1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 121 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(AB) * A * B *B.(AB) * B * A *C.(AB) * A * BD.(AB) * 一定可逆3.设 （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1D.P 2 A 1 P 14.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ，
2、n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 2 ， 2 3 ， n 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆5.设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX0 与 ABX0 同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)sB.r(A)mC.r(B)sD.r(B)n6.设三阶
3、矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 A，B 都是三阶矩阵，A （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征
4、值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征 向量，若 1 ，A( 1 2 )，A 2 ( 1 2 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_11.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )X T AX 的正惯性指数是 2且 A 2 2A0，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.计算 D 2n （分数：2.00）_14.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P （分数：
5、2.00）_15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A T （分数：2.00）_16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无 关的充分必要条件是 A 可逆（分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关 (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示； (2)设 （分数：2.00）_18.A，B 为 n 阶矩阵且，r(A)r(B)n证明：方程组 AX0 与 BX0
6、 有公共的非零解（分数：2.00）_19.设 的一个基础解系为 ，写出 （分数：2.00）_20.证明：r(A)r(A T A)（分数：2.00）_21.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A，r(A)r(0rn)求5EA（分数：2.00）_22.设矩阵 A （分数：2.00）_23.设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明：，A 线性无关； (2)若 A 2 A60，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化（分数：2.00）_24.设方程组 ，有无穷多个解， （分数：2.00）_25.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 ，设 （分数：2.00）_
7、26.设 P 为可逆矩阵，AP T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_27.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_28.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 121 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(AB) *
8、A * B *B.(AB) * B * A * C.(AB) * A * BD.(AB) * 一定可逆解析：解析：因为(AB) * AB(AB) 1 ABB 1 A 1 BB 1 AA 1 B * A * ，所 以选(B)3.设 （分数：2.00）A.A 1 P 1 P 2B.P 1 A 1 P 2C.P 1 P 2 A 1 D.P 2 A 1 P 1解析：解析：BAE 14 E 23 或 BAE 23 E 14 即 BAP 1 P 2 或 BAP 2 P 1 ，所以 B 1 P 2 1 P 1 1 A 1 或 B 1 P 1 1 P 2 1 A 1 ，注意到 E ij 1 E ij ，于是
9、B 1 P 2 P 1 A 1 或 B 1 P 1 P 2 A 1 ，选(C)4.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关B.若向量 1 ， 2 ， n 线性相关，则 1 ， 2 ， n 中任一向量都可由其余向量线性表示C.若向量 1 ， 2 ， n 线性无关，则 1 2 ， 2 3 ， n 1 一定线性无关D.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维向量且线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，且 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，则 A 一定可逆 解析：解析：(A 1 ，A 2 ，A
10、n )A( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以矩阵( 1 ， 2 ， N )可逆，于是 r(A 1 ，A 2 ，A n )r(A)，而 A 1 ，A 2 ，A n 线性无关，所以 r(A) n，即 A 一定可逆，选(D)5.设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX0 与 ABX0 同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)s B.r(A)mC.r(B)sD.r(B)n解析：解析：设 r(A)s，显然方程组 BX0 的解一定为方程组 ABX0 的解，反之，若 ABX 0，因为r(A)s，所以方程组 AY0 只有零解，故 BX0，即方程
11、组 BX0 与方程组 ABX 0 同解，选(A)6.设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ， 3 ，2 1 也是特征值 1，2，1 的特征向量，所以 P 1 AP 7.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 APBB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQBC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以
12、 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB，选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 A，B 都是三阶矩阵，A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A3，A * AA 1 3A 1 ，则(A * ) 1 BABA2A 2 化为 ABABA 2A 2 ，注意到 A 可逆，得 BBA2A 或B3BA6A，则 B6A(E3A) 1 ， E3A ，(E3A) 1 则 B6A(E3A) 1 9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ; ）解析：解析：( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ， 则向量组 1 ，
