1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 107 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A=E 一 2 T ，其中 =（x 1 ，x 2 ，x n ） T ，且有 T =1。则 A 是对称矩阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（ ）（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A *D.2A4.若 1 ， 2 线性
2、无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +（ ）（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定5.设 （分数：2.00）A.1B.一 2C.1 或一 2D.一 16.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）A n x=0 和（2）A n+1 x=0，现有四个命题： （1）的解必是（2）的解； （2）的解必是（1）的解； （1）的解不是（2）的解； （2）的解不是（1）的解。 以上命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.7.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵
3、A 属于特征值 A=一 3 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 一 AD.A 2 +2A 一 38.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P 1 AP； A T ； （分数：2.00）A.1B.2C.3D.49.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=（ 1 ，2 3 ， 2 ），则 P 1 AP=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +5x 2 2 +
4、x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是（ ）（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2B.y 1 2 6y 2 2 +2y 3 2C.y 1 2 一 y 2 2D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 211.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是（ ）（分数：2.00）A.A 1 正定B.A 没有负的特征值C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位矩阵二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.已知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=0，且 0|A|5，则|A+2E|= 1。（
5、分数：2.00）填空项 1:_14.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E 一 xx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 =（1，0，1） T ，A= T ，若 B=（kE+A） * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数
6、：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 X。 （）记P=（x，Ax，A 2 x）。求三阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ； （）计算行列式|A+E|。（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关，证明： （）如果等式k 1 1 +k m m =0 成立，则系数后 k 1 ，k m 或者全
7、为零，或者全不为零； （）如果等式k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立，则 （分数：2.00）_26.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， nr+1 ，是它的 n 一 r+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr+1 nr+1 ，其中 k 1 +k nr+1 =1。（分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_28.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t
8、1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_29.设矩阵 （分数：2.00）_30.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_31.证明：二次型 f（x）=x T Ax 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 107 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A=E 一 2
9、T ，其中 =（x 1 ，x 2 ，x n ） T ，且有 T =1。则 A 是对称矩阵； A 2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：A T =（E 一 2 T ） T =E T 一（2 T ） T =E 一 2 T =A，成立。 A 2 =（E一 2 T ）（E 一 2 T ）=E 一 T +4 T T =E 一 4 T +4（ T ） T =E，成立。 由、，得 A 2 =AA T =E，故 A 是正交矩阵，成立。 由知正交矩阵是可逆矩阵，且A 1 =A T ，成立。故应选 D。3.设 A 为
10、正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（ ）（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A *D.2A 解析：解析：因 A 为正交矩阵，所以 AA T =A T A=E，且|A| 2 =1。而（2A）（2A） T =4AA T =4E，故 2A不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 A T （A T ） T =A T A=E，（A T ） T A T =AA T =E，可知 A T 为正交矩阵。 由 A 2 （A 2 ） T =A（AA T ）A T =AA T =E，（A 2 ） T A 2 =A T （A T A）A=A T A=E，可知 A 2 为正交矩阵。 由 A * =|A|A 1
11、=|A|A T ，可得 A * （A * ） T =|A|A T （|A|A）=|A| 2 A T A=|A| 2 E=E， （A * ） T A * =（|A|A）|A|A T =|A| 2 AA T =|A| 2 E=E，故 A * 为正交矩阵。4.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 + 与 2 +（ ）（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定 解析：解析：例如，令 1 =（1，1）， 2 =（0，2），=（一 1，一 1），则 1 ， 2 线性无关，而 1 +=（0，0）与 2 +=（一 1，1）线性相关。如果设 =（0，0），那么 1
12、 + 与 2 + 却是线性无关的。故选 D。5.设 （分数：2.00）A.1B.一 2 C.1 或一 2D.一 1解析：解析：由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r（A）=2。由方程组 Ax=0 有非零解可得，|A|=（a1） 2 （a+2）=0，即a=1 或一 2。当 a=1 时，r（A）=1，舍去；当 a=一 2 时，r（A）=2。所以选 B。6.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）A n x=0 和（2）A n+1 x=0，现有四个命题： （1）的解必是（2）的解； （2）的解必是（1）的
