1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 138及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E为 n阶单位矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E3.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0C.当 nm 时，必有行列式|AB|0D.当 nm 时，必有行列式|AB|=
2、04.要使 1 = 都是线性方程组 AX=0的解，只要系数矩阵 A为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.方程 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设 为 3维列向量， T 是 的转置，若 T = （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A是 43矩阵，且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_10.曲面 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 =0的标准方程是 1（分数：2.00）填
3、空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列行列式的值：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_计算下列 n阶行列式的值，(其中未写出的元素均为 0)：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_(3). （分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_12.设有矩阵 A mn ，B nm ，已知 E m AB 可逆，证明：EBA 可逆，且(E n BA) 1 =E n +B(E m AB) 1 A（分数：2.00）_13.设 n阶矩阵 A满足 AA
4、 T =I，其中 I为 n阶单位矩阵，且|A|0，求|A+I|（分数：2.00）_14.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，问： (1) 1 能否由 2 ， 3 线性表示?证明你的结论 (2) 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：2.00）_15.已知 i =( i1 ， i2 ， in ) T (i=1，2，r；rn)是 n维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_16.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_17.设 A * 为 n阶方阵
5、 A的伴随矩阵(n2)证明： （分数：2.00）_18.已知(1，1，1，1) T 是线性方程组 （分数：2.00）_19.设 3阶矩阵 A的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为(1，1，1) T ，(1，0，1) T ，(1，2，4) T 求 A 100 （分数：2.00）_20.设 A为 n阶非零方阵，且存在某正整数 m，使 A m =O求 A的特征值并证明 A不与对角矩阵相似（分数：2.00）_设 n维实向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 0，方阵 A= T （分数：4.00）(1).证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m1 A，并求出 t；（分数：2.0
6、0）_(2).求可逆矩阵 P，使 P 1 AP成对角矩阵（分数：2.00）_21.设 c 1 ，c 2 ，c n 均为非零实常数，A=(a ij ) nn 为正定矩阵，令 b ij =a ij c i c j (i，j=1，2，n)，矩阵 B=(b ij ) nn ，证明矩阵 B为正定矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 138答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E为 n阶单位
7、矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E 解析：解析：由题设条件 A(BC)=E，知 A与 BC互为逆矩阵，3.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式|AB|0B.当 mn 时，必有行列式|AB|=0 C.当 nm 时，必有行列式|AB|0D.当 nm 时，必有行列式|AB|=0解析：解析：当 mn 时，有 r(AB)r(A)nm，故 m阶方阵 AB为降秩方阵，即|AB|=0或解：当mn 时，方程组 BX=0中的方程个数 n小于未知量个数 m，故 BX=0有非零解，从而方程组(AB)X=0
8、 有非零解4.要使 1 = 都是线性方程组 AX=0的解，只要系数矩阵 A为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：此时基础解系至少含 2个向量( 1 及 2 )，故有 3r(A)2，因而 r(A)1，故只有 A正确二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(a 1 a 4 b 1 b 4 )(a 2 a 3 b 2 b 3 )）解析：6.方程 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t=6）解析：解析：注意行列式各行元素之和均等于 6t，f(t)=(t6)(t 2 +3)7. （分数：2
9、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：8.设 为 3维列向量， T 是 的转置，若 T = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 9.设 A是 43矩阵，且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因 B为满秩方阵，故 r(AB)=r(A)=210.曲面 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 +4x 1 x 3 +4x 2 x 3 =0的标准方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5y 1 2 y 2 2 y 3 2 =1）解析：解析：A=
10、三、解答题(总题数：14，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：求下列行列式的值：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：160)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：-10)解析：计算下列 n阶行列式的值，(其中未写出的元素均为 0)：（分数：8.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) n1 (n1) n2 先将第 2行的(1)倍加到第 i行(i=3，n)，再按第 1列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n1 列都加到第 1列，则得上三角行列式)解析：(2). （分数
