1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 123及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A为 mn阶矩阵，B 为 nm阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm3.设 A为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=44.设 A，B 都是 n阶矩阵，其中 B是非零矩阵，且 AB=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB
2、.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.|A|=05.设 A，B 分别为 m阶和 n阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 17.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2 -1二、填空题(总题数：13，分数：26.00)8.设 A为四阶矩阵，|A * |=8，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:
3、_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n阶矩阵 A满足 A 2 +A一 3E，则(A 一 3E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.设 n维列向量 a=(a，0，0，a) T ，其中 aT ， （分数：2.00）填空项 1:_17.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 A是 43阶矩阵且 r(A)=2， （分数：2.00）填空项 1:
4、_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.设 A，B 满足 A * BA=2BA一 8E，且 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_设 n阶矩阵 A满足 A 2 +2A3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：2.00）_(2).(A+4E) -1 （分数：2.00）_25.设 A为 n阶矩阵，且 A k =O，求(EA) -1 （分数：2.00）_设 A，B 为 n阶矩阵， （分数
5、：4.00）(1).求 PQ；（分数：2.00）_(2).证明：当 P可逆时，Q 也可逆（分数：2.00）_26.设 A为 n阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A * （分数：2.00）_27.设 A为 n阶矩阵，且 A 2 一 2A一 8E=O证明：r(4EA)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_28.证明：若矩阵 A可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_29.设 A是 mn阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 123答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列
6、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A为 mn阶矩阵，B 为 nm阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析：显然 AB为 m阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)3.设 A为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=1，所以 r(A)=41=3，选(C)4.设 A，B 都是 n阶矩阵，其中 B是非零矩阵，且 A
7、B=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.|A|=0 解析：解析：因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选(D)5.设 A，B 分别为 m阶和 n阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A，B 都是可逆矩阵，因为 所以6.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，
8、显然 A首先将第 2列的两倍加到第 3列，再将第 1及第 2列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选(D)7.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 -1 AP 1D.B=P 1 -1 AP 2 -1 解析：解析：显然 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)8.设 A为四阶矩阵，|A * |=8，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 A为四阶矩阵，且|A * |=8，所以|A * |=|A| 3 =8，于是|A|=2 又 AA * =|A|E=2E，所以 A * =2A -1 ，故 ）
9、解析：9.若矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 AB=0得 r(A)+r(B)3， 因为 r(B)1，所以r(A)2， 又因为矩阵 A有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)=2 ）解析：10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：|A|=10，因为 A * =|A|A -1 ，所以 A * =10A -1 ，故 ）解析：13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
10、：*）解析：14.设 n阶矩阵 A满足 A 2 +A一 3E，则(A 一 3E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 A 2 +A=3E，得 A 2 +A一 3E=0，(A 一 3E)(A+4E)=一 9E， ）解析：15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为|A|=2，所以A * A=|A|E=2E， 而 A * A=(A * 1 ，A * 2 ，A * 3 )，所以 于是 ）解析：16.设 n维列向量 a=(a，0，0，a) T ，其中 aT ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
11、正确答案：由 且 T O，得 ）解析：17.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A -1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 A -1 BA=6A+BA，得 A -1 B=6E+B，于是(A -1 一 E)B=6E， ）解析：18.设 A是 43阶矩阵且 r(A)=2， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=2）解析：19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A有两
12、行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=2）解析：20. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 因为 E ij -1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 ）解析：三、解答题(总题数：11，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.设 A，B 满足 A * BA=2BA一 8E，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * BA=2BA一 8E得 AA * BA=2ABA一 8A， 即一 2BA=2ABA一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
13、解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 n阶矩阵 A满足 A 2 +2A3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) -1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A一 3E=O得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) -1 = )解析：(2).(A+4E) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A一 3E=O得(A+4E)(A 一 2E)+5E=O，则(A+4E) -1 = )解析：25.设 A为 n阶矩阵，且 A k =O，求(EA) -1 （分数：2.00）_正确答
14、案：(正确答案：E k 一 A k =(EA)(E+A+A 2 +A k-1 )，又 E k 一 A k =E， 所以(EA) -1 =E+A+A 2 +A k-1 )解析：设 A，B 为 n阶矩阵， （分数：4.00）(1).求 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明：当 P可逆时，Q 也可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为|P|=|A|B|，所以当 P可逆时，|A|B|0，而 PQ=|A|B|E，即 于是 Q可逆且 )解析：26.设 A为 n阶可逆矩阵，A 2 =|A|E证明：A=A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA *
15、 =|A|E，又已知 A 2 =|A|E，所以 AA * =A 2 ，而 A可逆，故 A=A * )解析：27.设 A为 n阶矩阵，且 A 2 一 2A一 8E=O证明：r(4EA)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 一 2A一 8E=O得(4E-A)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E 一 A)+r(2E+A)=n)解析：28.证明：若矩阵 A可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=O，故 r(A)+r(BC)n，因为A可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=O，于是 B=C，即 A的逆矩阵是唯一的)解析：29.设 A是 mn阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=r(A T A)，而 A T A=O，所以 r(A)=0，于是 A=O)解析：
