1、考研数学二-100 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：15.00)1.设三阶方阵 A，B 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 （分数：1.00）2.设矩阵 （分数：1.00）3.设 1 ， 2 ， 3 均为三维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )如果|A|=1，那么|B|= 1 （分数：1.00）4.设矩阵 （分数：1.00）5.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式|2A|=-48，则 = 1 （分数：1.00
2、）6.设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A -1 +B|=2，则|A+B -1 |= 1 （分数：1.00）7.设 A 为 3 阶矩阵，|A|=3，A * 为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则|BA * |= 1 （分数：1.00）8.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，|A|为 A 的行列式，A ij 为 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则|A|= 1 （分数：1.00）9.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2，1，B=A 2 -A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式|B|=
3、1 （分数：1.00）10.已知 =(1，2，3)， （分数：1.00）11.设 （分数：1.00）12.设 （分数：1.00）13.设 为 3 维列向量， T 是 的转置若 （分数：1.00）14.设矩阵 （分数：1.00）15.设矩阵 （分数：1.00）二、选择题(总题数：11，分数：11.00)16.记行列式 （分数：1.00）A.1B.2C.3D.417.行列式 （分数：1.00）A.B.C.D.18.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（分数：1.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0C.当 nm 时，必有行列式|AB|0D.当
4、 nm 时，必有行列式|AB|=019.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A 3 =O，则（分数：1.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆B.E-A 不可逆，E+A 可逆C.E-A 可逆，E+A 可逆D.E-A 可逆，E+A 不可逆20.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * = A.kA* B.kn-1A* C.knA* D.k-1A*（分数：1.00）A.B.C.D.21.设 A，B 均为 2 阶方阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为 A
5、 B C D （分数：1.00）A.B.C.D.22.设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.23.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的 A.交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B* B.交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B* C.交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B * D.交换 A*的第 1 行与第 2 行得-B *（分数：1.00）A.B.C.D
6、.24.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 （分数：1.00）A.B.C.D.25.设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ 为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.26.设 A 为 3 阶矩阵将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵记 则 A= AP 1 P 2 B CP 2 P 1 D （分数：1.00）A.B.C.D.三、解答题
7、(总题数：8，分数：74.00)27.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：9.00）_28.设 A 为 n 阶非零方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵当 A * =A T 时，证明|A|0 （分数：9.00）_29.已知矩阵 （分数：9.00）_30.设(2E-C -1 B)=A T =C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：9.00）_31.设矩阵 （分数：9.00）_32.已知矩阵 （分数：9.00）_已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A -1 B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵（分数：10
8、.00）(1).证明：矩阵 A-2E 可逆；（分数：5.00）_(2).若 （分数：5.00）_设矩阵 （分数：10.00）(1).求 a 的值；（分数：5.00）_(2).若矩阵 X 满足 X-XA 2 -AX+AXA 2 =E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X（分数：5.00）_考研数学二-100 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：15，分数：15.00)1.设三阶方阵 A，B 满足 A 2 B-A-B=E，其中 E 为三阶单位矩阵，若 （分数：1.00）解析： 解析 由 A 2 B-A-B=E 得 (A 2 -E)B=A+E，即(A+E)(A-E
9、)B=A+E 而 为可逆矩阵，所以有 (A-E)B=E， 由此得 B=(A-E) -1 又 故|A-E|=2， 因此 2.设矩阵 （分数：1.00）解析： 解析 由 ABA * =2BA * +E 知，(A-2E)BA * =E，B=(A-2E) -1 (A * ) -1 ，故|B|=|A * | -1 |A-2E| -1 由 知|A * |=9， 于是 3.设 1 ， 2 ， 3 均为三维列向量，记矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 + 2 + 3 ， 1 +2 2 +4 3 ， 1 +3 2 +9 3 )如果|A|=1，那么|B|= 1 （分数：1.00）解析：2 解析 解法
