1、考研数学三（随机变量的数字特征）-试卷 2及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=EXEY，则 X与 Y（分数：2.00）A.相关B.不相关C.独立D.不独立3.将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于（分数：2.00）A.-1B.0C.D.1.4.对于任意二随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是（分数：2.00）A.EXY=EXEYB.Co
2、v(X，Y)=0C.DXY=DXDYD.D(X+Y)=DX+Dy5.假设随机变量 X在区间-1，1上均匀分布，则 U=arcsinX和 V=arccosX的相关系数等于（分数：2.00）A.-1B.0C.05D.1.6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.-1B.0C.D.1.7.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 PX-EX3 （分数：2.00）A.DX=2B.PX-EX3C.DX2D.PX-EX38.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =l，i=1，n，则对任意 0
3、，根据切比雪夫不等式直接可得 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击如果第 i名射手每次命中概率为 p i (0p i 1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为 1.（分数：2.00）填空项 1:_10.将长度为 L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X-1，则 Y与 Z的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X和 Y的相关系数为 05，
4、EX=EY=0，EX 2 =EY 2 =2，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_16.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_17.假设随机变量 X的密度函数 f(x)=ce -x (0，-x+)，Y=X ()求常数 c及EX，DX；()
5、问 X与 Y是否相关?为什么?()问 X与 Y是否独立?为什么?（分数：2.00）_18.设某网络服务器首次失效时间服从 E()，现随机购得 4台，求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；()事件 B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命（分数：2.00）_19.设随机变量 X服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Y i (i=1，2，3，4)的数学期望和方差： ()Y 2 =e X ； ()Y 2 =-2lnX； ()Y 3 = （分数：2.00）_20.设 X和 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中 0，0 是常数，引入随机变量（分
6、数：2.00）_21.设随机变量 X，Y 相互独立，已知 X在0，1上服从均匀分布，Y 服从参数为 1的指数分布求()随机变量 Z=2X+Y的密度函数；()Cov(Y，Z)，并判断 X与 Z的独立性（分数：2.00）_22.设二维随机变量(U，V)N （分数：2.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）_24.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，0y2上服从均匀分布，令 Z=min(X，Y)，求EZ与 DZ（分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X 12 是取自总体 X的一个简单随机样本，EX=，DX=记 Y 1 =X 1 +X 8
7、 ，Y 2 =X 5 +X 12 ，求 Y 1 与 Y 2 的相关系数（分数：2.00）_26.写了 n封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 Y表示地址恰好写对的信的数目，求 EY及DY（分数：2.00）_27.设随机变量 X和 Y独立，并且都服从正态分布 N(， 2 )，求随机变量 Z=min(X，Y)的数学期望（分数：2.00）_28.将一颗骰子重复投掷 n次，随机变量 X表示出现点数小于 3的次数，Y 表示出现点数不小于 3的次数求 3X+Y与 X-3Y的相关系数（分数：2.00）_29.设随机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_30.设二维连续型随机变量(X，Y
8、)在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1上服从均匀分布()问 X与 Y是否相互独立； ()求 X与 Y的相关系数（分数：2.00）_考研数学三（随机变量的数字特征）-试卷 2答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设二维随机变量(X，Y)满足 E(XY)=EXEY，则 X与 Y（分数：2.00）A.相关B.不相关 C.独立D.不独立解析：解析：因 E(XY)=EXEY，故 Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY=0，3.将一枚硬币重复掷 n次，以
9、X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于（分数：2.00）A.-1 B.0C.D.1.解析：解析：依题意，Y=n-X，故 XY=-1应选(A)一般来说，两个随机变量 X与 Y的相关系数 XY，满足XY1若 Yy=aX+b，则当 a0 时，XY=1，当 a0 时，XY=-14.对于任意二随机变量 X和 Y，与命题“X 和 Y不相关”不等价的是（分数：2.00）A.EXY=EXEYB.Cov(X，Y)=0C.DXY=DXDY D.D(X+Y)=DX+Dy解析：解析：由于 Cov(X，Y)=EXY-EXEY=0 是“X 和 Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价
