1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 137 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.矩阵 A= 合同于 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.
2、A，B 有相同的正负惯性指数6.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=EC.A 的特征值全大于零D.存在 n 阶矩阵 C，使 A=C T C二、填空题(总题数：15，分数：30.00)7.设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 d 的特征值，则(A * ) 2 +E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_9.已知一 2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 是秩为 2
3、的 3 阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 =(1，1，一 1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，一 1，1) T 分别是 =0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_15.已知矩阵 A= （分
4、数：2.00）填空项 1:_16.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 2 2 +x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x
5、1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_21.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知 A= （分数：2.00）_24.已知 A= （分数：2.00）_25.已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 （分数：2.00
6、）_26.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，一 1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2 一 A 一 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_27.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_28.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_29.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如
7、 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_30.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_31.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换（分数：2.00）_32.设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_33.若 A 是 n 阶正
8、定矩阵证明 A -1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_34.设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_35.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n （分数：2.00）_36.已知 A= （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 137 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：正定的必要条件 a ii 0，可排
9、除(A)、(D) (B)中 2 =0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选 C3.矩阵 A= 合同于 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由矩阵 A 的特征多项式 E 一 A=4.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似解析：解析：由E 一 A= 3 一 3 2 ，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A 是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以AB故应选 A5.设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（分数：2.00）
10、A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数 解析：解析：(A)是充分条件特征值一样有相同的正、负惯性指数合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 AB (B)是必要条件由 C T AC=B，C 可逆r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A= ，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同 (C)既不必要也不充分例如 A= ，行列式不同但合同，又如 A= 6.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=EC.A 的特征值全大于零 D.
11、存在 n 阶矩阵 C，使 A=C T C解析：解析：(A)是正定的必要条件。若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 3 2 ，虽 q=0，但 f 不正定。 (B)是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵 E 相似，但二次型 x T Ax 正定 (D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E 合同，例如 C= 二、填空题(总题数：15，分数：30.00)7.设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=0）填空项 1:_ （正确答案：=0）解析：解析：r(A
12、)nA=0 =0 必是 A 的特征值 由 r(A)nAx=0 有非 0 解设 1 ， 2 ， nr(A) 是 Ax=0 的基础解系，则 A j =0=0 j ，即 j (j=1，2，nr(A)是 =0 的特征向量 因此 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A 的 nr(A)重特征值 注意：k 重特征值至多有 k 个线性无关的特征向量8.设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 d 的特征值，则(A * ) 2 +E 必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*+1）解析：解析：A 的特征值为 A * 的特征值为 (A * ) 2 +E 的特征值
13、为 9.已知一 2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：因为一 2 是矩阵 A 的特征值，所以由2EA=10.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 5，一 5，0）解析：解析：因为 A 是实对称矩阵，故 A 又 r(A)=2，所以 r( )=2设 A=(0)，由 A 2 +5A=0 得 2 +5=0因此 A 的特征值为 0 或一 5 从而 A 11.已知 =(1，1，一 1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
14、案：正确答案：4）解析：解析：12.设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为各行元素之和都是 5，即 所以矩阵 A 必有特征向量13.设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，一 1，1) T 分别是 =0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(一 1，0，1) T ，t0）解析：解析：设 =2 的特征向量是 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同
15、特征值的特征向量相互正交，故有 14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：由 AB，知a ii =b ii ，且一 1 是 A 的特征值，即 15.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 A 的特征多项式 EA= =(+1) 3 ， 知矩阵 A 的特征值是 =一 1(三重根)，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故 16.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00
16、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=a 1 2 x 1 2 +a 2 2 x 2 2 +a 3 2 x 3 2 +2a 1 a 2 x 1 x 2 2+2a 1 a 3 x 1 x 3 +2a 2 a 3 x 2 x 3 ， 二次型矩阵 A= 17.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 2 2 +x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：令()： 18.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则
17、t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2A=0由19.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵不仅合同，而且相似于是由20.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2
18、tx 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 ）解析：解析：二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1 =1， 2 = =1t 2 0， 3 =A=5t 2 4t0， 所以 t(一 21.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0）解析：解析：由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为 k+3，k，k又 B 正定三、解答题(总题数：15，分数：30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知 A= （分数：2.
19、00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 EA= )解析：24.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= )解析：25.已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 EA= =( 一 1) 2 (+2)， 知矩阵 A 的特征值为= 1 = 2 =1， 3 =一 2 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而 所以 x=6 当=1 时，由(E 一 A)x=0 得基础解系 1 =(一 2，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =一 2 时，由(一 2E 一 A)x=0 得基础解系 3 =(一 5
20、，1，3) T 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：26.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，一 1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2 一 A 一 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A 不可逆，有A=0，从而 =0 是 A 的特征值 由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 于是 P -1 AP= 那么 P -1 A 2 P= -1 因此 P -1 BP=P -1 A 2 PP -1 AP 一 2E= )解析：27.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若
21、 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2 知A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(一 1，1，1) T 那么 A( 1 ， 2 ，)=(6 1 ，6 2 ，0)，用初等变换法解此矩阵方程得 )解析：28.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_正确答案：(正
22、确答案：因为 AB，有 P -1 AP=B，那么 B 2 =P -1 A 2 P=P -1 AP=B)解析：29.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 ) 又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是 ( 1 ) 1 +( 2 ) 2 +( 3 ) 3
23、=0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 =0， 2 =0， 3 =0 即 1 = 2 = 3 )解析：30.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= ，由特征多项式 EA= =(+3)( 一 3) 2 ， 得特征值为 1 = 2 =3， 3 =一 3 由(3EA)x=0 得基础解系 1 =(一 1，1，0) T ， 2 =(一1，O，1) T ，即 =3 的特征向量是 1 ， 2 由(一 3E 一 A)x=0 得基础解系 3 =(1，1，1) T
24、 对 1 ， 2 经 Schmidt 正交化，有 1 = 1 ， 2 = 2 一 。 单位化，得 那么，令 x=Qy，其中 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则有 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=y T )解析：31.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A 的秩 r(A)=2，则有 A=24(c 一 3)=0 c=3 用配方法求
25、规范形和所作变换 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +3x 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 =3(x 3 +x 1 +x 2 ) 2 3(x 1 一 x 2 ) 2 +5x 1 2 +5x 2 2 一 2x 1 x 2 =3(x 1 x 2 +x 3 ) 2 +2x 1 2 +2x 2 2 +4x 1 x 2 =3(x 1 x 2 +x 3 ) 2 +2(x 1 +x 2 ) 2 令 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=y 1 2 +y 2 2 ，为规范二次型 所作变换为 )解析：32.设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任
26、意的 n 维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： n 维向量 恒有 T A=0，那么令 1 =(1，0，0，0) T ，有 1 T A 1 =(1，0，0，0) =a 11 =0 类似地，令 i =(0，0，0，1，0，0) T (第i 个分量为 1)，由 i T A i =a ii =0 (i=1，2，n)。 令 12 =(1，1，0，0) T ，则有 12 T A 12 =(1，1，0，0) )解析：33.若 A 是 n 阶正定矩阵证明 A -1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 正定，所以 A T =A那么
27、(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，即 A -1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1 ， 2 ， n ，那么 A -1 的特征值是 ，由 A 正定知0(i=1，2，n)因此 A -1 的特征值 0(i=1，2，n)从而 A -1 正定 A * =AA -1 ，A0，则 A * 也是实对称矩阵，并且特征值为 )解析：34.设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，知 A T A 是实对称矩阵 又 r(A)=n， )解析：35.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A 的特征值是 1 ， 2 ， n 因为 A 正定，故特征值 i 0(i=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1 +2， 2 +2， n +2，所以 A+2E=( 1 +2)( 2 +2)( n +2)2 n )解析：36.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C 1 = ，C=C 1 C 2 ，则 C 是可逆矩阵，且 C T AC=C T T AC 1 C 2 =C 1 T )解析：