13、解； （1）的解不是（2）的解； （2）的解不是（1）的解。 以上命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：若 A n =0，则 A n+1 =A（A n ）=A0=0，即若 是（1）的解，则 必是（2）的解，可见命题正确。 如果 A n+1 =0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A，A 2 ，A n ，一方面有： 若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n A n =0，用 A n 左乘上式的两边得 kA n =0。由 A n 0 可知必有 k=0。类似地可得 k 1 =k 2 =k n =0。因此，A，A 2 ，A n 线性无关。但另一方面，这是 n+1 个
14、n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 A n+1 =0 时，必有 A n =0，即（2）的解必是（1）的解。因此命题正确。 所以应选 A。7.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A 一 2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 A=一 3 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 一 A D.A 2 +2A 一 3解析：解析：因为 A 3 +2A 2 一 3A=0。故（A+3E）（A 2 一 A）=0=0（A 2 一 A）。 因为 ，A，A 2 线性无关，必有 A 2 一 A0，所以 A 2 一 A 是矩阵 A+3E 属
15、于特征值 =0的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量。所以应选 C。8.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P 1 AP； A T ； （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由 A=，0，有 A 2 =A（）=A= 2 ，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量。 又 知 必是矩阵 E 一 属于特征值 1 一 9.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=（ 1 ，2 3 ， 2 ），则 P 1 AP=（
16、 ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 A 2 =3 2 ，有 A（一 2 ）=3（一 2 ），即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量时，一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值=一 2 的特征向量。 当 P 1 AP= 时，P 由 A 的特征向量构成， 由 A 的特征值构成，且 P 与 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，一 2，故对角矩阵 应当由 1，3，一 2 构成，因此排除选项 B、C。由于 2 3 是属于 =一 2 的特征向量，所以一 2 在对角矩阵 中应当是第二列，所以应选A。10.二次
17、型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是（ ）（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 B.y 1 2 6y 2 2 +2y 3 2C.y 1 2 一 y 2 2D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2解析：解析：用配方法，有 f=x 1 2 一 4x 1 x 2 +4x 2 2 +x 2 2 +2x 2 x 3 +x 3 2 =（x 1 一 2x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 ， 可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。11.下列条件不能保证 n
18、阶实对称阵 A 正定的是（ ）（分数：2.00）A.A 1 正定B.A 没有负的特征值 C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位矩阵解析：解析：A 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 C T A 1 C=E，两边求逆得到 C 1 A（C T ） 1 =C 1 A（C 1 ） T =E， 即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义，也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.已
19、知三阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：结合行列式的性质：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即13.已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=0，且 0|A|5，则|A+2E|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 x i （x i 0，i=1，2，3），则 Ax i =x i 。 由 A 2 一 A 一 2E=0 可知，特征向量 x i 满足（A 2 一 A 一 2E）x i =0，从而有 i 2 一 i 一 2=0，解得 i =一
20、 1 或 i =2 0 再根据|A|= 1 2 3 及 0|A|5 可得， 1 = 2 =一 1， 3 =2。 由 Ax i =x i 可得（A+2E）x i =（ i +2）x i ，即 A+2E 的特征值 i （i=1，2，3）满足 i = i +2，所以 1 = 2 =1， 3 =4，故|A+2E|=114=4。14.设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =（ 1 ， 2 ， 3 ） T ，=（b 1 ，b 2 ，b 3 ） T ，则 而 T =（ 1 ， 2 ， 3 ） 15.设 （分数：
21、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * =|A|A 1 可得（A * ） 1 = 16.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB+2A=A（B+2E），且 是可逆矩阵，所以 r（AB+2A）=r（A）。 对 A 作初等行变换，则17.已知向量组 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：对向量组构成的矩阵作初等行交换18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 （1，2，一 1） T +k 2 （1，0，1） T ，k 1 ，k 2 是任意常
22、数）解析：解析：|A|=0，且 r（A）=2，所以 r（A * ）=1，则由 nr（A * ）=2 可知，A * x=O 的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k 1 1 +k 2 2 。又因为 A * A=|A|E=O，所以矩阵 A 的列 向量是 A * x=0 的解，故通解是 k 1 （1，2，一 1） T +k 2 （1，0，1） T ，k 1 ，k 2 是任意常数。19.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：A 的特征多项式为20.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E 一 xx T 的秩为 1。（分数：2.
