1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 117 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABABB.若AB0，则 AO 或 BOC.ABABD.ABAB3.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A *D.k n(n1) A *4.设 P*，Q 为三阶非零矩阵，且 PQO，则( )（分数：2.00）A.当
2、t6 时，r(Q)1B.当 t6 时，r(Q)2C.当 t6 时，(Q)1D.当 t6 时，r(Q)25.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 1 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A( 1 ， 2 ， m )，方程组 AX0 只有零解D. 1 ， 1 ， m 中向量的个数小于向量的维数6.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组似 AXb 有两个不同解， 1 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2B. 1 2 为
3、AXb 的解C.方程组 AX0 的通解为 k( 1 2 )D.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2 7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对8.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 D （分数：2.00）填空项 1:_10.设矩阵 A，B 满足 A * BA2BA8E，且 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A （分数：2.00）填空项
4、 1:_填空项 1:_12.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 1 2 ，A 2 2 3 ，A 3 3 1 ，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.计算 （分数：2.00）_15.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T C，且 （分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 kA * （分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ，
5、 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_18.设向量组 1 ， 2 ， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_19.设() ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BXb 的四个解，其中 1 （分数：2.00）_20.设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程组 BX0 与 ABX0 是同解方程组（分数：2.00）_21.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AXb 满足，r(A)r （分数：2.00）_22.设 A （分数：2.00）_2
6、3.设矩阵 A （分数：2.00）_24.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 2 3 ，A 2 1 3 ，A 3 1 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_25.设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 2 2 是 A 的特征值， 对应特征向量为(1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷
7、 117 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.ABABB.若AB0，则 AO 或 BOC.ABABD.ABAB 解析：解析：(A)，(C)显然不对，设 A3.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A * D.k n(n1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余
8、子式，而余子式为 n1 阶子式，所以(kA) * k n1 A * ，选(C)4.设 P*，Q 为三阶非零矩阵，且 PQO，则( )（分数：2.00）A.当 t6 时，r(Q)1B.当 t6 时，r(Q)2C.当 t6 时，(Q)1 D.当 t6 时，r(Q)2解析：解析：因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQO 得 r(P)r(Q)3，当 t6 时，r(P) 2，则 r(Q)1，于是 r(Q)1，选(C)5.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例B. 1 ， 1 ， m 是两两正交的非零向量组C.设 A(
9、 1 ， 2 ， m )，方程组 AX0 只有零解 D. 1 ， 1 ， m 中向量的个数小于向量的维数解析：解析：向量组 1 ， 2 ， m 线性无关，则 1 ， 2 ， m 中任意两个向量不成比例，反之不对， 故(A)不对；若 1 ， 2 ， m 是两两正交的非零向量组，则 1 ， 2 ， m 一定线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不一定两两正交，(B)不对； 1 ， 2 ， m 中向量个数小于向量的维 数不一定线性无关，(D)不对，选(C)6.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组似 AXb 有两个不同解， 1 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.0
10、0）A.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2B. 1 2 为 AXb 的解C.方程组 AX0 的通解为 k( 1 2 ) D.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2 解析：解析：因为非齐次线性方程组 AXb 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为 A * O，所以 r(A) n1， 2 1 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系，选(C)7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQBC.r(A)r(B)D.以上都不对 解析：解析：令 A8.设 （分数：2.00）A.合同且相似B.相似
11、但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由EA0，得 A 的特征值为 1 1， 2 2， 3 9， 由EB0，得 B 的特征值为 1 1， 2 2 3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值 不相同，所以 A，B 合同但不相似，选(C)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 D （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 A 32 A 33 A 31 A 32 A 33 0A 34 0A 35 10.设矩阵 A，B 满足 A * BA2BA8E，且 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
12、答案：*）解析：解析：由 A * BA2BA8E，得 AA * BA2ABA8A，即2BA2ABA8A 于是2B2AB8E，(AE)B4E，所以 B4(AE) 1 11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a2）填空项 1:_ （正确答案：b1）解析：解析：A12.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 1 2 ，A 2 2 3 ，A 3 3 1 ，则A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆， 由AP(A 1
13、，A 2 ，A 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a 1 a 2 a n1 a n (a 1 a 2 a n2 a n1 D n2 ) a 1 a 2 a 1 a 2 a n2 a n a n a n1 D n2 )解析：15.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T C，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EC 1 B)A T C 1 ，得 A T (2EC 1 B) 1 C 1 C(2EC 1 B)
