1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 135 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示D. 必不可由 ， 线性表示3.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关D.
2、 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表出4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关D.若 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关5.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量
3、组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 一 2 ，一 3 C.一 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 D. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关7.若 r( 1 ， 2 ， s )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量
4、均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关D.向量组中向量个数必大于 r8.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关D.如果 1 ， 2 ， s 线性相荧，那么 s 可由 1 ， 2 ， s1 线性表出9.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不
5、正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0)B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.行列式A T A=0二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T ， 3 =(2，一 1，a+1，5) T 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(一 a，a，b) T ， 3 =(一 a，一 a，一 b) T 线性相关，则 a，b满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 + 2
6、，a 2 3 ， 1 2 + 3 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.任意 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.向量组 1 =(1，一 1，3，0) T ， 2 =(一 2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，一 5，一 2) T 的秩为2，则 a= 1（分
7、数：2.00）填空项 1:_16.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_20.与 1 =(1，一 1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9
8、，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.设 A -1 = （分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB(E+AB) -1 A（分数：2.00）_25.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C -1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_26.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E 一 A 可逆（分数：2.00）_设 A 为 n
9、阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_28.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(E 一 A)(E+A) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 135 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设向量组 ， 线性无关， 线性相关，则（分数：2.00）A. 必可
10、由 ， 线性表示B. 必不可由 ， 线性表示C. 必可由 ， 线性表示 D. 必不可由 ， 线性表示解析：解析：3.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关D. 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表出 解析：解析：A，B 均是线性无关的必要条件例如， 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(2，3，4) T ，虽 1 ， 2 ， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不
11、成比例，但 1 + 2 3 =0， 1 ， 2 ， 3 线性相关 C 是线性无关的充分条件由 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关 1 ， 2 ， s 线性无关，但由 1 ， 2 ， s 线性无关 4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（分数：2.00）A.若 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，则 1 + 3 ， 2 + 4 也线性相关B.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 线性无关C.若 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 D.若 1 ， 2 ， 3 ，
12、4 中任意三个向量均线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关解析：解析：若 1 =(1，0)， 2 =(2，0)， 3 =(0，2)， 4 =(0，3)，则 1 ， 2 线性相关， 3 ， 4 线性相关，但 1 + 2 =(1，2)， 2 + 4 =(2，3)线性无关故 A 不正确 对于(B)，取 4 =一 1 ，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(一 1，一 1，一 1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3 维向量必线性相关，如若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表出现在 4 不能
13、由 1 ， 2 ， 3 线性表出，故 1 ， 2 ， 3 必线性相关故应选 C5.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（分数：2.00）A. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 B. 1 + 2 ， 1 一 2 ，一 3 C.一 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 D. 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 解析：解析：用观察法由 ( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 1 )=0， 可知 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 线性相关故应选 D 至于 A，B，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断 例如，(A
14、)中 r( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 )=r( 1 ， 1 + 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=3 或( 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 由行列式 6.设向量组： 1 ， 2 ， r 可由向量组： 1 ， 2 ， s 线性表示，则（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关 解析：解析：用定理 38的推论，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选 D请举例说明 A，B，C 均
15、不正确7.若 r( 1 ， 2 ， s )=r，则（分数：2.00）A.向量组中任意 r1 个向量均线性无关B.向量组中任意 r 个向量均线性无关C.向量组中任意 r+1 个向量均线性相关 D.向量组中向量个数必大于 r解析：解析：秩 r( 1 ， 2 ， s )=r向量组 1 ， 2 ， s 的极大线性无关组为 r个向量 向量组 1 ， 2 ， s 中有 r 个向量线性无关，而任 r+1 个向量必线性相关所以应选 C8.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s1 + s ， s
16、+ 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关 D.如果 1 ， 2 ， s 线性相荧，那么 s 可由 1 ， 2 ， s1 线性表出解析：解析：(A)：当 s 为偶数时，命题不正确例如， 1 2 ， 2 + 3 ， ，3 + 4 ， 4 + 1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不_样，因而线性相关性没有必然的关系 例如， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s ，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A 1
17、 ，A 2 ，A s )=A( 1 ， 2 ， s )，于是 r(A 1 ，A 2 ，A s )=rA( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )s， 所以，A 1 ，A 2 ，A s 必线性相关故应选 C (D)：要正确理解线性相关的意义9.设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.A 经初等行变换必可化为(E m ，0) B.C.如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.行列式A T A=0解析：解析：例如， 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)10.向量组 1 =(1，0，1，2) T ， 2 =(1，1，3，1) T
18、， 3 =(2，一 1，a+1，5) T 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关r( 1 ， 2 ， 3 )3 11.已知 1 =(a，a，a) T ， 2 =(一 a，a，b) T ， 3 =(一 a，一 a，一 b) T 线性相关，则 a，b满足关系式 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=0 或 a=b）解析：解析：n 个 n 维向量线性相关铮 1 ， 2 ， n =0而 1 ， 2 ， 3 = 12.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 + 2 ，a 2 3 ， 1 2 +
19、3 线性相关，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：记 1 = 1 + 2 ， 2 =a 2 一 3 ， 3 = 1 一 2 + 3 ，则 1 ， 2 ， 3 线性相关 13.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，一 2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析： 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出甘方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 无解又因为 a=一 1 时方程组无解，所以 a=一 1 时 不
20、能由 1 ， 2 ， 3 线性表出14.任意 3 维向量都可用 1 =(1，0，1) T ， 2 =(1，一 2，3) T ， 3 =(a，1，2) T 线性表出，则a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任何 3 维向量 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出r( 1 ， 2 ， 3 )=3 因而 15.向量组 1 =(1，一 1，3，0) T ， 2 =(一 2，1，a，1) T ， 3 =(1，1，一 5，一 2) T 的秩为2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：r( 1 ， 2 ， 3 )=2，计算
21、秩 16.已知 r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r，r( 1 ， 2 ， s ，)=r+1，则 r( 1 ， 2 ， s ，)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r+1）解析：解析：r( 1 ， 2 ， s )=r( 1 ， 2 ， s ，)=r 表明 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，于是 r( 1 ， 2 ， s ，)=r( 1 ， 2 ， s ，)=r+117.设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 r(A * )= 18.已知 A= （分
22、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 可逆，知 A * 可逆，那么 r(AXA * )=r(x)，从而 r(B)=2，B=0于是 19.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 BA T =0 有 r(B)+r(A T )3，即 r(A)+r(B)3 又 B0，有 r(B)1，从而 r(A)3，即A=0于是 20.与 1 =(1，一 1，0，2) T ， 2 =(2，3，1，1) T ， 3 =(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：
23、设 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 T i =0(i=1，2，3)，即 求出基础解系：(1，一 1，2，一 1) T ，单位化得 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.设 A -1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知 B 2 =2B，B n =2 n1 B= )解析：24.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB(E
24、+AB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E+BA)E 一 B(E+AB) -1 A =E+BAB(E+AB) -1 ABAB(E+AB) -1 A =E+BAB(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BABA=E)解析：25.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C -1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因 ABAC=E，即 A -1 =BAC又CABA=B，得 A -1 =CAB 从而 BAC=CAB)解析：26.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反
25、对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =A，B T =一 B，那么(AB) T =B T A T =一 BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T =一 AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T =一 BA=一 AB，即 AB 是反对称矩阵)解析：27.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E 一 A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A m =0，有 E 一 A m =E于是 (E 一 A)(E+A+A 2 +A m1 )=E 一 A m =E 所以 E 一 A 可逆，且(E 一 A) -1 =E+A
26、+A 2 +A m1 )解析：设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE 及 A * =AA -1 有 )解析：(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 )解析：28.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(E 一 A)(E+A) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E 一 A)(E+A) -1 (E 一 A)(E+A) -1 T =(EA)(E+A) -1 (E+A) -1 T (E 一A) T =(E 一 A)(E+A) -1 (E+A)T -1 (E+A) =(E 一 A)(E+A) -1 (E 一 A) -1 (E+A) =(EA)(E 一 A)(E+A) -1 (E+A) =(E 一 A)(E+A)(E 一 A) -1 (E+A) =(EA)(E 一 A) -1 (E+A) -1 (E+A)=E 所以 (E 一 A)(E+A) -1 是正交矩阵)解析：
