1、考研数学二-101 (1)及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.(A) x=x0为 f(x)的极大点B.(B) x=x0为 f(x)的极小点C.(C) (x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点D.(D) (x0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点2.设 AX=b为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1， 2， 3为 AX=b的三个线性无关解，则方程组 AX=b的通解
2、为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.3.设，则为( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f“(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0( )（分数：4.00）A.(A) 至少有一个根B.(B) 只有一根C.(C) 没有根D.(D) 有无根无法确定5.设，且 f“(0)存在，则( )（分数：4.00）A.(A) a=2，b=2，c=1B.(B) a=-2，b=-2，c=-1C.(C) a=-2，b=2，c=1D.(D) a=-2，b=2，c=-16.设 f(x)连续，则为( )（分数：4.00）A.(A) 0B.(B) f(x+b
3、)C.(C) f(x+b)-f(x+a)D.(D) f(b+y)-f(a+y)7.设 a0，b0 为两个常数，则为( )（分数：4.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2，则 g“(2)= 1（分数：4.00）13.微分方程 y“+y=-2x的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 f“()8（分数：11.00）_16.求不定积分（分数：11.00）_17.设
4、 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且，f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得（分数：11.00）_18.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明：（分数：11.00）_19.计算二重积分，其中积分区域 D=(x，y)|0x 2yx1（分数：11.00）_20.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ex+ey=ez确定，其中 f二阶连续可偏导，求（分数：11.00）_21.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x的通解（分数：11.00）_22.设矩阵 A满足 A(E-C-1B)TCT=E+A
5、，其中，求矩阵 A（分数：11.00）_23.设二次型的秩为 1，且(0，1，-1) T为二次型的矩阵 A的特征向量 () 求常数 a，b； () 求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX化为标准形（分数：11.00）_考研数学二-101 (1)答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.(A) x=x0为 f(x)的极大点B.(B) x=x0为 f(x)的极小点C.(C) (x0，f(x 0)为
6、曲线 y=f(x)的拐点 D.(D) (x0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：由极限的保号性，存在 0，当 0|x-x 0| 时， 当 x(x 0-，x 0)时，f“(x)0；当 x(x 0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)2.设 AX=b为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1， 2， 3为 AX=b的三个线性无关解，则方程组 AX=b的通解为( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：因为 A至少两行不成比例，所以 r(n)2，又因为 AX=b有非零解，所以 r(A)=，于是 r(A)=2，故方程组AX
7、=b的通解形式为 k+，其中 = 1+ 2+ 3-3 1=3.设，则为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：4.若 f(x)C1，+)，在1，+)内可导，f(1)0，f“(x)k0，则在(1，+)内 f(x)=0( )（分数：4.00）A.(A) 至少有一个根B.(B) 只有一根 C.(C) 没有根D.(D) 有无根无法确定解析：当 x1 时，由 f(x)-f(1)=f()(x-1)k(x-1)得 f(x)f(1)+k(x-1)，于是因为 f(x)在1，+)上连续且 f(1)0，所以 f(x)=0在(1，+)内至少有一个根，又因为 f(x)k0，所以 f(x)单调增加，于是 f(x)
8、=0在(1，+)内有且仅有一个根，选(B)5.设，且 f“(0)存在，则( )（分数：4.00）A.(A) a=2，b=2，c=1B.(B) a=-2，b=-2，c=-1C.(C) a=-2，b=2，c=1 D.(D) a=-2，b=2，c=-1解析：f(0-0)=f(0)=c，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0处连续得 c=1， 因为 f“(0)存在，所以 a=-2，选(C)6.设 f(x)连续，则为( )（分数：4.00）A.(A) 0B.(B) f(x+b)C.(C) f(x+b)-f(x+a) D.(D) f(b+y)-f(a+y)解析：7.设 a0，b0 为两个常数，则为( )
9、（分数：4.00）A. B.C.D.解析：令，当 x0 +时，m+，其中 01，则解析：因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0只有零解，而由 AB=O得 B的列向量为方程组 AX=0的解，故若 AB=O，则B=O； 令 BX=0，ABX=0 为两个方程组，显然若 BX=0，则 ABX=0，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=n，所以方程组AX=0只有零解，于是 BX=0，即方程组 BX=0与 ABX=0为同解方程组，故 r(AB)=r(B)； 因为 r(A)=n，所以 A经过有限次初等行变换化为，即存在可逆矩阵 P使得 PA=，令 B=(En O)P，则 BA=E； ，B=(1 1 1)，
10、r(A)=1，但 r(BA)=0r(B)=1，选(D)二、B填空题/B(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 f(1)=2，则 g“(2)= 1（分数：4.00）解析：解析：当 0x1 时， 当 x=1时，f(x)=0； 当 x1 时，解析：解析：由极限的保号性，存在 0，当 0|x-x 0| 时， 当 x(x 0-，x 0)时，f“(x)0；当 x(x 0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)13.微分方程 y“+y=-2x的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=C 1
11、cosx+C2sinx-2x）解析：y“+y=-2x的特征方程为 2+1=0，特征值为 1,2=i，y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx，又 y“+y=-2x显然有特解 y=-2x，故方程 y“+y=-2x的通解为 y=C1cosx+C2sinx-2x解析：因为 B=AE12(2)E13，所以|B|=|A|E 12(2)|E13|=-3，又因为 B*=|B|B-1，所以， 三、B解答题/B(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，证明：存在 (0，1)，使得 f“()8（分数：11.00）_正确答案：()解析：因为，所以存在 c(
12、0，1)，使得 f(c)=-1且 f(c)=0, 由泰勒公式得 故存在 (0，1)，使得f“()816.求不定积分（分数：11.00）_正确答案：()解析：17.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且，f(1)=1，f(2)=6证明：存在 (0，2)，使得（分数：11.00）_正确答案：()解析：由，得 f(0)=0，f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2，P(1)=1，P(2)=6， 解得，C=2，D=0 令 则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0， 因此 (x)在0，1和1，2上都满
13、足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)， 使得 ( 1)=( 2)=0 又 (0)=0，由罗尔定理，存在 1(0， 1)， 1( 1， 2)，使得 “( 1)=“( 2)=0，再由罗尔定理，存在，使得18.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且 f“(x)0证明：（分数：11.00）_正确答案：()解析：因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，故 f()f(x)，19.计算二重积分，其中积分区域 D=(x，y)|0x 2yx1（分数：11.00）_正确答案：()解析：20.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ex+ey=e
14、z确定，其中 f二阶连续可偏导，求（分数：11.00）_正确答案：()解析：由 ex+ey=ez得 21.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x的通解（分数：11.00）_正确答案：()解析：特征方程为 2+-2=0， 特征值为 1=-2， 2=1，y“+y-2y=0 的通解为 y=C1e-2x+C2ex 设 y“+y-2y=xex (*) y“+y-2y=sin2x (*) 令(*)的特解为 y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得， 由 y“+y-2y=sin2x得， 显然有特解， 对，令其特解为 y=Acos2x+Bsin2x,代入得，则，所以原方程的通解为 22.设矩阵 A满足 A(E-C-1B)TCT=E+A，其中，求矩阵 A（分数：11.00）_正确答案：()解析：由 A(E-C-1B)TCT=E+A得 AC(E-C-1B)T=E+A， 即 E+A=A(C-B)T，E=A(C-B)-E T， 23.设二次型的秩为 1，且(0，1，-1) T为二次型的矩阵 A的特征向量 () 求常数 a，b； () 求正交变换 X=QY，使二次型 XTAX化为标准形（分数：11.00）_正确答案：()解析：()
