1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 139及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.则必有( ) （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B3.设 n维列向量组 1 ， m (mn)线性无关，则 n维列向量组 1 ， m 线性无关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示B.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示C.
2、向量组 1 ， m 与向量组 1 ， m 等价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价4.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6时 P的秩必为 1B.t=6时 P的秩必为 2C.t6 时 P的秩必为 1D.t6 时 P的秩必为 25.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 4x 3 2 4x 1 x 2 2x 2 x 3 的标准形是( )（分数：2.00）A.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2B.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2C.2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 2二、填空题(总题数：5，分数：10.0
3、0)6. （分数：2.00）填空项 1:_7.方程 f(z)= （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 =(1，2，3)，=(1，12，13)，矩阵 A= T ，n 为正整数，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 3阶方阵 A、B 满足 A 2 BAB=E，其中 E为 3阶单位矩阵，若 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知向量组 1 =(1，2，1，1)， 2 =(2，0，t，0)， 3 =(0，4，5，2)的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_
4、12.设 B是元素全都为 1的 n阶方阵(n1)证明：(EB) 1 =E （分数：2.00）_13.设 A、B 都是 n阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，|A|+|B|=0，证明：|A+B|=0（分数：2.00）_（分数：4.00）(1).求 A n (n=2，3，)；（分数：2.00）_(2).若方阵 B满足 A 2 +ABA=E，求 B（分数：2.00）_14.设 4阶实方阵 A=(a ij ) 44 满足： (1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式)； (2)a 11 0，求|A|（分数：2.00）_15.设矩阵 （分数：2.
5、00）_16.设 A是 n阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k X=0有解向量 ，且 A k1 0，证明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_17.设向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，向量组()可由向量组()： 1 ， 2 ， s 可由()线性表示： j =a 1j 1 +a 2j 2 +a rj r (j=1，2，s)证明：向量组()线性无关 （分数：2.00）_18.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b 12 ，b 1，2n ) T ，(b 21 ，b 22 ，b 2，2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b n，2n ) T 试写出线
6、性方程组 （分数：2.00）_19. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_已知线性方程组 （分数：4.00）(1).a，b，c 满足何种关系时，方程组仅有零解?（分数：2.00）_(2).a，b，c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解（分数：2.00）_20.已知 3阶矩阵 A的第 1行是(a，b，c)，矩阵 B= （分数：2.00）_21.已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）_22.已知矩阵 A=(a ij ) nn 的秩为 n1，求 A的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量（分数：2.00）_设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 =
7、2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(1，2，3) T ，都是 A的属于特征值 6的特征向量（分数：4.00）(1).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_23.设矩阵 A nn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B 2 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 139答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.则必有( ) （
8、分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：注意依次对 A施行下列两种初等行变换，即得矩阵 B：先将 A的第 1行加到第 3行，再将所得矩阵的 1、2 两行互换两次初等行变换所对应的初等方阵依次为 P 2 、P 1 ，故有 B=P 1 P 2 A3.设 n维列向量组 1 ， m (mn)线性无关，则 n维列向量组 1 ， m 线性无关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示B.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示C.向量组 1 ， m