11、：2.00）_正确答案：(正确答案：(x1)(x2)(xn+1)将第 1行的(1)倍加到第 i行(i=2，3，n)，得上三角行列式)解析：(3). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n!(1+x+ )解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n+1按第 1行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1列展开，得递推公式 D n =2D n1 D n2 ， D n =D n1 =D n1 D n2 ，由此可得 D n D n1 =D n1 D n2 =D 2 D 1 =1， )解析：12.设有矩阵 A mn ，B nm ，已知 E m AB 可逆，证明：EBA 可逆，且(E
12、n BA) 1 =E n +B(E m AB) 1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只要验证(E n BA)E n +B(E m AB) 1 A=E n )解析：13.设 n阶矩阵 A满足 AA T =I，其中 I为 n阶单位矩阵，且|A|0，求|A+I|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|A+I|=|A+AA T |=|A(I+A T )|=|A|I+A T |=|A|(I+A T ) T |=|A|I+A|=|A|A+I| (1|A|)|A+I|=0，又 1|A|0 )解析：14.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，问： (1)
13、 1 能否由 2 ， 3 线性表示?证明你的结论 (2) 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)能由 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 线性相关即可证明 (2)不能否则， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，由(1)知 1 能由 2 ， 3 线性表示 )解析：15.已知 i =( i1 ， i2 ， in ) T (i=1，2，r；rn)是 n维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件有 T i =0(i
14、=1，2，r)设 k 1 1 +k r r +k r+1 =0 (*) 两端左乘 T ，得 k r+1 T =0，又 0， )解析：16.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当且仅当 =1 时有解，通解为 x=(1，1，0) T +c(1，2，1) T )解析：17.设 A * 为 n阶方阵 A的伴随矩阵(n2)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 r(A)=n时，|A|0，|A * |=|A| n1 0， r(A * )=n；当 r(A)=n1时，A 中非零子式的最高阶数为 n1，故 A * O， r(A * )1，又 A * A=|A|E=O
15、，A 的每一列都是力程组 A * x=0的解向量，故 A * x=0至少有 r(A)=n1 个线性无关解，从而有 nr(A * )n1 r(A * )1，以上两方面说明 r(A * )=1；当 r(A)n1 时，A 的每个 n1 阶子式即每个元素的余子式都为零，故 A * =O )解析：18.已知(1，1，1，1) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将解向量 x=(1，1，1，1) T 代入方程组，得 =，对方程组的增广矩阵施行初等行变换： (1)当 12 时，有 因 r(A)=r( )=34，故方程组有无穷多解，全部解为 x=(0，12，12，0) T +k(2，1
16、，1，2) T ，其中 k为任意常数 当 =12 时，有 因 r(A)=r( )=24，故方程组有无穷多解，全部解为 x=(12，1，0，0) T +k 1 (1，3，1，0) T +k 2 (1，2，0，2) T ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数 (2)当 12 时，由于x 2 =x 3 ，即 k，解得 k=12，故此时，方程组的解为 x=(0，12，12，0) T + (2，1，1，2) T =(1，0，0，1) T 当 =12 时，由于 x 2 =x 3 ，即 13k 1 2k 2 =k 1 ，解得 k 2 = =2k 1 ，故此时全部解为 x=(12，1，0，0) T +k 1 (
17、1，3，1，0) T +( )解析：19.设 3阶矩阵 A的特征值为1，1，1，对应的特征向量分别为(1，1，1) T ，(1，0，1) T ，(1，2，4) T 求 A 100 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A有 3个线性无关特征向量，故 A可相似对角化令 则 P可逆，且使 于是有 A 100 )解析：20.设 A为 n阶非零方阵，且存在某正整数 m，使 A m =O求 A的特征值并证明 A不与对角矩阵相似（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 = 2 = n =0，(0EA)x=0 的基础解系最多含 n1 向量即 n阶方阵A最多有 n1 个线性无关特征向量，故 A
18、不相似于对角阵)解析：设 n维实向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 0，方阵 A= T （分数：4.00）(1).证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m1 A，并求出 t；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A m =( T )( T )( T )=( T ) m1 T =( T ) m1 ( T )=( a i 2 ) m1 A=t m1 A，其中 t= )解析：(2).求可逆矩阵 P，使 P 1 AP成对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AO， 1r(A)=r( T )r()=1， r(A)=1，因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于 A的
19、秩，故 A只有一个非零特征值，而有 n1 重特征值 1 = 2 = n1 =0，计算可得属于特征值 0的线性无关特征向量可取为(设 a 1 0)： 1 =(a 2 a 1 ，1，0，0) T ， 2 =(a 3 a 1 ，0，1，0) T ， n1 =(a n a 1 ，0，0，1) T 由于 A的全部特征值之和等于 A的主对角线元素之和 a i 2 ，故得 A的唯一的非零特征值为 n = a i 2 = T ，且由 A=( T )=( T )= n = n 可得 为对应于 n 的一个特征向量令矩阵 P= 1 n1 ，则有 P 1 AP=diag(0，0，0， )解析：21.设 c 1 ，c 2 ，c n 均为非零实常数，A=(a ij ) nn 为正定矩阵，令 b ij =a ij c i c j (i，j=1，2，n)，矩阵 B=(b ij ) nn ，证明矩阵 B为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 则 C可逆，注意用对角矩阵 C左(右)乘矩阵 A，等于用 C的主对角线元素依次乘 A的各行(列)，于是有 =CAC=C T AC。 即 B与正定阵 A合同，故 B正定(事实上， )解析：
