1、考研数学二-101 (1)及答案解析(总分:155.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导,且 f(x0)=f“(x0)=0,f“(x 0)0,则下列结论正确的是( )(分数:4.00)A.(A) x=x0为 f(x)的极大点B.(B) x=x0为 f(x)的极小点C.(C) (x0,f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点D.(D) (x0,f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点2.设 AX=b为三元非齐次线性方程组,A 至少有两行不成比例, 1, 2, 3为 AX=b的三个线性无关解,则方程组 AX=b的通解
2、为( ) (分数:4.00)A.B.C.D.3.设,则为( )(分数:4.00)A.B.C.D.4.若 f(x)C1,+),在1,+)内可导,f(1)0,f“(x)k0,则在(1,+)内 f(x)=0( )(分数:4.00)A.(A) 至少有一个根B.(B) 只有一根C.(C) 没有根D.(D) 有无根无法确定5.设,且 f“(0)存在,则( )(分数:4.00)A.(A) a=2,b=2,c=1B.(B) a=-2,b=-2,c=-1C.(C) a=-2,b=2,c=1D.(D) a=-2,b=2,c=-16.设 f(x)连续,则为( )(分数:4.00)A.(A) 0B.(B) f(x+b
3、)C.(C) f(x+b)-f(x+a)D.(D) f(b+y)-f(a+y)7.设 a0,b0 为两个常数,则为( )(分数:4.00)A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)为单调函数,且 g(x)为其反函数,又设 f(1)=2,则 g“(2)= 1(分数:4.00)13.微分方程 y“+y=-2x的通解为 1(分数:4.00)填空项 1:_三、B解答题/B(总题数:9,分数:99.00)15.设 f(x)二阶可导,且 f(0)=f(1)=0,证明:存在 (0,1),使得 f“()8(分数:11.00)_16.求不定积分(分数:11.00)_17.设
4、 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内三阶可导,且,f(1)=1,f(2)=6证明:存在 (0,2),使得(分数:11.00)_18.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)=0,在(0,a)内二阶可导且 f“(x)0证明:(分数:11.00)_19.计算二重积分,其中积分区域 D=(x,y)|0x 2yx1(分数:11.00)_20.设 u=f(x2+y2,xz),z=z(x,y)由 ex+ey=ez确定,其中 f二阶连续可偏导,求(分数:11.00)_21.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x的通解(分数:11.00)_22.设矩阵 A满足 A(E-C-1B)TCT=E+A
5、,其中,求矩阵 A(分数:11.00)_23.设二次型的秩为 1,且(0,1,-1) T为二次型的矩阵 A的特征向量 () 求常数 a,b; () 求正交变换 X=QY,使二次型 XTAX化为标准形(分数:11.00)_考研数学二-101 (1)答案解析(总分:155.00,做题时间:90 分钟)一、B选择题/B(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导,且 f(x0)=f“(x0)=0,f“(x 0)0,则下列结论正确的是( )(分数:4.00)A.(A) x=x0为 f(x)的极大点B.(B) x=x0为 f(x)的极小点C.(C) (x0,f(x 0)为
6、曲线 y=f(x)的拐点 D.(D) (x0,f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点解析:由极限的保号性,存在 0,当 0|x-x 0| 时, 当 x(x 0-,x 0)时,f“(x)0;当 x(x 0,x 0+)时,f“(x)0,则(x 0,f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点,选(C)2.设 AX=b为三元非齐次线性方程组,A 至少有两行不成比例, 1, 2, 3为 AX=b的三个线性无关解,则方程组 AX=b的通解为( ) (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:因为 A至少两行不成比例,所以 r(n)2,又因为 AX=b有非零解,所以 r(A)=,于是 r(A)=2,故方程组AX
7、=b的通解形式为 k+,其中 = 1+ 2+ 3-3 1=3.设,则为( )(分数:4.00)A.B.C. D.解析:4.若 f(x)C1,+),在1,+)内可导,f(1)0,f“(x)k0,则在(1,+)内 f(x)=0( )(分数:4.00)A.(A) 至少有一个根B.(B) 只有一根 C.(C) 没有根D.(D) 有无根无法确定解析:当 x1 时,由 f(x)-f(1)=f()(x-1)k(x-1)得 f(x)f(1)+k(x-1),于是因为 f(x)在1,+)上连续且 f(1)0,所以 f(x)=0在(1,+)内至少有一个根,又因为 f(x)k0,所以 f(x)单调增加,于是 f(x)
