1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 128及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (A+B)P为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得PAQ=B3.n阶实对称矩阵
2、A正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A无负特征值B.A是满秩矩阵C.A的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同6.设 n
3、阶矩阵 A与对角矩阵合同，则 A是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵7.设 A，B 都是 n阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0与 BX=0同解D.r(A)=r(B)8.设 A，B 为 n阶实对称矩阵，则 A与 B合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2
4、，1，1，以下命题： (1)AB； (2)A，B 合同； (3)A，B 等价； (4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 一 2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2
5、 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：46.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_17.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 一 4x 3 2 为标准形（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3
6、，又 AB+B=O，其中 （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY将二次型化为标准形；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，tr(A)=1，又 （分数：4.00）(1).求正交矩阵 Q，使得在正交变换 X=QY，下二次型化为标准形（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_18.用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 一 4x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，
7、x 2 ，x 3 )=(a一 1)x 1 2 +(a一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_设 n阶实对称矩阵 A的秩为 r，且满足 A 2 =A(A称为幂等阵)求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX的标准形；（分数：2.00）_(2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：2.00）_设 A为 n阶实对称可逆矩阵， （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩
8、阵形式；（分数：2.00）_(2).二次型 g(x)=X T AX是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.00）_设 A是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：2.00）_(2).当 k为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：2.00）_19.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t的范围（分数：2.00）_20.设 A是 n阶正定矩阵，证明：|E+A|1（分数：2.00）_21.用配方法化下列二
9、次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_22.用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 8x 1 x 3 一 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +6y 2 2 一 4y 3 2 ，求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分
10、数：2.00）_(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_设 为正定矩阵，令 （分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_(2).证明：DBA -1 B T 为正定矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 128答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 -1 AP 1 ，P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.
11、存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P -1 (A+B)P为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B；选(D)3.n阶实对称矩阵 A正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A无负特征值B.A是满秩矩阵C.A的每个特征值都是单值D.A -1 是正定矩阵 解析：解析：正定的充分必要条件是 A的特征值都是正数，(A)不对；若 A为正定矩阵，则 A一定是满秩矩阵，但 A是满秩矩阵只能保证 A的特征值
12、都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析：(A)不对，如 f=x 1 x 2 ，令 则 f=y 1 2 一 y 2 2 ；若令 5.设 A为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AX与 X T A -1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相
13、同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A与 A -1 合同，所以 X T AX与 X T A -1 X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)6.设 n阶矩阵 A与对角矩阵合同，则 A是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵 C.正定矩阵D.正交矩阵解析：解析：因为 A与对角阵 A合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 P T AP=A，从而 A=(P T ) -1 AP -1 =(P -1 ) T AP -1 ，A T =(P -1 ) T AP -1 T =(P -1 ) T AP -1 =A
14、，选(B)7.设 A，B 都是 n阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0与 BX=0同解D.r(A)=r(B) 解析：解析：因为 P可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)8.设 A，B 为 n阶实对称矩阵，则 A与 B合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.|A|=|B|C.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与9.设 （分数：2.00）A.