10、由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是 Cov(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价于是，“X 和 Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价故应选(C) 选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例设 X和 y同服从参数为 p(0p1)的 0-1分布且相互独立，从而 X与 Y不相关易见 DX=DY=p(1-p)；乘积 XY服从参数为，p 2 的 01 分布： PXY=1=PX=1，Y=1=p 2 ，PXY=0=1-p 2 因此 DXY=p 2 (1-p 2 )p 2 (1-p) 2 =DXDY5.假设随机变量 X在区间-1，1上均匀分布，则 U=arcsinX和 V=arc
11、cosX的相关系数等于（分数：2.00）A.-1 B.0C.05D.1.解析：解析：注意到 U=arcsinX和 Y=arccosX满足下列关系： 即 U=-V+6.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且方差 2 0，记 （分数：2.00）A.-1B.0 C.D.1.解析：解析：由于 X i 独立同分布，故 DX i = 2 ，DX= ，Cov(X 1 ，X i )=0(i1)， 7.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 PX-EX3 （分数：2.00）A.DX=2B.PX-EX3C.DX2D.PX-EX3 解析：解析：因事件X-EX3是事件X-EX3的对立事件，且
12、题设 PX-EX3 ，因此一定有 PX-EX3 ，即选项(D)正确 进一步分析，满足不等式 PX-EX3的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此结论(A)与(C)都不能选比如：X 服从参数为 p的 0-1分布，DX=pq1，显然 DX2，但是 PX-EX3= 因此(A)不成立 若 X服从参数 n=8，p=05 的二项分布，则有 EX=4，DX=2但是 PX-EX3=PX-43 =PX=0+PX=1+PX=7+PX=8=8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =l，i=1，n，则对任意 0，根据切比雪夫不等式直接可得 （分数：
13、2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意知 EX i =0，i：1，n记 根据切比雪夫不等式，有 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击如果第 i名射手每次命中概率为 p i (0p i 1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数-1=未击中的次
14、数以 X i 表示第 i名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数 X i +1服从参数为p i 的几何分布，因此 PX i =k=(1-p i ) k p i ，i=1，2，且 E(X i +1)= ，i=1，2，于是 EX i =E(X i +1)-1= -1，两射手脱靶总数 X=X 1 +X 2 的期望为 10.将长度为 L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X为折点到左端点的距离，Y 为较短段的长，则 XU(0，L)，且11.设随机变量 X和 Y的相关系数为 09，若 Z=2X-1，则 Y与 Z的相关系
15、数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.9）解析：解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X-1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X-1)=4DX y 与 Z的相关系数 YZ 为12.设随机变量 X和 Y的相关系数为 05，EX=EY=0，EX 2 =EY 2 =2，则 E(X+Y) 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：DX=EX 2 -(EX) 2 =2，DY=2， 13.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0
16、.928）解析：解析：由于 EX=4，DX=0.8，EY=1，DY=1，所以 E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=18 根据切比雪夫不等式 P0X+Y10=PX+Y-551-三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求 X与 Y的相关系数通常是计算 EX，EY，DX，DY，EXY，然后根据公式求得XY 同样方法可以计算出 EY=DY=2又 ()由于 Cov(X，Y)=EXY-EXEY=0，故 )解析：
17、16.已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设易求得 U，V 的概率分布进而可求出(U，V)的概率分布.由于 又 PU=0，V=1=PX+Y1，X+Y2=0， 故(U，V)的概率分布为 ()由(U，V)的概率分布可求得 U与V的相关系数 由于 U，V 均服从 0-1分布，故 )解析：17.假设随机变量 X的密度函数 f(x)=ce -x (0，-x+)，Y=X ()求常数 c及EX，DX；()问 X与 Y是否相关?为什么?()问 X与 Y是否独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用 求 c；应用公式及充要条件解答其他问题
18、()由于 又 f(x)是偶函数，且反常积分 收敛，所以 ()由于 f(x)是偶函数，故 EXY=EXX= ，而 EX=0，所以 EXY=EX.EY，故 X与 Y不相关 ()下面我们应用事件关系证明 X与 Y=X不独立因为 X1 X1，又 PX1= )解析：18.设某网络服务器首次失效时间服从 E()，现随机购得 4台，求下列事件的概率：()事件 A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；()事件 B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设服务器首次失效时间为 X，则 ZE() ()由题设 XE()可知，X 为连续型随机变量由于连续型
19、随机变量取任何固定值的概率是 0，因此 P(A)=0. ()由于 XE(A)，则 E(X)=，即服务器的期望寿命为 从而一台服务器的寿命小于此类服务器期望寿命 E(X)的概率为而每台服务器的寿命可能小于 E(X)，也可能超过 E(X)，从而 4台服务器中寿命小于 E(X)的台数应该服从二项分布，故所求概率为 )解析：19.设随机变量 X服从(0，1)上的均匀分布，求下列 Y i (i=1，2，3，4)的数学期望和方差： ()Y 2 =e X ； ()Y 2 =-2lnX； ()Y 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可知，Y i (i=1，2，3，4)的概率密度 ，根据期望与方差