9、 与向量组 1 ， m 等价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价 解析：解析：当 A= 1 m 与 B= 1 m 等价时，A 与 B有相同的秩由已知条件知 A的秩为 m，故 B的秩亦为 m，即 1 ， m 线性无关；若 1 ， m 线性无关，则矩阵 A与 B有相同的秩 m，A 与 B义都是 nm矩阵，故 A与 B有相同的秩标准形(矩阵)P，于是 A与 P等价，B 也与 P等价，由等价的性质即知 A与 B等价综上可知 D正确4.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6时 P的秩必为 1B.t=6时 P的秩必为 2C.t6 时 P的秩必为 1 D.t6 时 P的秩必为 2解析：解析：
10、PQ=O 说明 Q的每一列都是齐次方程组 Px=0的解向量，当 t1 时矩阵 Q的秩为 2，故此时有3r(P)2，即 r(P)1，又 PO，有 r(P)1，故当 t1 时必有 r(P)=15.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 4x 3 2 4x 1 x 2 2x 2 x 3 的标准形是( )（分数：2.00）A.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2 B.2y 1 2 y 2 2 3y 3 2C.2y 1 2 +y 2 2D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 2解析：解析：f 即不正定(因 f(0，0，1)=40)，也不负定(因 f(1，0，0)=2
11、0)，故 B、D 选项都不对；又 f的秩=矩阵 的秩=3，故 C选项不对，只有 A选项正确或用配方法：f=2(x 1 x 2 ) 2 x 2 2 4x 3 2 2x 2 x 3 =2(x 1 x 2 ) 2 (x 2 +x 3 ) 2 3x 3 2 =2y 1 2 y 2 2 3y 3 2 ，其中所作满秩线性变换为 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1x 2 y 2 z 2 ）解析：解析：将第 2列的(x)倍、第 3列的(y)倍、第 4列的(z)倍都加到第 1列，则化成了上三角行列式7.方程 f(z)= （分数：2.00）填
12、空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0，x=1f(z)=5x(x1)）解析：8.已知 =(1，2，3)，=(1，12，13)，矩阵 A= T ，n 为正整数，则 A n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A n =( T )( T )( T )( T )= T ( T )( T )= T 3 n1 =3 n1 T 9.设 3阶方阵 A、B 满足 A 2 BAB=E，其中 E为 3阶单位矩阵，若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：(A 2 E)B=A+E， 10.已知向量组 1 =(1，2，1，1)，
13、2 =(2，0，t，0)， 3 =(0，4，5，2)的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由 知其秩为 2三、解答题(总题数：16，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设 B是元素全都为 1的 n阶方阵(n1)证明：(EB) 1 =E （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(EB)(E )B=EO=E(其中 B 2 =nB)， (EB) 1 =E )解析：13.设 A、B 都是 n阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，|A|+|B|=0，证明：|A+B|=0（分数：2.00）_正确
14、答案：(正确答案：A 2 =E， |A|=1，同理有|B|=1，又|A|=|B|， |A|B|=1|/A+B|=|AE+EB|=|AB 2 +A 2 B|=|A(B+A)B|=|A|B+A|B|=|A+B|， )解析：（分数：4.00）(1).求 A n (n=2，3，)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =4E )解析：(2).若方阵 B满足 A 2 +ABA=E，求 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =4E， A 1 =14A，B=A 1 (E+AA 2 )=A 1 +EA= A+EA=E A=14(4E3A) )解析：14.设 4阶实方阵 A=(a ij
15、 ) 44 满足： (1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式)； (2)a 11 0，求|A|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a ij =A ij (i，j=1，2，3，4)， A T =A * ， |A|=|A T |=|A * |A 3 |， |A|=0，1，1，又|A|= a 1j A 1j = a 1j 2 0， )解析：15.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AE)X=A 2 E，且 AE 可逆 X=(AE) 1 (AE)(A+E)=A+E )解析：16.设 A是 n阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方
16、程组 A k X=0有解向量 ，且 A k1 0，证明：向量组 ，A，A k1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 0 ， 1 ， k1 使 0 + 1 A+ k1 A k1 =0，两端左乘 A k1 ，由于 A km =0(m=0，1，2，)， 0 A k1 =0，又 A k1 0， )解析：17.设向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，向量组()可由向量组()： 1 ， 2 ， s 可由()线性表示： j =a 1j 1 +a 2j 2 +a rj r (j=1，2，s)证明：向量组()线性无关 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 i (i=1