23、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵 xx T 的特征值为 0，0，1，故 E 一 xx T 的特征值为 1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r（Exx T ）=2。21.设 =（1，0，1） T ，A= T ，若 B=（kE+A） * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0 或 k一 2）解析：解析：矩阵 A= T 的秩为 1，且 tr（A）= T =2，故矩阵 A 的特征值是 2，0，0，从而矩阵kE+A 的特征值是 k+2，k，k。矩阵 B=（k
24、E+A） * =|kE+A|（kE+A） 1 的特征值是 k 2 ，k（k+2），k（k+2）。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k 2 0 且 k（k+2）0，解得 k0 或 k一2。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 X。 （）记P=（x，Ax，A 2 x）。求三阶矩阵 B，使 A=PBP 1 ； （）计算行列式|A+E|。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）令等式
25、 A=PBP 1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即 A（x，Ax，A 2 x）=（Ax，A 2 x，A 2 x）=（Ax，A 2 x，3Ax 一 2A 2 x） 所以 （）由（）知 AB，那么A+EB+E，从而 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换，即 )解析：25.已知 m 个向量 1 ， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关，证明： （）如果等式k 1 1 +k m m =0 成立，则系数后 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零； （）如果等式k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都
26、成立，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）假设存在某个 k i =0，则由 k 1 ， 1 +k m m =0 可得 k 1 1 +k i1 i1 一 1+k i+1 i+1 +k m m =0。 （1）因为任意 m 一 1 个向量都线性无关，所以必有 k 1 =k i1 =k i+1 =k m =0，即系数 k 1 ，k m 全为零。 所以系数 k 1 ，k m 或者全为零，或者全不为零。 （）由（）可知，当 l 1 0 时，系数 l 1 ，l m 全不为零，所以 将其代入（1）式得 又因为任意 m 一 1 个向量都线性无关，所以 k 1 +k 2 = k 1 +k m =0，
27、即 )解析：26.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， nr+1 ，是它的 n 一 r+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr+1 nr+1 ，其中 k 1 +k nr+1 =1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1 ， 2 ， nr+1 线性无关且均为Ax=b 的解。 取 1 = 2 一 1 ， 2 = 3 一 1 ， nr = nr 一 1 ，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程 Ax=0 的解。 下面用反证法证： 设 1 ， 2 ， nr 线性相关，则存在不全为零的数 l 1
28、 ，l 2 ，l nr ，使得 l 1 1 +l 2 2 +l nr nr =0， 即 l 1 （ 2 一 1 ）+l 2 （ 3 一 1 ）+l nr （ nr+1 一 1 ）=0， 也即 一（l 1 +l 2 +l nr ） 1 +l 1 2 +l 2 3 +l nr nr+1 =0。 由 1 ， 2 ， nr+1 线性无关知 一（l 1 +l 2 +l nr ）=l 1 =l 2 =l nr =0， 这与 l 1 ，l 2 ，l nr 不全为零矛盾，故假设不成立。因此 1 ， 2 ， nr 线性无关，是 Ax=0 的基础解系。 由于 x， 1 均为 Ax=b 的解，所以 x 一 1 为
29、Ax=0 的解，因此 x 一 1 可由 1 ， 2 ， nr ，线性表示，设 x 一 1 =k 2 1 +k 3 2 +k nr+1 nr =k 2 （ 2 一 1 ）+k 3 （ 3 一 1 ）+k nr+1 （ nr+1 一 1 ）， 则 x= 1 （1 一 k 2 一 k 3 一一 k nr+1 ）+k 2 2 +k 3 3 +k nr+1 nr+1 ， 令 k 1 =1 一 k 2 一 k 3 一一 k nr+1 ，则 k 1 +k 2 +k 3 +k nr+1 =1，从而 x=k 1 1 +k 2 2 +k nr+1 nr+1 恒成立。)解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：
30、(正确答案： （）对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 要使原线性方程组有无穷多解，则有 1 一 a 4 =0 且一 a 一 a 2 =0，即 a=一 1。 当 a=一 1 时， )解析：28.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i （i=1，2，s）是 1 ， 2 ， s 的线性
31、组合，且 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知 i （i=1，2，s）均为Ax=0 的解。 从 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的基础解系知 s=n 一 r（A）。 以下分析 1 ， 2 ， s 线性无关的条件： 设 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，即 （t 1 k 1 +t 2 k s ） 1 +（t 2 k 1 +t 1 k 2 ） 2 +（t 2 k 2 +t 1 k 3 ） 3 +（t 2 k s1 +t 1 k s ） s =0， 由于 1 ， 2 ， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 )解析：29.设矩阵 （分数：2.00
32、）_正确答案：(正确答案：A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=一 4，=y 是 A 的特征值。因为 A=一 4 是 A 的特征值，所以 解得 x=4。 又因为相似矩阵的行列式相同， 所以 y=5。 当 =5 时，解方程（A 一 5E）x=0，得两个线性无关的特征向量 将它们正交化、单位化得： 当 =一 4 时，解方程（A+4E）x=0，得特征向量 单位化得： )解析：30.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由 即特征值 1 =一 1， 2 =1 对应的特征向量为 又由r（A）=23 可知，A 有一个特征值为 0。设 3 =0
33、对应的特征向量为 与 两两正交，于是得 是特征值 0 对应的特征向量。 因此 k 1 1 ，k 2 2 ，k 3 是依次对应于特征值一1，1，0 的特征向量，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意非零常数。 （）令 )解析：31.证明：二次型 f（x）=x T Ax 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QAQ 1 =diag（ 1 ， 2 ， n ）=A， 其中 1 ， 2 ， n 为 A 的特征值，不妨设 A。最大。 作正交变换 y=Qx，即 x=Q 1 y=Q T y，则 f=x T Ax=y T QAQ T y=y T y= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 2 y n 2 ， 因为y=Qx，所以当|x|=1 时，有 |x| 2 =x T x=y T QQ T y=|y| 2 =1， 即 y 1 2 +y 2 2 +y n 2 =1。 因此 f= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 2 y n 2 1 （y 1 2 +y 2 2 +y n 2 ）= 1 。 又当 y 1 =1，y 2 =y 3 =y 3 =0 时，f= 1 ，所以 f max = 1 。)解析：
