1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 125及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 mn阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0只有零解，则方程组 AX=b有唯一解B.若方程组 AX=0有非零解，则方程组 AX=b有无穷多个解C.若方程组 AX=b无解，则方程组 AX=0一定有非零解D.若方程组 AX=b有无穷多个解，则方程组 AX=0一定有非零解3.设 A是 mn阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若
2、mB.若 mn，则方程组 AX=b一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b一定有唯一解D.若 f(A)=m，则方程组 AX=b一定有解4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) * ，则 A * X=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 45.设向量组 1 ， 2 ， 4 为方程组 AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2
3、-+ 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 36.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b的两个不同解，则方程组 AX=b的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A为 n阶矩阵，A 的各行元素之和为 0且 r(A)=n一 1，则方程组 AX=0的通解为 1（分数：2.0
4、0）填空项 1:_9.设 A为 n阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 B0 为三阶矩阵，且矩阵 B的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 1 ， 2 ， s 是四元非齐次线性方程组 AX=b的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = （分数：2.00）填空项 1:_13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设方程组 （分数：2.
5、00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.求方程组 （分数：2.00）_17.参数 a取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0的一个基础解系（分数：2.00）_设 A是 34阶矩阵且 r(A)=l，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一
6、1，2，0，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为 AX=0的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=0的通解（分数：2.00）_21.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0的通解（分数：2.00）_22.四元非齐次线性方程组 AX=b有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 （分数：2.00）_23.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n
7、 + 1 )，当 r(A)=n时，方程组 BX=0是否有非零解?（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_设 n阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n一 1个列向量线性相关，后 n一 1个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n一 1) n-1 1=0，b= 1 + 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b有无穷多个解；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=b的通解（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b的
8、解；（分数：2.00）_(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =一 a，求 A T X=b的通解（分数：2.00）_27.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 125答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是 mn阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若
9、方程组 AX=0只有零解，则方程组 AX=b有唯一解B.若方程组 AX=0有非零解，则方程组 AX=b有无穷多个解C.若方程组 AX=b无解，则方程组 AX=0一定有非零解D.若方程组 AX=b有无穷多个解，则方程组 AX=0一定有非零解 解析：解析：方程组 只有零解，而 无解，故(A)不对； 方程组 有非零解，而 无解，故(B)不对； 方程组 无解，但 只有零解，故(C)不对； 若 AX=b有无穷多个解，则 3.设 A是 mn阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mB.若 mn，则方程组 AX=b一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b一定有唯一解D.若 f(
10、A)=m，则方程组 AX=b一定有解 解析：解析：因为若 r(A)=m(即 A为行满秩矩阵)，则 于是4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) * ，则 A * X=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4 D. 3 ， 4解析：解析：因为 AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A * )=1 因为 A * A=|A|E=O，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X=0的一组解，
11、又因为一 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X=0的一个基础解系，选(C)5.设向量组 1 ， 2 ， 4 为方程组 AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 -+ 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3解析：解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0的解向
12、量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，选(C)6.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 AX=0的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b的两个不同解，则方程组 AX=b的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选(D)，因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0的两个线性无关解，也是基础解系，而 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 AX=0有非零解，所以|A|=0， 而 且a* )=1 因为 A * A=|A|E=0，所以 A的列向量组为 A * X=0的解， 故 A * X=0的
13、通解为 ）解析：8.设 A为 n阶矩阵，A 的各行元素之和为 0且 r(A)=n一 1，则方程组 AX=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 A的各行元素之和为零，所以 又因为r(A)=n一 1，所以 为方程组 AX=0的基础解系，从而通解为 ）解析：9.设 A为 n阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为|A|=0，所以 r(A) ki0，所以 r(A*)1，从而 r(A)=n一 1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=|A|E=O，所以 A*的列向量为