14、1 (2CB) 1 ， )解析：16.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)n1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 kA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)n1，所以 r(A * )1，于是 A * )解析：17.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A( 1 ， 2 ， n )，A T A r(A)r(A T A)，向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)n，即 r(A T A)n 或A T A0，从而 1 ， 2 ， n 线性无关
15、的充分必要条件是 )解析：18.设向量组 1 ， 2 ， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A )解析：19.设() ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BXb 的四个解，其中 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方程组(I)的基础解系为 1 ； (2)因为 r(B)2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量， 4 1 为方程组()的基础解系； (3)方程组(I)的通解为 k 1 1 k 2 2 ，方程组()的通解为 ， )解析：20.设 A 是
16、 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程组 BX0 与 ABX0 是同解方程组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先，方程组 BX0 的解一定是方程组 ABX0 的解令 r(B)r 且 1 ， 2 ， nr ，是方程组 BX0 的基础解系，现设方程组 ABX0 有一个解 0 不是方程组 BX0 的解，即 B 0 0，显然 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，若 1 ， 2 ， nr ， 0 线性相关，则存在 不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k nr ，k 0 ，使得 k 1 1 k 2 2 k nr nr k 0 0 0， 若 k 0 0，则 k
17、1 1 k 2 2 k nr nr 0，因为 1 ， 2 ， nr 线性无关， 所以 k 1 k 2 k nr 0，从而 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，所以 k 0 0，故 0 可由 1 ， 2 ， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B 0 0，矛盾，所以 1 ， 2 ， nr ， 0 线性无关，且为方程组 ABX0 的解，从而 nr(AB)nr1，r(AB)r1，这 与 r(B)r(AB)矛盾，故方程组BX0 与 ABX0 同解)解析：21.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AXb 满足，r(A)r （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)r
18、n，所以齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有 nr 个线性无 关的解向量，设为 1 ， 2 ， nr 设 0 为方程组 AXb 的一个特解， 令 0 0 ， 1 1 0 ， 2 2 0 ， nr nr 0 ，显然 0 ， 1 ， 2 ， nr 为方程 组 AXb 的一组解 令 k 0 0 k 1 1 k nr nr 0，即 (k 0 k 1 k nr ) 0 k 1 1 k 2 2 k nr nr 0， 上式两边左乘 A 得(k 0 k 1 k nr )b0， 因为 b 为非零列向量，所以 k 0 k 1 k nr 0，于是 k 1 1 k 2 2 k nr nr 0， 注意到 1 ， 2
19、， nr 线性无关，所以 k 1 k 2 k nr 0， 故 0 ， 1 ， 2 ， nr 线性无关，即方程组 AXb 存在由 nr1 个线性无关的解向量构 成的向量组设 1 ， 2 ， nr2 为方程组 AXb 的一组线性无关解， 令 1 2 1 ， 2 3 1 ， nr1 nr2 1 ，根据定义，易证 1 ， 2 ， nr1 线性 无关，又 1 ， 2 ， nr1 为齐次线性方程组 AX0 的一组解，即方程组 AX0 含有 nr1 个线性无关的解，矛盾，所以 AXb 的任意 nr2 个解向量都是线性相关的，所以 AXb 的线性无关的解向量的个数最多为 nr1 个)解析：22.设 A （分数
20、：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)EA0 1 2 1， 3 1 因为 A 相似于对角阵，所以 r(EA)1 (EA)X0 基础解系为 1 (0，1，0) T ， 2 (1，0，1) T ，(EA)X0 基础解系为 3 (1，2，1) T ，令 P( 1 ， 2 ， 3 )，则 P 1 APdiag(1，1，1) (2)P 1 A 100 PE )解析：23.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A 1 ，则有 A12，设 A 的另外两个特征值为 2 ， 3 ，由 得 2 3 2 对应的 A * 的特征值为 4 (2)2EA )解
21、析：24.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为三个三维线性无关的列向量，且满足 A 1 2 3 ，A 2 1 3 ，A 3 1 2 (1)求矩阵 A 的特征值； (2)判断矩阵 A 可否对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 2 3 0， 由 A( 1 2 3 )2( 1 2 3 )，得 A 的一个特征值为 1 2； 又由 A( 1 2 )( 1 1 )，A( 2 3 )( 2 3 )， 得 A 的另一个特征值为 2 1因 为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 1 2 与 2 3 也线性无关，所以 2 1 为矩阵A 的二重
22、特征值，即 A 的特征值为 2，1，1 (2)因为 1 2 ， 2 3 为属于二重特征值1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定 可以对角化)解析：25.设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 有非零解且 2 2 是 A 的特征值， 对应特征向量为(1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2)求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2 5，对应的特征向量为 又因为 AX0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量 为 ，根据不同特征值对应的
23、特征向量正交得 解得特征值 0 对应的 特征向量为 )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EB0，得 1 1， 2 1， 3 2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1 1， 2 1， 3 2 由 tr(A) 1 2 3 ，得 a1，再由Ab 1 2 3 2，得 b2， 由(EA)X0，得 1 (1，1，0) T ； 由(EA)X0，得 2 (2，1，1) T ； 由(2EA)X0，得 3 (2，1，0) T 由(EB)X0，得 1 (1，0，1) T ； 由(EB)X0，得 2 (1，0，0) T ； 由(2EB)X0，得 3 (8，3，4) T ， 由 P 1 1 AP 1 P 2 1 BP 2 ，得(P 1 P 2 1 ) AP 1 P 2 1 B， 令 PP 1 P 2 1 )解析：27.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：AB 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以 A T A，B T B，从而(AB) T AB，即 AB 为对称矩阵 对任意的 X0，X T (AB)XX T AXX T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0， X T BX0，因此 X T (AB)X0，于是 AB 为正定矩阵)解析：