15、相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析：由|EA|=0 得 A的特征值为 1，3，一 5，由|EB|=0 得 B的特征值为 1，1，一 1，所以 A与 B合同但不相似，选(C)10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1，以下命题： (1)AB； (2)A，B 合同； (3)A，B 等价； (4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：因为 A，B 的特征值为一 2，1，1，所以|A|=|B|=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)二、填空
16、题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 一 2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 一 4x 1 x 2 +4x 2 x 3 ，所以 ）解析：12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 3 = 3 ， 正交规范化的向量组为 ）解析：13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_
17、 （正确答案：正确答案：该二次型的矩阵为 因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得 ）解析：14.设 5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：二次型的矩阵为 因为二次型为正定二次型，所以有 50， ）解析：三、解答题(总题数：16，分数：46.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_正确答
18、案：(正确答案：令 即 X=PY，其中 则 )解析：17.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 一 4x 3 2 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 一 4x 3 2 =(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 一(x 2 +x 3 ) 2 一 4 3 2 ，)解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )一 XTAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY将二次
19、型化为标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB+B=O得(E+A)B=O，从而 r(E+A)+r(B)3， 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1为 A的特征值且不低于 2重， 显然 =一 1不可能为三重特征值，则 A的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =5 由(E+A)B=0 得 B的列组为(E+A)X=0 的解， 故 为 1 = 2 =一 1对应的线性无关解 令 为 3 =5对应的特征向量， 因为 A T =A，所以 解得 令 正交化得 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得
20、 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，tr(A)=1，又 （分数：4.00）(1).求正交矩阵 Q，使得在正交变换 X=QY，下二次型化为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 AB=O得 为 =0 的两个线性无关的特征向量，从而 =0 为至少二重特征值，又由 tr(A)=1得 3 =1， 即 1 = 2 =0， 3 =1 令 3 =1对应的特征向量为 因为 A T =A，所以 解得 # =1对应的线性无关的特征向量为 令 所求的正交矩阵为 且 )解析：(2).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.用正交变换法化二
21、次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 一 4x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，其中 由 得 1 =一 3， 2 = 3 =3 由(一 3EA)X=0得 1 =一 3对应的线性无关的特征向量为 由(3EA)X=0 得 2 = 3 =3对应的线性无关的特征向量为 将 2 ， 3 正交化得 单位化得 )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a一 1)x 1 2 +(a一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2x 1
22、 x 2 (a0)的秩为（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由|E 一 A|=0得 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2EA)X=0得 =2 对应的线性无关的特征向量为 当 =0 时，由(0EA)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 )解析：设 n阶实对称矩阵 A的秩为 r，且满足 A 2 =A(A称为幂等阵)求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX的标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答
23、案：因为 A 2 =A，所以|A|EA|=0，即 A的特征值为 0或者 1， 因为 A为实对称矩阵，所以 A可对角化，由 r(A)=r得 A的特征值为 =1(r 重)，=0(n-r 重)，则二次型 X T AX的标准形为 y 1 2 +y 2 2 +y r 2 )解析：(2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r重)，故 |E+A+A 2 +A n |=|B|=(n+1) r )解析：设 A为 n阶实对称可逆矩阵， （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x
24、2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 r(A)=n，所以|A|0，于是 )解析：(2).二次型 g(x)=X T AX是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A可逆，所以 A的 n个特征值都不是零，而 A与 A -1 合同，故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )与 g(X)=X T AX规范合同)解析：设 A是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正
25、确答案：由 A 2 +2A=O得 r(A)+r(A+2E)3，从而 A的特征值为 0或一 2，因为 A是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1 =0， 2 = 3 =一 2)解析：(2).当 k为何值时，A+kE 为正定矩阵?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+kE 的特征值为 k，k 一 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵)解析：19.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t的范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 因为该二次型为正定二
26、次型，所以有 解得 )解析：20.设 A是 n阶正定矩阵，证明：|E+A|1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 因为 A是正定矩阵，所以存在正交阵 Q，使得 其中 1 0， 2 0， n 0，因此 )解析：21.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2
27、 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 =(x 1 +x 2 一 x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2 一 10x 3 2 ， )解析：22.用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 或 X=P 1 Y，其中 且 P 1 可逆， )解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 8x 1 x 3 一 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +6y 2 2 一 4y 3 2
28、，求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， 矩阵 A的特征值为 1 =5， 2 =b， 3 =一 4， 从而 )解析：(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 1 = 2 =5代入(EA)X=0，即(5EA)X=0， 由 得 1 = 2 =5对应的线性无关的特征向量为 将 3 =一 4代入(EA)X=0，即(4E+A)X=0， 由 得 3 =一 4对应的线性无关的特征向量为 令 单位化得 所求的正交变换矩阵为 )解析：设 为正定矩阵，令 （分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 为正定矩阵，所以 A T =A，D T =D， )解析：(2).证明：DBA -1 B T 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C与 合同，且 C为正定矩阵，所以 )解析：