14、方程组 AX=0的解向量，故 AX=0的通解为 C(Ak1，A k2，A ki，A kn)T(C为任意常数)）解析：10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 +k 2 +k s =1显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b的解的充分必要条件是 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 =A 2 =A s =b，所以(k 1 +k 2 +k s )b=b，注意到 b0，所以 k 1 +k 2 +k
15、 s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =1）解析：11.设 B0 为三阶矩阵，且矩阵 B的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 ）解析：12.设 1 ， 2 ， s 是四元非齐次线性方程组 AX=b的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b的通解为k+，其中 = 3 一 1 =( 2 + 3 )一( 1 + 2 )= = ( 2 + 3 )= 于是方程组的通解为 ）解
16、析：13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为方程组无解，所以 于是 r(A)2 =0，得a=一 1或 a=3当 a=3时，因为 所以方程组有无穷多个解； 当 a=一 1时， 因为 ）解析：14.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 因为原方程组有解，所以 ）解析：三、解答题(总题数：16，分数：36.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 方法一 原方程组的同解方程组为 或者 故原方程组的通解为方法二 原方程组的基础解系为 故通解为 )解析：1
17、7.参数 a取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 a=1，则 原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1) T +(2，一 1，0)(k为任意常数)； 若 a1，则 当 a=2时，方程组无解； 当 a=一 2时， )解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 A有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4一 r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 )解析：19.求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 1 ， 2 ， 3 为
18、四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 AX=0 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0，由 3 =3 1 +2 2 可得(x 1 +3x 3 ) 1 +(x 1 +2x 3 ) 2 =0，因为 1 ， 2 线性无关，因此 的一个基础解系为 方法二 由 r(A)=2可知 AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 3 1 +2 2 一 3 =0， 因此 )解析：设 A是 34阶矩阵且 r(A)=l，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T
19、 ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为 AX=0的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一 4，3，a+1) T 线性相关，即 )解析：(2).求方程组 AX=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0的通解为 X=k 1 (1，
20、一 2，1，2) T +k 2 (1，0，5，2) T +k 3 (一 1，2，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数)解析：21.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 =3 1 一 3 一 5 ， 4 =2 1 + 3
21、 +6 5 得方程组 AX=0的两个解为 1 =(3，一 1，一 1，0，一 1) T ， 2 =(2，0，1，一 1，6) T 故 AX=0的通解为 k 1 (3，一 1，一 1，0，一 1) T +k 2 (2，0，1，一1，6) T (k 1 ，k 2 为任意常数)解析：22.四元非齐次线性方程组 AX=b有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3，设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b的通解形式为 k+，其中 为 AX=0的一个基础解系，n 为方程组 AX=b的特解，根据方程组解的结构的性质， 所以方程组 AXb的通解为 )解析：
22、23.A nn =( 1 ， 2 ， n )，B nn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n时，方程组 BX=0是否有非零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 当 n为奇数时，|B|0，方程组 BX=0只有零解； 当 n为偶数时，|B|=0，方程组 BX=0有非零解 方法二 BX=0 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n-1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关， 所以 )解析：24.设 （分数：2.0
23、0）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = (*) (1)当 a=一 1，b0时，因为 )解析：设 n阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n一 1个列向量线性相关，后 n一 1个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n一 1) n-1 1=0，b= 1 + 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b有无穷多个解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n一 1，又 b= 1 + 2 + n ，所以 即 )解析：(2).求方程组 AX=b的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 +2 2 +(
24、n一 1) n-1 =0，所以 1 +2 2 +(n一 1) n+1 +0 n =0，即齐次线性方程组 AX=0有基础解系 =(1，2，n=1，0) T ， 又因为 b= 1 + 2 + n ，所以方程组 AX=b有特解 =(1，1，1) T ， 故方程组 AX=b的通解为 k+=k(1，2，n 一 1，0) T +(1，1，1) T (k为任意常数)解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 r(A)=2，所以 t=1，方程组的通解为 )解析：26.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，
25、唯一解为 (2)当 a=0时，因为 所以方程组无解； (3)当 a=b0 时， 方程组有无穷多个解，通解为 )解析：设 （分数：4.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b的解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=|A T |=(a 4 一 a 1 )(a 4 一 a 2 )(a 4 一 a 3 )(a 3 一 a 1 )(a 3 一 a 2 )(a 2 一 a 1 )， 若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 =D 2 =D 3 =0，D 4 =D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T ；)解析：(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =一 a，求 A T X=b的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =一 a时， )解析：27.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1 ，+ s 线性无关， 故方程组 BY=0只有零解)解析：