10、 1 利用行列式的性质计算 解法 2 利用矩阵的性质计算 则 4.设矩阵 （分数：1.00）解析：2 解析 由题设等式得 B(A-E)=2E， 从而|B(A-E)|=|2E|， 即|B|A-E|=2 2 =4 因为 5.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，3，若行列式|2A|=-48，则 = 1 （分数：1.00）解析：-1 解析 因为|A|=6，故有 -48=|2A|=8|A|=48， 所以 =-16.设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A -1 +B|=2，则|A+B -1 |= 1 （分数：1.00）解析：3 解析 因为 |A|A -1 +B|=|A(A -1 +B)
11、|=|E+AB|=|(B -1 +A)B|=|B -1 +A|B|， 即 2|B -1 +A|=6， 所以|A+B -1 |=3 对于|A+B|型行列式，一般是恒等变形转化为乘积的形式，其中单位矩阵 E 恒等变形是一个常用技巧7.设 A 为 3 阶矩阵，|A|=3，A * 为 A 的伴随矩阵若交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，则|BA * |= 1 （分数：1.00）解析：-27 解析 由题意知|B|=-|A|，而|A * |=|A| 2 ，故 |BA * |=|B|A * |=-|A| 3 =-278.设 A=(a ij )是 3 阶非零矩阵，|A|为 A 的行列式，A ij 为
12、 a ij 的代数余子式若 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)，则|A|= 1 （分数：1.00）解析：-1 解析 由 a ij +A ij =0(i，j=1，2，3)知，A 的伴随矩阵 A * 满足 A * =-A T 及|A * |=(-1) 3 |A T |=-|A|， 再由|A * |=|A| 3-1 =|A| 2 ， 得|A| 2 +|A|=0 最后，由行列式的展开定理得 从而 9.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，-2，1，B=A 2 -A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式|B|= 1 （分数：1.00）解析：21 解析 A 的特征值为 2，-2，1，则
13、B 的特征值对应分别为 3，7，1，所以|B|=21 也可设 A 是对角线元素为 2，-2，1 的对角矩阵，则 B 是对角线元素为 3，7，1 的对角矩阵，可得|B|=2110.已知 =(1，2，3)， （分数：1.00）解析： 解析 因为 应用矩阵乘法的结合律，得 11.设 （分数：1.00）解析：O 33 (即 33 阶零矩阵) 解析 由于 A 2 =2A，故 A n -2A n-1 =A n-2 (A 2 -2A)=O计算矩阵A 的高次幂阵，通常要找出规律，从而简化运算 先求出 A 2 ，A 3 等低次幂阵，找出规律12.设 （分数：1.00）解析： 解析 此类填空题，总是先进行符号推导
14、再代入数字运算 因为 B+E=(E+A) -1 (E-A)+E =(E+A) -1 (E-A+E+A) =2(E+A) -1 ， 所以 13.设 为 3 维列向量， T 是 的转置若 （分数：1.00）解析：3 解析 设 由题设知 ，故 14.设矩阵 （分数：1.00）解析：1 解析 因为 故 A 3 的秩为 1 计算 A 3 ，可以直接由乘法得到，这是最基本的方法，应熟练掌握此外，也可由这种矩阵方幂的规律得到：设 则 15.设矩阵 （分数：1.00）解析：2 解析 矩阵 A，B 等价 r(A)=r(B) 因为 ，因此 二、选择题(总题数：11，分数：11.00)16.记行列式 （分数：1.0
15、0）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 此题实质上是计算行列式，看计算出的 x 的多项式次数是多少在计算过程中要充分运用行列式的性质 17.行列式 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 解法 1 用行列式的性质与公式计算行列式： 解法 2 用行列式的性质与按一行(列)展开定理计算行列式： 18.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则（分数：1.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0 C.当 nm 时，必有行列式|AB|0D.当 nm 时，必有行列式|AB|=0解析：解析 由各选项可见，主要区分行列式不为零与为零的情形而题中并未给
16、出 A 与 B 的具体形式，所以无法用计算来回答。方阵的行列式不为零(为零)等价于该方阵满秩(不满秩)故用秩的办法来讨论 AB 为 m 阶方阵， r(AB)minr(A)，r(B)minm，n， 当 mn 时，由上式有 r(AB)nm，即 AB 不是满秩的，所以|AB|=0故选 B19.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 A 3 =O，则（分数：1.00）A.E-A 不可逆，E+A 不可逆B.E-A 不可逆，E+A 可逆C.E-A 可逆，E+A 可逆 D.E-A 可逆，E+A 不可逆解析：解析 解法 1 因为 A 3 =O，故 即分别存在矩阵 E-A+A 2 和 E+A+A
17、 2 使 (E+A)(E-A+A 2 )=E， (E-A)(E+A+A 2 )=E， 可知 E-A 与 E+A 都是可逆的，所以应选 C 解法 2 设 是 A 的特征值，由 A=O，得 3 = 20.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * = A.kA* B.kn-1A* C.knA* D.k-1A*（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 解法 1 本题考查数与矩阵的乘法及伴随矩阵的概念设 A=(a ij ) nn ，其元素 a ij 的代数余子式记作 A ij ，则矩阵 kA=(ka ij ) nn 若其元素 ka i
18、j 的代数余子式记作 ij (i，j=1，2，n)，则由行列式性质， ij =k n-1 A ij ，i，j=1，2，n 再由伴随矩阵的定义知(kA) * =k n-1 A * ，可知 B 项正确该题较简单，所以得分率偏高题中对 n 和k 的限制(除 k0)是为了做到 4 个选项只有 1 个是正确的 解法 2 不妨加强条件设 A 可逆，(kA)(kA) * =(kA) * (kA)=|kA|E=k n |A|E，于是 (kA) * =k n-1 |A|A -1 =k n-1 A * 解法 2 中利用了 AA * =A * A=|A|E 这一有关伴随矩阵的核心公式21.设 A，B 均为 2 阶方
