1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 136 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2 ，x 3 C.x 2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 3.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b 有无穷多解B.如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解D.Ax=b 有唯
2、一解的充要条件是 r(A)=n4.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组5.设 A 是 54 矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，一 2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ，
3、 3 B. 2 ， 4 C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 6.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n1 B.A -1 AC.AD.A n1 7.设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则( A 2 ) -1 +E 的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 2 C. 1 + 3 D.2 3 9.设 0 是 A
4、的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.一 2AC.A T D.A * 10.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 A 是 n 阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化。C.E+A+A 2 +A m1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.四元方
5、程组 Ax=b 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为三价非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax=b 的解，则 c 1 +c 2 +c t = 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 1
6、 =(一 3，2，0) T ， 2 =(一 1，0，一 2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(一 1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(一 1，5，一 3，a+6) T ，=(1，0，2，b) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出
7、，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_23.已知向量组 1 = （分数：2.00）_24.已知 a 1 ，a 2 ，a s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1，a i ，a i T ，a i n1 ) T (i=1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_26.证明 1 ， 2 ， s (其中( 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面
8、的那些向量 1 ， 2 ， s1 线性表出（分数：2.00）_27.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_28.设 A 是 nzn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_29.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交（分数：2.00）_30.求齐次方程组 （分数：2.00）_31.求线性方程组 （分数：2.00）_32.当 a，b 取何值时方程组 （分数：2.0
9、0）_33.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_34.设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）_35.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 136 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2 ，x 3 C.x
10、2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 解析：解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定如果选择 x 4 ，x 5 对应齐次方程组写作 3.设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.如 mn，则 Ax=b 有无穷多解B.如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解C.如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解 D.Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n解析：解析：如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例 如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r(Ab)=n，因
11、此 Ax=b 可以无解 例如前者只有零解，而后者无解故 B 不正确 关于(D)，Ax=b 有唯一解 r(A)=r(Ab)=n由于r(A)=n4.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 B. 1 ， 2 ， 3 + 4 ， 3 4 C. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等价向量组D. 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个等秩的向量组解析：解析：向量组(A)线性相关，A 不正确 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 与 1 ， 2 ， 3 ， 4 等价但前者线
12、性相关，故 C 不正确等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故 D 不正确选 B5.设 A 是 54 矩阵，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，若 1 =(1，1，一 2，1) T ， 2 =(0，1，0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 2 ， 4 C. 2 ， 3 D. 1 ， 2 ， 4 解析：解析：由 A 1 =0，知 1 + 2 2 3 + 4 =0 由 A 2 =0，知 2 + 4 =0 因为 n 一 r(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知， 2 ， 4 线
13、性相关故应排除(B) 把代入得 2 + 4 一 2 3 =0，即 1 ， 3 线性相关，排除(A) 如果 2 ， 3 线性相关，则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r(一 2 3 ， 2 ， 3 ， 2 )=r( 2 ， 3 )=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选 C6.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n1 B.A -1 AC.A D.A n1 解析：解析：如 A=，则 A -1 = 7.设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则( A 2 ) -1 +E 的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C
14、. D.解析：解析：如 A= 则( A 2 ) -1 +E=3(A -1 ) 2 += 当 =2 时，知 8.设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 2 C. 1 + 3 D.2 3 解析：解析：A 1 =0，A 2 =O，A 3 = 3 则 A( 1 +3 2 )=0，A( 1 一 2 )=0，A(2 3 )=2 3 因此 A，B，(D)都正确 A( 1 + 3 )= 3 和 1 + 3 不相关，因此 1 + 3 不是特征向量，故应选 C9.设 0
15、是 A 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.一 2AC.A T D.A * 解析：解析：由EA=(AEA) T =EA知 A 与 A T 有相同的特征值，但方程组(EA)X=0 与(EA T )X=0 不一定同解，故 A 与 A T 特征向量不一定相同故应选 C10.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)是实对称矩阵，(C)有 3 个不同的特征值，均可对角化 (B)和(D)特征值都是0，0，3 在(B)中，nr(0EA)=2，说明 =0 有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在(D)中，n
16、 一 r(0EA)=1，说明 =0 只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选 D11.设 A 是 n 阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A 的特征值只有零B.A 必不能对角化。C.E+A+A 2 +A m1 必可逆D.A 只有一个线性无关的特征向量 解析：解析：设 A=，0，则 A m = m =0故 A=0A 正确 因为 A0，r(A)1，那么Ax=0 的基础解系有 nr(A)个解，即 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故 B 正确，而(D)不一定正确 由(E 一 A)(E+A+A 2 +A m1 )=EA m =E，知 C 正确故应
17、选 D二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：对增广矩阵作初等行变换，有 当 a=一 5 时，r(A)=r(13.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 且 *）解析：解析：对任意 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解r(A)=3A0而由 14.四元方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0，1，0) T ，(一 1，1，0，1) T）解析：解析：nr(A)=42=2取 x 3 ，x 4 为自由变量： 令 x 3 =1，x 4 =0 得
18、x 2 =0，x 1 =0；令 x 3 =0，x 4 =1 得 x 2 =1，x 1 =一 1，所以基础解系是(0，0，1，0) T ，(一 1，1，0，1) T 15.四元方程组 Ax=b 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T）解析：解析：由( 2 + 3 )一 2 1 =( 3 一 2 )+( 3 一 1 )=(2，3，4，5) T 一2(1，1，1，1) T
19、 =(0，1，2，3) T ，知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解 又秩 r(A)=3，nr(A)=1，所以Ax=b 的通解是(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T 16.设 A 为三价非零矩阵，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：c 1 (1，4，3) T +c 2 (一 2，3，1) T ，c 1 ，c 2 任意）解析：解析：由 AB=0 得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1，nr(A)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c 1
20、 (1，4，3) T +c 2 (一 2，3，1) T ，c 1 ，c 2 任意17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T）解析：解析：因为秩 r(A)=2，所以行列式A=0，并且 r(A * )=1 那么 A * A=AE=0，所以 A 的列向量是 A * x=0 的解 又因 r(A * )=1，故 A * x=0 的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 18.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax
21、=b 的解，则 c 1 +c 2 +c t = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i =b 若 c 1 1 +c 2 2 +c t t 是 Ax=b的解，则 A(c 1 1 +c 2 2 +c t t )=c 1 A 1 +c 2 A 2 +c t A t =(c 1 +c 2 +c t )b=b 故 c 1 +c 2 +c t =119.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因(1，2，一 1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出 b=1因(一
22、 12一11) T 是 Ax=0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a=320.已知 1 =(一 3，2，0) T ， 2 =(一 1，0，一 2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 3，2，0) T +k(一 1，1，1) T）解析：解析：由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 2 是 Ax=0 的非零解，知r(A)3 故必有 r(A)=2于是 nr(A)=1 所以方程组通解是：(一 3，2，0) T +k(一 1，1，1) T 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
23、骤。（分数：2.00）_解析：22.已知 1 =(1，1，0，2) T ， 2 =(一 1，1，2，4) T ， 3 =(2，3，a，7) T ， 4 =(一 1，5，一 3，a+6) T ，=(1，0，2，b) T ，问 a，b 取何值时，() 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示?() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =，对增广矩阵( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )作初等行变换
24、，有 ()当 a=1，b2 或 a=10，b一 1 时，方程组均无解所以 不能由 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示且表示法唯一。 ()方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=一 1 时，方程组有无穷多解： (2)当 a=1，b=2 时，方程组有无穷多解：x 4 =一 ，x 2 =t，x 3 =1 一 2t，x 1 =5t 一 ， 即 =(5t 一 ) 1 +t 2 +(12t) 3 一 )解析：23.已知向量组 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 可
25、由 1 ， 2 ， 3 线性表示，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 3 有解由 并且秩 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 于是 r( 1 ， 2 ， 3 )=2 从而 1 ， 2 ， 3 = )解析：24.已知 a 1 ，a 2 ，a s 是互不相同的数，n 维向量 i =(1，a i ，a i T ，a i n1 ) T (i=1，2，s)，求向量组 1 ， 2 ， s 的秩（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 sn 时， 1 ， 2 ， s 必线性相关，但 1 ， 2 ， n 是范德蒙行列式，故 1 ， 2 ， n 线性无关因而 r( 1 ， 2 ， s )=n
26、 当s=n 时， 1 ， 2 ， n 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， n )=n 当 sn 时，记 1 =(1，a 1 ，a 1 2 ，a 1 s1 ) T ， 2 =(1，a 2 ，a 2 2 ，a 2 s1 ) T ， s =(1，a s ，a s 2 ，a s s1 ) T ，则 1 ， 2 ， s 线性无关那么 1 ， 2 ， s 必线性无关故 r( 1 ， 2 ， s )=s)解析：25.设 A 是 n 阶非零实矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果 A T =A * ，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出（分数：2.00）_正确答案
27、：(正确答案：因为 A * =A T ，按定义有 A ij =a ij ( )解析：26.证明 1 ， 2 ， s (其中( 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， s1 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性因为 1 ， 2 ， s 线性相关，故有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 设 k s ，k s1 ，k 2 ，k 1 中第一个不为0 的是 k i (即 k i 0，而 k i+1 =k s1 =k s =0)，且必有 i1(若 i=1 即 k 1 0，k
28、 2 =k s =0，那么 k 1 1 =0于是 1 =0 与 1 0 矛盾)，从而 k 1 1 +k 2 2 +k i i =0，k i 0那么 i =一 )解析：27.已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用定义) 对矩阵 A 按行分块，记 A= ，那么 A T =( 1 T ， 2 T ， m T ) 若 k 1 1 T +k 2 2 T +k m m T =0，即( 1 T ， 2 T ， m T ) 于是 C T )解析：28.设 A 是 nzn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C
29、 是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对齐次方程组()ABx=0， ()Bx=0， 如 是()的解，有 B=0，那么AB=0，于是 是()的解 如 是()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是()的解 因此方程组(1)与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B) 所以 r(B)=r(C)解析：29.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交（分数：2.00）_正确
30、答案：(正确答案：因为 A T =一 A，Ax=y，所以 (x，y)=x T Ax=(A T x) T x=(一 Ax) T x=(一 y，x)，得(x，y)=0)解析：30.求齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对系数矩阵作初等变换，有 )解析：31.求线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 )解析：32.当 a，b 取何值时方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 ()当 a0，且 b3 时，方程组有唯一解( ，1，0) T (1I)当 a=0 时， b 方程组均无解 (11I)当 a0，b=3
31、 时，方程组有无穷多解( )解析：33.已知 a，b，c 不全为零，证明方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为系数行列式 )解析：34.设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性对矩阵 A 按列分块 A=( 1 ， 2 ， n )，则 b，Ax=b 有解 1 ， 2 ， n 可表示任何 n 维向量 b 1 ， 2 ， n 可表示 e 1 =(1，0，0，0) T ，e 2 =(0，1，0，0) T ， ，e n =(O，0，0，1) T r( 1 ， 2 ， n )r(e 1 ，e 2 ，
32、e n )=nr(A)=n 所以A0 充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 )解析：35.证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Ax=0 的基础解系是 1 ， 2 ， t 若 1 ， 2 ， s 线性无关， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， t 等价 由 j (j=1，2，s)可以由 1 ， 2 ， t 线性表示，而 i (i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j (j=1，2，s)是 Ax=0的解 因为 1 ， 2 ， t 线性无关，秩 r( 1 ， 2 ， t )=t，又 1 ， 2 ， t 与 1 ， 2 ， s 等价，所以 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， t )=t义因 1 ， 2 ， s 线性无关，故 s=t 因此 1 ， 2 ， t 是Ax=0 的基础解系)解析：
