1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 137 及答案解析(总分:72.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.下列矩阵中,正定矩阵是 (分数:2.00)A.B.C.D.3.矩阵 A= 合同于 (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 A= (分数:2.00)A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似5.设 A,B 均为 n 阶实对称矩阵,则 A 与 B 合同的充要条件是(分数:2.00)A.A,B 有相同的特征值B.A,B 有相同的秩C.A,B 有相同的行列式D.
2、A,B 有相同的正负惯性指数6.二次型 x T Ax 正定的充要条件是(分数:2.00)A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P,使 P -1 AP=EC.A 的特征值全大于零D.存在 n 阶矩阵 C,使 A=C T C二、填空题(总题数:15,分数:30.00)7.设 A 是 n 阶矩阵,r(A)n,则 A 必有特征值 1,且其重数至少是 2(分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_8.设 A 是 n 阶可逆矩阵,A 是 d 的特征值,则(A * ) 2 +E 必有特征值 1(分数:2.00)填空项 1:_9.已知一 2 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_10.设 A 是秩为 2
3、的 3 阶实对称矩阵,且 A 2 +5A=0,则 A 的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_11.已知 =(1,1,一 1) T 是矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_12.设 A 是 3 阶矩阵,且各行元素之和都是 5,则 A 必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 A 是 3 阶实对称矩阵,特征值是 0,1,2如果 1 =(1,2,1) T 与 2 =(1,一 1,1) T 分别是 =0 与 =1 的特征向量,则 =2 的特征向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_14.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_填空项 1:_15.已知矩阵 A= (分
4、数:2.00)填空项 1:_16.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1(分数:2.00)填空项 1:_17.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 2 2 +x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1(分数:2.00)填空项 1:_18.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2,则 t= 1(分数:2.00)填空项 1:_19.已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x
5、1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ,则 a= 1。(分数:2.00)填空项 1:_20.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型,则 t 1(分数:2.00)填空项 1:_21.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:15,分数:30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.已知 A= (分数:2.00)_24.已知 A= (分数:2.00)_25.已知 A= 可对角化,求可逆矩阵 P 及对角矩阵 (分数:2.00
6、)_26.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵,一 1 和 2 是 A 的特征值,B=A 2 一 A 一 2E,求 B 的特征值,并问 B 能否相似对角化,并说明理由(分数:2.00)_27.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值,若 1 =(1,1,0) T , 2 =(2,1,1) T , 3 =(一 1,2,一 3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量,求矩阵 A(分数:2.00)_28.已知 AB,A 2 =A,证明 B 2 =B(分数:2.00)_29.已知 1 , 2 , 3 是 A 的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关,如
7、 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量,则 1 = 2 = 3 (分数:2.00)_30.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形(分数:2.00)_31.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2,求c 及此二次型的规范形,并写出相应的变换(分数:2.00)_32.设 A 是 n 阶实对称矩阵,若对任意的 n 维列向量 恒有 T A=0,证明 A=0(分数:2.00)_33.若 A 是 n 阶正
8、定矩阵证明 A -1 ,A * 也是正定矩阵(分数:2.00)_34.设 A 是 mn 实矩阵,r(A)=n,证明 A T A 是正定矩阵(分数:2.00)_35.设 A 是 n 阶正定矩阵,证明A+2E2 n (分数:2.00)_36.已知 A= (分数:2.00)_考研数学三(线性代数)模拟试卷 137 答案解析(总分:72.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.下列矩阵中,正定矩阵是 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:正定的必要条件 a ii 0,可排
9、除(A)、(D) (B)中 2 =0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾,排除(B)故应选 C3.矩阵 A= 合同于 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由矩阵 A 的特征多项式 E 一 A=4.设 A= (分数:2.00)A.合同且相似 B.合同但不相似C.不合同但相似D.不合同也不相似解析:解析:由E 一 A= 3 一 3 2 ,知矩阵 A 的特征值为 3,0,0 又因 A 是实对称矩阵,A必能相似对角化,所以 AB 因为 A,B 有相同的特征值,从而有相同的正、负惯性指数,所以AB故应选 A5.设 A,B 均为 n 阶实对称矩阵,则 A 与 B 合同的充要条件是(分数:2.00)
10、A.A,B 有相同的特征值B.A,B 有相同的秩C.A,B 有相同的行列式D.A,B 有相同的正负惯性指数 解析:解析:(A)是充分条件特征值一样有相同的正、负惯性指数合同但不是必要条件例如 A= ,特征值不同,但 AB (B)是必要条件由 C T AC=B,C 可逆r(A)=r(B),但不是充分条件例如 A= ,虽 r(A)=r(B),但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同 (C)既不必要也不充分例如 A= ,行列式不同但合同,又如 A= 6.二次型 x T Ax 正定的充要条件是(分数:2.00)A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P,使 P -1 AP=EC.A 的特征值全大于零 D.