13、2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组为 1 ， 2 ，且 10.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征 向量，若 1 ，A( 1 2 )，A 2 ( 1 2 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x 1 1 x 2 A( 1 2 )x 3 A 2 ( 1 2 3 )0，即 (x 1 1 x 2 1 2 x 3 ) 1 ( 2 x 2 2 2 x 3 ) 2 3 3 x 3 0，则有 x 1 1 x 2 1 2 x 3 0
14、, 2 x 2 2 2 x 3 0， 3 3 x 3 0，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全部为零， 所以 11.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )X T AX 的正惯性指数是 2且 A 2 2A0，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 y 2 2）解析：解析：A 2 2AO r(A)r(2EA)4 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.计算 D 2n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 A 为 n 阶非奇异矩阵
15、， 是 n 维列向量，b 为常数，P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PQ )解析：15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， )解析：16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A 1 ，A 2 ，A n 线性无 关的充分必要条件是 A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B( 1 ， 2 ， n )，因为 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维线性无关的
16、向量， 所以 r(B)n(A 1 ，A 2 ，A n )AB，因为 r(AB)r(A)，所以 A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关的充 分必要条件是 r(A)n，即 A 可逆)解析：17.设 1 ， 2 ， 1 ， 2 为三维列向量组，且 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关 (1)证明：至少存在一个非零向量可同时由 1 ， 2 和 1 ， 2 线性表示； (2)设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 ， 2 ， 1 ， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，l 1 ，l 2 ，使得 k 1 1 k 2 1 l 1 1 l 2 1 0，或 k 1 1
17、 k 2 2 l 1 1 l 2 2 令 k 1 1 k 2 2 l 1 1 l 2 2 ，因为 1 ， 2 与 1 ， 2 都线性无关，所以 k 1 ，k 2 及 l 1 ，l 2 都 不全为零，所以 0 (2)令 k 1 1 k 2 1 l 1 1 l 2 2 0， )解析：18.A，B 为 n 阶矩阵且，r(A)r(B)n证明：方程组 AX0 与 BX0 有公共的非零解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组 X0 的解即为方程组 AX0 与 BX0 的公共解 因为 r(A)r(B)n，所以方程组 )解析：19.设 的一个基础解系为 ，写出 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
18、案： 则()可写为 BY0，因为 1 ， 2 ， n 为(I)的基础解系，因此 r(A)n， 1 ， 2 ， n 线性无关，A 1 A 2 A n 0 A( 1 ， 2 ， n )O AB T O BA T O )解析：20.证明：r(A)r(A T A)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只需证明 AX0 与 A T AX0 为同解方程组即可 若 AX 0 0，则 A T AX 0 0 反之，若 A T AX 0 0，则 X 0 A T A T AX 0 (AX 0 ) T (AX 0 )0 )解析：21.设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A 2 A，r(A)r(0rn)求5EA（分数：
19、2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 A A(EA)O r(A)r(EA)n )解析：22.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)EA( 2 1) 2 (a2)2a1， 把 3 代入上式得a2，于是 A (2)由EA 2 0 得 A 2 的特征值为 1 2 3 1， 4 9 当 1 时，由(EA 2 )X0 得 1 (1，0，0，0) T ， 2 (0，1，0，0) T ， 3 (0，0，1，1) T ； 当 9 时，由(9EA 2 )X0 得 4 (0，0，1，1) T 将 1 ， 2 ， 3 正交规范化得 1 (1，0，0，0) T ， 2 (0，1，0，0
20、) T ， 3 将 4 规范化得 4 令 P( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) )解析：23.设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明：，A 线性无关； (2)若 A 2 A60，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，使得 k 1 k 2 A0，显然 k 2 0，所以 A )解析：24.设方程组 ，有无穷多个解， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有无穷多个解，所以 a 2 2a10，解得 a1 令P( 1 ， 2 ， 3 ) (2)A2，A * 对应的
21、特征值为 )解析：25.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 ，设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有一个特征值为 i 5，其对 应的特征向量为 1 A 1 5 1 又 AX0 的通解为 则 r(A)1 2 3 0，其对应的特征向量为 A 2 0，A 3 0 令 x 1 1 x 2 2 x 3 3 ，解得 x 1 8，x 2 1，x 3 2， 则 A8A 1 A 2 2A 3 8A 1 )解析：26.设 P 为可逆矩阵，AP T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T A，
22、对任意的 X0，X T AX(PX) T (PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以PX 0，于是 X T AX(PX) T (PX)PX 2 0，即 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵)解析：27.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 所对应的二次型为 fX T AX， 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换XQY，使得 fX T AX )解析：28.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(B T AB) T B T A T (B T ) T B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X T B T ABX(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有BX0，或方程组 BX 0 只有零解，所以 r(B)n 反之，设 r(B)n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X(BX) T A(BX)0， 所以 B T AB 为正定矩阵)解析：