19、阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵 的伴随矩阵为 A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 解法 1 对任一 n 阶矩阵 C，有 C * C=CC * =|C|E， 其中 C * 是 C 的伴随矩阵因此可直接用乘法验证，排除错误选项 对选项 A，有 E 2 为 2 阶单位矩阵； 对选项 B，有 E 4 为 4 阶单位矩阵； 对选项 C，D，分别有 由此知选项 B 正确 解法 2 设 分别求出 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 因为 所以 BX 1 =O，AX 4 =O，由已知，A，B 均可逆，故 X 1 =x 4 =O
20、；另一方面，有 其中 ，故得 解法 3 ，则 可逆，于是 22.设 A 是三阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为 A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题意知，Q=E 1 E 2 ，其中 故 23.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的 A.交换 A*的第 1 列与第 2 列得 B* B.交换 A*的第 1 行与第 2 行得 B* C.交换 A*的第 1 列与第 2 列得-B * D.交换 A*
21、的第 1 行与第 2 行得-B *（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设知 B=E(1，2)A，其中 E(1，2)是将矩阵第 1 行(列)与第 2 行(列)交换的初等变换所对应的初等矩阵，因而 B -1 =A -1 E(1，2) -1 由于 24.设 A 为三阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C，记 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由题设知 B=PA，C=BQ，其中初等矩阵 25.设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2
22、， 2 ， 3 )，则 Q T AQ 为 A B C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 对矩阵 P 作初等列变换：把第 2 列加到第 1 列上，便可得到矩阵 Q若记 E 12 为上述初等变换所对应的初等矩阵，则 Q=PE 12 ，其中 于是 26.设 A 为 3 阶矩阵将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B，再交换 B 的第 2 行与第 3 行得单位矩阵记 则 A= AP 1 P 2 B CP 2 P 1 D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题考查矩阵的初等变换与初等矩阵由题设条件知，矩阵 P 1 ，P 2 正是与题中所给初等变换相对应的初等矩阵根据初
23、等矩阵的性质，有 B=AP 1 和 E=P 2 B，从而 E=P 2 AP 1 ，即 ，故有 三、解答题(总题数：8，分数：74.00)27.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证法 1 记 以下用数学归纳法证明 当 n=1 时，D 1 =2a，结论成立； 当 n=2 时， 结论成立 假设结论对于小于 n 的情况成立将 D n 按第 1 行展开得 28.设 A 为 n 阶非零方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵当 A * =A T 时，证明|A|0 （分数：9.00）_正确答案：()解析：证法 1 设 其中 i 为 A 的行向量
24、(1in)，则 由公式 AA * =|A|E，故 根据已知，有 AA T =|A|E (反证法)如果|A|=0，由上，有 则 (i=1，2，n)，即| i | 2 =0，故所有 i =0，即 A=O，这与 A 是非零矩阵矛盾，故|A|0 证法 2 A * =A T ，则 A ij =a ij ，由于 A 是非零矩阵，不妨设 a 11 0，按照第一行展开，有|A|=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n = 29.已知矩阵 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 由 A 2 -AB=A(A-B)=E，及|A|=-10，知 A-B=A -1 即 B=A-A -1 又 从
25、而 30.设(2E-C -1 B)=A T =C -1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 由题设得 C(2E-C -1 B)A T =E， 即(2C-B)A T =E 由于 故 2C-B 可逆 于是 31.设矩阵 （分数：9.00）_正确答案：()解析：解 由原等式得(A * -2E)X=A -1 ，其中 E 是 3 阶单位矩阵，用矩阵 A 左乘等式两端，得 (|A|E-2A)X=E， 可见|A|E-2A 可逆，从而 X=(|A|E-2A) -1 由于 故 32.已知矩阵 （分数：9.00）_正确答案：()解析
26、：解 由题设的关系式得 AX(A-B)+BX(B-A)=E， 即 (A-B)X(A-B)=E 由于行列式 所以矩阵 A-B 可逆，且 故 已知 A，B 为 3 阶矩阵，且满足 2A -1 B=B-4E，其中 E 是 3 阶单位矩阵（分数：10.00）(1).证明：矩阵 A-2E 可逆；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 2A -1 B=B-4E 知 AB-4A-2B=O 从而(A-2E)(B-4E)=8E 或 ，从而 A-2E 可逆，且 (2).若 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由上一小题知 A=2B(B-4E) -1 ， 而 故 设矩阵 （分数：10.00）(1).求 a 的值；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由于 A 3 =O，所以 (2).若矩阵 X 满足 X-XA 2 -AX+AXA 2 =E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求 X（分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由于 X-XA 2 -AX+AXA 2 =E 所以 (E-A)X(E-A 2 )=E 由上一小题知 因为 E-A，E-A 2 均可逆，所以