20、的定义与性质，可知 )解析：20.设 X和 Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中 0，0 是常数，引入随机变量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 Z为 0-1分布，故 E(Z)=PZ=1，D(Z)=PZ=1.PZ=0而 )解析：21.设随机变量 X，Y 相互独立，已知 X在0，1上服从均匀分布，Y 服从参数为 1的指数分布求()随机变量 Z=2X+Y的密度函数；()Cov(Y，Z)，并判断 X与 Z的独立性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的联合密度 ()分布函数法 F Z (z)=PZx=P2X+Yz 当z0 时，F Z (z)=0；当 0z2 时，如
21、图 41， Z的概率密度 f Z (z)为 ()由于 X，Y 相互独立，所以 Cov(X，Y)=0 Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于 Cov(X，Z)=Cov(X，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)= )解析：22.设二维随机变量(U，V)N （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 X=U-bV，Y=V，且 =10，故(X，Y)服从二维正态分布，所以 X 与Y独立等价于 X与 Y不相关，即 Cov(X，Y)=0，从而有 Cov(U-bV，V)=0，Cov(U，V)-bDV=0，即 解得 b=1，即当 b=1时，X 与 Y独立 (
22、)由正态分布的性质知 X=U-V服从正态分布，且 EX=EU-EV=2-2=0， DX=D(U-V)=DU+DV-2Cov(U，V)=4+1-2 所以 XN(0，3)，同理 Y=VN(2，1) 又因为 X与Y独立，故 )解析：23.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求出 X与 Y的边缘密度，再计算 EX，EY 等 )解析：24.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0x1，0y2上服从均匀分布，令 Z=min(X，Y)，求EZ与 DZ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 Z的分布函数 F Z (z)与概率密度 f Z
23、(z)，再计算 EZ与 DZ 当 z0 时，F Z (z)=0，当 z1 时，F Z (z)=1，当 0z1 时， Fz(z)=PZz =Pmin(X，y)z =1-Pmin(x，y)z =1-PXz，Yz=1-PXzPYz )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X 12 是取自总体 X的一个简单随机样本，EX=，DX=记 Y 1 =X 1 +X 8 ，Y 2 =X 5 +X 12 ，求 Y 1 与 Y 2 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X 12 相互独立且与总体 X同分布，于是有 EX i =，DX i = 2 ，Cov(X
24、i ，X j )= DY 1 =D(X 1 +X 8 )=DX 1 +DX 8 =8 2 ， DY 2 =D(X 5 +X 12 )=DX 5 +DX 12 =8 2 ， Cov(Y 1 ，Y 2 )=Cov(X 1 +X 8 ，X 5 +X 12 ) =Cov(X 5 ，X 5 )+Cov(X 6 ，X 6 )+Cov(X 7 ，X 7 )+Cov(X 8 ，X 8 )=4 2 ， 于是 Y 1 与 Y 2 的相关系数为 )解析：26.写了 n封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设 Y表示地址恰好写对的信的数目，求 EY及DY（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：引入
25、随机变量可以使事件的表示数字化，这是概率论所使用的重要工具这里除了 Y之外，再引入 n个随机变量 X k = 于是 Y= 27.设随机变量 X和 Y独立，并且都服从正态分布 N(， 2 )，求随机变量 Z=min(X，Y)的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 U=(X-)，V=(1-)，有 Z=minU+，V+=minU，V+ U 和 V服从标准正态分布 N(0，1)，其联合密度为 由求随机变量函数的数学期望的一般式，有(见图 44) )解析：28.将一颗骰子重复投掷 n次，随机变量 X表示出现点数小于 3的次数，Y 表示出现点数不小于 3的次数求 3X+Y与 X-3Y的相关
26、系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，X 服从二项分布，参数 p为掷一颗骰子出现点数小于 3的概率，即 p=，因此有 Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=-DX= 又 D(3X+Y)=9DX+6Cov(X，Y)+DY=4DX= D(X-3Y)=DX-6Cov(X，Y)+9DY=16DX= Cov(3X+Y，X-3Y)=3DX-8Cov(X，Y)-3DY=8DX=于是，3X+Y 与 X-3Y的相关系数 为 )解析：29.设随机变量 U服从二项分布 ，随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出 X与 Y的概率分布及 XY的概率分布即 PX=-1=PU0=PU=0
27、= PY=-1=PU2=1-PU=2= PXY=-1=PX=-1，Y=1+PX=1，Y=-1=0+ PXY=1=1-PXY=-1= 其次计算 EX，EY，DX，DY 与 E(XY).即 E(XY)=-PXY=-1+PXY=1=0 最后应用公式可得 Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY= )解析：30.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)x 2 +y 2 1上服从均匀分布()问 X与 Y是否相互独立； ()求 X与 Y的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，(X，Y)的联合密度为 ()为判断 X与 Y的相互独立性，先要计算边缘密度 f X (x)与 f Y (y) 当 x=y=0时，f(0，0)= 显然它们不相等，因此随机变量 X与 Y不是相互独立的 在这里，被积函数是奇函数，而积分区间-1，1又是关于原点对称的区间，故积分值为零类似地，有 EY=0， )解析：