11、存在 n 阶矩阵 C,使 A=C T C解析:解析:(A)是正定的必要条件。若 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +5x 3 2 ,虽 q=0,但 f 不正定。 (B)是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵 E 相似,但二次型 x T Ax 正定 (D)中没有矩阵 C 可逆的条件,也就推导不出 A 与 E 合同,例如 C= 二、填空题(总题数:15,分数:30.00)7.设 A 是 n 阶矩阵,r(A)n,则 A 必有特征值 1,且其重数至少是 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:=0)填空项 1:_ (正确答案:=0)解析:解析:r(A
12、)nA=0 =0 必是 A 的特征值 由 r(A)nAx=0 有非 0 解设 1 , 2 , nr(A) 是 Ax=0 的基础解系,则 A j =0=0 j ,即 j (j=1,2,nr(A)是 =0 的特征向量 因此 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A 的 nr(A)重特征值 注意:k 重特征值至多有 k 个线性无关的特征向量8.设 A 是 n 阶可逆矩阵,A 是 d 的特征值,则(A * ) 2 +E 必有特征值 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*+1)解析:解析:A 的特征值为 A * 的特征值为 (A * ) 2 +E 的特征值
13、为 9.已知一 2 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 4)解析:解析:因为一 2 是矩阵 A 的特征值,所以由2EA=10.设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵,且 A 2 +5A=0,则 A 的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 5,一 5,0)解析:解析:因为 A 是实对称矩阵,故 A 又 r(A)=2,所以 r( )=2设 A=(0),由 A 2 +5A=0 得 2 +5=0因此 A 的特征值为 0 或一 5 从而 A 11.已知 =(1,1,一 1) T 是矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答
14、案:正确答案:4)解析:解析:12.设 A 是 3 阶矩阵,且各行元素之和都是 5,则 A 必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为各行元素之和都是 5,即 所以矩阵 A 必有特征向量13.设 A 是 3 阶实对称矩阵,特征值是 0,1,2如果 1 =(1,2,1) T 与 2 =(1,一 1,1) T 分别是 =0 与 =1 的特征向量,则 =2 的特征向量是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:t(一 1,0,1) T ,t0)解析:解析:设 =2 的特征向量是 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ),则因实对称矩阵不同
15、特征值的特征向量相互正交,故有 14.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:解析:由 AB,知a ii =b ii ,且一 1 是 A 的特征值,即 15.已知矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 1)解析:解析:由 A 的特征多项式 EA= =(+1) 3 , 知矩阵 A 的特征值是 =一 1(三重根),因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量,故 16.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1(分数:2.00
16、)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=a 1 2 x 1 2 +a 2 2 x 2 2 +a 3 2 x 3 2 +2a 1 a 2 x 1 x 2 2+2a 1 a 3 x 1 x 3 +2a 2 a 3 x 2 x 3 , 二次型矩阵 A= 17.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 2 2 +x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:令(): 18.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2,则
17、t= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:r(f)=2,即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0,故 r(A)=2A=0由19.已知二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ,则 a= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵不仅合同,而且相似于是由20.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2
18、tx 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型,则 t 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(一 )解析:解析:二次型矩阵 A= ,顺序主子式 1 =1, 2 = =1t 2 0, 3 =A=5t 2 4t0, 所以 t(一 21.已知 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k0)解析:解析:由矩阵 A 的特征值为 3,0,0,知矩阵 B 的特征值为 k+3,k,k又 B 正定三、解答题(总题数:15,分数:30.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.已知 A= (分数:2.