17、，r)及 j (j=1，s)均为 n维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式： 1 2 s = 1 2 r A，或 B=PA，其中 B= 1 2 s 为 ns矩阵，P= 1 2 r 为 nr矩阵，且 P的列线性无关于是可证两个齐次线性方程组 Bx=0与 Ax=0同解：若 Bx=P(Ax)=0，因 P的列线性无关，得 Ax=0；若 Ax=0，两端左乘 P，得PAx=Bx=0，所以 Bx=0与 Ax=0同解， sr(B)=sr(A)， r(B)=r(A)， ()线性无关 (B)=s )解析：18.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b 12 ，b 1，2n ) T ，(b 21 ，b
18、 22 ，b 2，2n ) T ，(b n1 ，b n2 ，b n，2n ) T 试写出线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记方程组()、()的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的 n个向量就是 B的 n个行向量的转置向量，因此，由()的已知基础解系可知 AB T =O 转置即得 BA T =O 因此可知 A T 的 n个列向量即 A的 n个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B的秩为 n，故()的解空间的维数为 2nn=n，所以()的任何 n个线性无关的解就是()的一个基础解系已知()的基础解系含 n个向量，故 2nr(A)=n，得 r(A)
19、=n，于是 A的 n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此()的通解为 yc 1 (a 11 ，a 12 ，a 1，2n ) T +c 2 (a 21 ，a 22 ，a 2，2n ) T +c n (a n1 ，a n2 ，a n，2n ) T (c 1 ，c 2 ，c n 为任意常数)解析：19. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 2 且 1 时有唯一解；当 =2 时无解；当 =1 时有无穷多组解，通解为 x=(200) T +c 1 (1，1，0) T +c 2 (1，0，1) T )解析：已知线性方程组 （分数：4.00）(1).a
20、，b，c 满足何种关系时，方程组仅有零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：系数行列式|A|=(ba)(ca)(cb)，故当 a，b，c 两两不相等时，方程组仅有零解)解析：(2).a，b，c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=bC 时，全部解为 x=k 1 (1，1，0) T ；当 a=cb 时，全部解为 x=k 2 (1，0，1) T ；当 b=c=a时，全部解为 x=k 3 (0，1，1) T ；当 a=b=c时，全部解为 x=k 4 (1，1，0) T +k 5 (1，0，1) T )解析：20.已知 3
21、阶矩阵 A的第 1行是(a，b，c)，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB=O，知 B的每一列都是方程组 Ax=0的解，因此 Ax=0至少有 r(B)个线性无关解，所以 Ax=0的基础解系至少含 r(B)个向量，即 3r(A)r(B)，或 r(A)3r(B)又由 a，b，c不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)=2，有 1r(A)1，于是 r(A)=1； 当 k=0时，r(B)=1，有1r(A)2于是 r(A)=1或 r(A)=2 当 k9 时，由 AB=O可得 由于 1 =(1，2，3) T ， 2 =(3，6，k) T 线性无关，故 1 ， 2 为
22、Ax=0的一个基础解系，于是 Ax=0的通解为 x=c 1 1 +c 2 2 ，其中 c 1 ，c 2 为任意常数 当 k=9时，分别就 r(A)=2和 r(A)=1讨论如下： 如果 r(A)=2则Ax=0的基础解系由一个向量构成又因为 A )解析：21.已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 =， =A，亦即 )解析：22.已知矩阵 A=(a ij ) nn 的秩为 n1，求 A的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * A=|A|E=0，知 A的 n1 个线性无关的列向量都是方程组
23、A * x=0的解向量，即 =0 至少是 A * 的 n1 重特征值，而上述 n1 个列向量即为对应的线性无关特征向量又由全部特征值之和等于 A * 的主对角线上元素之和 A 11 +A 22 +A m ，故 A * 的第 n个特征值为 A ii ，由于 r(A * )=1，故 A * 的列成比例，不妨设(A 11 ，A 12 ，A 1n ) T 0，则存在常数 k 2 ，k n ，使 于是有 A ii =A 11 +k 2 A 12 +k n A 1n ，且使 因此，(A 11 ，A 12 ，A 1n ) T 为 A * 的对应于特征值 )解析：设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2
24、 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(1，2，3) T ，都是 A的属于特征值 6的特征向量（分数：4.00）(1).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 = 2 =6是 A的二重特征值，故 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量有 2个，有题设可得 1 ， 2 ， 3 的一个极大无关组为 1 ， 2 ，故 1 ， 2 为 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量 由 r(A)=2知|A|=0，所以 A的另一特征值为 3 =0 设 3 =0对应的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 i T =0(i=1，2)，即 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 P= 1 2 3 ，则有 P 1 AP 计算可得 )解析：23.设矩阵 A nn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A正定，故有正交阵 P，使 且 i 0(i=1，2，n) )解析：