8、=0在(1,+)内有且仅有一个根,选(B)5.设,且 f“(0)存在,则( )(分数:4.00)A.(A) a=2,b=2,c=1B.(B) a=-2,b=-2,c=-1C.(C) a=-2,b=2,c=1 D.(D) a=-2,b=2,c=-1解析:f(0-0)=f(0)=c,f(0+0)=1,由 f(x)在 x=0处连续得 c=1, 因为 f“(0)存在,所以 a=-2,选(C)6.设 f(x)连续,则为( )(分数:4.00)A.(A) 0B.(B) f(x+b)C.(C) f(x+b)-f(x+a) D.(D) f(b+y)-f(a+y)解析:7.设 a0,b0 为两个常数,则为( )
9、(分数:4.00)A. B.C.D.解析:令,当 x0 +时,m+,其中 01,则解析:因为 r(A)=n,所以方程组 AX=0只有零解,而由 AB=O得 B的列向量为方程组 AX=0的解,故若 AB=O,则B=O; 令 BX=0,ABX=0 为两个方程组,显然若 BX=0,则 ABX=0,反之,若 ABX=0,因为 r(A)=n,所以方程组AX=0只有零解,于是 BX=0,即方程组 BX=0与 ABX=0为同解方程组,故 r(AB)=r(B); 因为 r(A)=n,所以 A经过有限次初等行变换化为,即存在可逆矩阵 P使得 PA=,令 B=(En O)P,则 BA=E; ,B=(1 1 1),
10、r(A)=1,但 r(BA)=0r(B)=1,选(D)二、B填空题/B(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)为单调函数,且 g(x)为其反函数,又设 f(1)=2,则 g“(2)= 1(分数:4.00)解析:解析:当 0x1 时, 当 x=1时,f(x)=0; 当 x1 时,解析:解析:由极限的保号性,存在 0,当 0|x-x 0| 时, 当 x(x 0-,x 0)时,f“(x)0;当 x(x 0,x 0+)时,f“(x)0,则(x 0,f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点,选(C)13.微分方程 y“+y=-2x的通解为 1(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:y=C 1
11、cosx+C2sinx-2x)解析:y“+y=-2x的特征方程为 2+1=0,特征值为 1,2=i,y“+y=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx,又 y“+y=-2x显然有特解 y=-2x,故方程 y“+y=-2x的通解为 y=C1cosx+C2sinx-2x解析:因为 B=AE12(2)E13,所以|B|=|A|E 12(2)|E13|=-3,又因为 B*=|B|B-1,所以, 三、B解答题/B(总题数:9,分数:99.00)15.设 f(x)二阶可导,且 f(0)=f(1)=0,证明:存在 (0,1),使得 f“()8(分数:11.00)_正确答案:()解析:因为,所以存在 c(
12、0,1),使得 f(c)=-1且 f(c)=0, 由泰勒公式得 故存在 (0,1),使得f“()816.求不定积分(分数:11.00)_正确答案:()解析:17.设 f(x)在0,2上连续,在(0,2)内三阶可导,且,f(1)=1,f(2)=6证明:存在 (0,2),使得(分数:11.00)_正确答案:()解析:由,得 f(0)=0,f(0)=2 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D,使得 P(0)=0,P(0)=2,P(1)=1,P(2)=6, 解得,C=2,D=0 令 则 (x)在0,2上连续,在(0,2)内可导,且 (0)=(1)=(2)=0, 因此 (x)在0,1和1,2上都满
13、足罗尔定理的条件,则存在 1(0,1), 2(1,2), 使得 ( 1)=( 2)=0 又 (0)=0,由罗尔定理,存在 1(0, 1), 1( 1, 2),使得 “( 1)=“( 2)=0,再由罗尔定理,存在,使得18.设 f(x)在0,a上一阶连续可导,f(0)=0,在(0,a)内二阶可导且 f“(x)0证明:(分数:11.00)_正确答案:()解析:因为 f“(x)0,所以 f(x)单调增加,故 f()f(x),19.计算二重积分,其中积分区域 D=(x,y)|0x 2yx1(分数:11.00)_正确答案:()解析:20.设 u=f(x2+y2,xz),z=z(x,y)由 ex+ey=e
14、z确定,其中 f二阶连续可偏导,求(分数:11.00)_正确答案:()解析:由 ex+ey=ez得 21.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x的通解(分数:11.00)_正确答案:()解析:特征方程为 2+-2=0, 特征值为 1=-2, 2=1,y“+y-2y=0 的通解为 y=C1e-2x+C2ex 设 y“+y-2y=xex (*) y“+y-2y=sin2x (*) 令(*)的特解为 y1(x)=(ax2+bx)ex,代入(*)得, 由 y“+y-2y=sin2x得, 显然有特解, 对,令其特解为 y=Acos2x+Bsin2x,代入得,则,所以原方程的通解为 22.设矩阵 A满足 A(E-C-1B)TCT=E+A,其中,求矩阵 A(分数:11.00)_正确答案:()解析:由 A(E-C-1B)TCT=E+A得 AC(E-C-1B)T=E+A, 即 E+A=A(C-B)T,E=A(C-B)-E T, 23.设二次型的秩为 1,且(0,1,-1) T为二次型的矩阵 A的特征向量 () 求常数 a,b; () 求正交变换 X=QY,使二次型 XTAX化为标准形(分数:11.00)_正确答案:()解析:()