19、00)_正确答案:(正确答案:由特征多项式 EA= )解析:24.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A= )解析:25.已知 A= 可对角化,求可逆矩阵 P 及对角矩阵 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由特征多项式 EA= =( 一 1) 2 (+2), 知矩阵 A 的特征值为= 1 = 2 =1, 3 =一 2 因为矩阵 A 可以相似对角化,故 r(EA)=1而 所以 x=6 当=1 时,由(E 一 A)x=0 得基础解系 1 =(一 2,1,0) T , 2 =(0,0,1) T 当 =一 2 时,由(一 2E 一 A)x=0 得基础解系 3 =(一 5
20、,1,3) T 那么,令 P=( 1 , 2 , 3 )= )解析:26.已知 A 是 3 阶不可逆矩阵,一 1 和 2 是 A 的特征值,B=A 2 一 A 一 2E,求 B 的特征值,并问 B 能否相似对角化,并说明理由(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为矩阵 A 不可逆,有A=0,从而 =0 是 A 的特征值 由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值,则 A 于是 P -1 AP= 那么 P -1 A 2 P= -1 因此 P -1 BP=P -1 A 2 PP -1 AP 一 2E= )解析:27.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2, 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值,若
21、 1 =(1,1,0) T , 2 =(2,1,1) T , 3 =(一 1,2,一 3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量,求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 r(A)=2 知A=0,所以 =0 是 A 的另一特征值 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交,故有 解出此方程组的基础解系 =(一 1,1,1) T 那么 A( 1 , 2 ,)=(6 1 ,6 2 ,0),用初等变换法解此矩阵方程得 )解析:28.已知 AB,A 2 =A,证明 B 2 =B(分数:2.00)_正确答案:(正
22、确答案:因为 AB,有 P -1 AP=B,那么 B 2 =P -1 A 2 P=P -1 AP=B)解析:29.已知 1 , 2 , 3 是 A 的特征值, 1 , 2 , 3 是相应的特征向量且线性无关,如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量,则 1 = 2 = 3 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量,即 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 ) 又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ,于是 ( 1 ) 1 +( 2 ) 2 +( 3 ) 3
23、=0 因为 1 , 2 , 3 线性无关,故 1 =0, 2 =0, 3 =0 即 1 = 2 = 3 )解析:30.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 2 x 3 4x 1 x 3 为标准形(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型矩阵 A= ,由特征多项式 EA= =(+3)( 一 3) 2 , 得特征值为 1 = 2 =3, 3 =一 3 由(3EA)x=0 得基础解系 1 =(一 1,1,0) T , 2 =(一1,O,1) T ,即 =3 的特征向量是 1 , 2 由(一 3E 一 A)x=0 得基础解系 3 =(1,1,1) T
24、 对 1 , 2 经 Schmidt 正交化,有 1 = 1 , 2 = 2 一 。 单位化,得 那么,令 x=Qy,其中 Q=( 1 , 2 , 3 ),则有 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x T Ax=y T )解析:31.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 2x 1 x 2 6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2,求c 及此二次型的规范形,并写出相应的变换(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型矩阵 A= ,由二次型的秩为 2,即矩阵 A 的秩 r(A)=2,则有 A=24(c 一 3)=0 c=3 用配方法求
25、规范形和所作变换 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +3x 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 6x 2 x 3 =3(x 3 +x 1 +x 2 ) 2 3(x 1 一 x 2 ) 2 +5x 1 2 +5x 2 2 一 2x 1 x 2 =3(x 1 x 2 +x 3 ) 2 +2x 1 2 +2x 2 2 +4x 1 x 2 =3(x 1 x 2 +x 3 ) 2 +2(x 1 +x 2 ) 2 令 则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=y 1 2 +y 2 2 ,为规范二次型 所作变换为 )解析:32.设 A 是 n 阶实对称矩阵,若对任
26、意的 n 维列向量 恒有 T A=0,证明 A=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: n 维向量 恒有 T A=0,那么令 1 =(1,0,0,0) T ,有 1 T A 1 =(1,0,0,0) =a 11 =0 类似地,令 i =(0,0,0,1,0,0) T (第i 个分量为 1),由 i T A i =a ii =0 (i=1,2,n)。 令 12 =(1,1,0,0) T ,则有 12 T A 12 =(1,1,0,0) )解析:33.若 A 是 n 阶正定矩阵证明 A -1 ,A * 也是正定矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 A 正定,所以 A T =A那么
27、(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ,即 A -1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1 , 2 , n ,那么 A -1 的特征值是 ,由 A 正定知0(i=1,2,n)因此 A -1 的特征值 0(i=1,2,n)从而 A -1 正定 A * =AA -1 ,A0,则 A * 也是实对称矩阵,并且特征值为 )解析:34.设 A 是 mn 实矩阵,r(A)=n,证明 A T A 是正定矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A,知 A T A 是实对称矩阵 又 r(A)=n, )解析:35.设 A 是 n 阶正定矩阵,证明A+2E2 n (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设矩阵 A 的特征值是 1 , 2 , n 因为 A 正定,故特征值 i 0(i=1,2,n)又 A+2E 的特征值是 1 +2, 2 +2, n +2,所以 A+2E=( 1 +2)( 2 +2)( n +2)2 n )解析:36.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 C 1 = ,C=C 1 C 2 ,则 C 是可逆矩阵,且 C T AC=C T T AC 1 C 2 =C 1 T )解析: