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-3e x+3e2x-2xex）解析：特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“-3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x 令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=-2，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x-2xex 得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得 C1=-3，C 2=3，特解为 y=-3ex+3e2x-2xex14.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案
13、：-8）解析：因为 A 的特征值为 3，-3，0，所以 AE 的特征值为 2，-4，-1，从而 AE 可逆，由 E+B=AB 得(A-E)B=E，即 B 与 AE 互为逆阵，则 B 的特征值为，-1，B -1的特征值为 2，-4，-1，从而 B-1+2E 的特征值为4，-2，1，于是|B -1+2E|=-8三、B解答题/B(总题数：9，分数：99.00)15.当 x-1 时，f(x)可导，f(0)=1，且满足 () 求 f(x)； () 证明：当 x0 时有不等式 e-xf(x)1（分数：11.00）_正确答案：()解析：() 由边对 x 求导得16.设 f(x)二阶可导，且 f“(x)0 (
14、) 证明：对任意的 X0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x(x)； () 求（分数：11.00）_正确答案：()解析：() 对任意的 x0，因为 f(x)可导，所以由微分中值定理，f(x)-f(0)=f()x，其中 位于 0与 x 之间 又因为 =0+(x)(x=0)=x(x)(其中 (x)(0，1)， 所以 f(x)=f(0)+xfx(x) 设存在 1(x)， 2(x)，使得 f(x)=f(0)+xfx 1(x)，f(x)=f(0)+xfx 2(x)， 于是 fx 1(x)=fx 2(x)，因为 f“(x)0，所以根据罗尔定理， 1(x)= 2(x)，唯一性得
15、证 () 由 f(x)=f(0)+xfx(x)得 17.设，且 g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，求（分数：11.00）_正确答案：()解析：18.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得（分数：11.00）_正确答案：()解析：，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得19.设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 () 证明：F(x)单调增加 () 当 x 取何值时，F(x)取最小值? () 当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时，求函数 f(x)（分数：11.00）_正确答案：()解析：因为
16、F“(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数 () 因为且 f(x)为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F“(0)O，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点 故最小值为 () 由两边求导得 2af(a)=f(a)-2a， 于是 f(x)-2xf(x)=2x，20.计算,其中 D：x 2+y2a 2（分数：11.00）_正确答案：()解析：因为区域 D 关于 Y 轴对称， 又因为区域 D 关于直线 y=x 对称，21.现有两个分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min 的速度注入第二只桶中
17、，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：11.00）_正确答案：()解析：设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有 22.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解（分数：11.00）_正确答案：()解析：1) 当 a-1，a6 时，方程组只有唯一解； 2) 当 a=-1 时， 当 a=-1，b36 时，方程组无解； 当 a=-1，b=36 时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 3) 当 a=6，b 为任意取值时， 因为，所以方程组有无数个解，通解为23.设 =(1，1，-1) T是的一个特征值 () 确定参数 a，b 及特征向量所对应的特征值； () 问 A 是否可以对角化?说明理由（分数：11.00）_正确答案：()解析：，解得 a=-3，b=0，=-1 () 由|E-A|=(+1) 3=0，得 =-1 是三重特征值 因为 r(-E-A)=2，所以 =-1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化
