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    【考研类试卷】考研数学三(线性代数)模拟试卷107及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三(线性代数)模拟试卷107及答案解析.doc

    1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 107 及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A=E 一 2 T ,其中 =(x 1 ,x 2 ,x n ) T ,且有 T =1。则 A 是对称矩阵; A 2 是单位矩阵; A 是正交矩阵; 是可逆矩阵。 上述结论中,正确的个数是( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.43.设 A 为正交矩阵,则下列矩阵中不属于正交矩阵的是( )(分数:2.00)A.A TB.A 2C.A *D.2A4.若 1 , 2 线性

    2、无关, 是另外一个向量,则 1 + 与 2 +( )(分数:2.00)A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定5.设 (分数:2.00)A.1B.一 2C.1 或一 2D.一 16.设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组(1)A n x=0 和(2)A n+1 x=0,现有四个命题: (1)的解必是(2)的解; (2)的解必是(1)的解; (1)的解不是(2)的解; (2)的解不是(1)的解。 以上命题中正确的是( )(分数:2.00)A.B.C.D.7.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ,若向量组 ,A,A 2 线性无关,而 A 3 =3A 一 2A 2 ,那么矩阵

    3、A 属于特征值 A=一 3 的特征向量是( )(分数:2.00)A.B.A+2C.A 2 一 AD.A 2 +2A 一 38.设 A 是 n 阶矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量,那么在下列矩阵中 A 2 ; P 1 AP; A T ; (分数:2.00)A.1B.2C.3D.49.设 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,一 2,相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ,若 P=( 1 ,2 3 , 2 ),则 P 1 AP=( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +

    4、x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )(分数:2.00)A.y 1 2 +4y 2 2B.y 1 2 6y 2 2 +2y 3 2C.y 1 2 一 y 2 2D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 211.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )(分数:2.00)A.A 1 正定B.A 没有负的特征值C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位矩阵二、填空题(总题数:10,分数:20.00)12.已知三阶行列式 (分数:2.00)填空项 1:_13.已知 A 为三阶方阵,A 2 一 A 一 2E=0,且 0|A|5,则|A+2E|= 1。(

    5、分数:2.00)填空项 1:_14.设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T = (分数:2.00)填空项 1:_15.设 (分数:2.00)填空项 1:_16.已知 (分数:2.00)填空项 1:_17.已知向量组 1 = (分数:2.00)填空项 1:_18.设 (分数:2.00)填空项 1:_19.已知矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_20.设 x 为三维单位列向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵 E 一 xx T 的秩为 1。(分数:2.00)填空项 1:_21.设 =(1,0,1) T ,A= T ,若 B=(kE+A) * 是正定矩阵,则 k 的取值范围是 1。(分数

    6、:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_23.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x,使得 x,Ax,A 2 x 线性无关,且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 X。 ()记P=(x,Ax,A 2 x)。求三阶矩阵 B,使 A=PBP 1 ; ()计算行列式|A+E|。(分数:2.00)_24.设 (分数:2.00)_25.已知 m 个向量 1 , m 线性相关,但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关,证明: ()如果等式k 1 1 +k m m =0 成立,则系数后 k 1 ,k m 或者全

    7、为零,或者全不为零; ()如果等式k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都成立,则 (分数:2.00)_26.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r, 1 , nr+1 ,是它的 n 一 r+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr+1 nr+1 ,其中 k 1 +k nr+1 =1。(分数:2.00)_27.设 (分数:2.00)_28.设 1 , 2 , s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系, 1 =t 1 1 +t 2 2 , 2 =t 1 2 +t 2 3 , s =t 1 s +t 2 1 ,其中 t

    8、1 ,t 2 为实常数。试问 t 1 ,t 2 满足什么条件时, 1 , 2 , s 也为 Ax=0 的一个基础解系。(分数:2.00)_29.设矩阵 (分数:2.00)_30.A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (分数:2.00)_31.证明:二次型 f(x)=x T Ax 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。(分数:2.00)_考研数学三(线性代数)模拟试卷 107 答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:11,分数:22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A=E 一 2

    9、T ,其中 =(x 1 ,x 2 ,x n ) T ,且有 T =1。则 A 是对称矩阵; A 2 是单位矩阵; A 是正交矩阵; 是可逆矩阵。 上述结论中,正确的个数是( )(分数:2.00)A.1B.2C.3D.4 解析:解析:A T =(E 一 2 T ) T =E T 一(2 T ) T =E 一 2 T =A,成立。 A 2 =(E一 2 T )(E 一 2 T )=E 一 T +4 T T =E 一 4 T +4( T ) T =E,成立。 由、,得 A 2 =AA T =E,故 A 是正交矩阵,成立。 由知正交矩阵是可逆矩阵,且A 1 =A T ,成立。故应选 D。3.设 A 为

    10、正交矩阵,则下列矩阵中不属于正交矩阵的是( )(分数:2.00)A.A TB.A 2C.A *D.2A 解析:解析:因 A 为正交矩阵,所以 AA T =A T A=E,且|A| 2 =1。而(2A)(2A) T =4AA T =4E,故 2A不为正交矩阵。所以选 D。 事实上,由 A T (A T ) T =A T A=E,(A T ) T A T =AA T =E,可知 A T 为正交矩阵。 由 A 2 (A 2 ) T =A(AA T )A T =AA T =E,(A 2 ) T A 2 =A T (A T A)A=A T A=E,可知 A 2 为正交矩阵。 由 A * =|A|A 1

    11、=|A|A T ,可得 A * (A * ) T =|A|A T (|A|A)=|A| 2 A T A=|A| 2 E=E, (A * ) T A * =(|A|A)|A|A T =|A| 2 AA T =|A| 2 E=E,故 A * 为正交矩阵。4.若 1 , 2 线性无关, 是另外一个向量,则 1 + 与 2 +( )(分数:2.00)A.线性无关B.线性相关C.既线性相关又线性无关D.不确定 解析:解析:例如,令 1 =(1,1), 2 =(0,2),=(一 1,一 1),则 1 , 2 线性无关,而 1 +=(0,0)与 2 +=(一 1,1)线性相关。如果设 =(0,0),那么 1

    12、 + 与 2 + 却是线性无关的。故选 D。5.设 (分数:2.00)A.1B.一 2 C.1 或一 2D.一 1解析:解析:由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出,所以 是 Ax=0 的基础解系,即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量,因此 r(A)=2。由方程组 Ax=0 有非零解可得,|A|=(a1) 2 (a+2)=0,即a=1 或一 2。当 a=1 时,r(A)=1,舍去;当 a=一 2 时,r(A)=2。所以选 B。6.设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组(1)A n x=0 和(2)A n+1 x=0,现有四个命题: (1)的解必是(2)的解; (2)的解必是(1)的

    13、解; (1)的解不是(2)的解; (2)的解不是(1)的解。 以上命题中正确的是( )(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:若 A n =0,则 A n+1 =A(A n )=A0=0,即若 是(1)的解,则 必是(2)的解,可见命题正确。 如果 A n+1 =0,而 A n 0,那么对于向量组 ,A,A 2 ,A n ,一方面有: 若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n A n =0,用 A n 左乘上式的两边得 kA n =0。由 A n 0 可知必有 k=0。类似地可得 k 1 =k 2 =k n =0。因此,A,A 2 ,A n 线性无关。但另一方面,这是 n+1 个

    14、n 维向量,它们必然线性相关,两者矛盾。故 A n+1 =0 时,必有 A n =0,即(2)的解必是(1)的解。因此命题正确。 所以应选 A。7.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ,若向量组 ,A,A 2 线性无关,而 A 3 =3A 一 2A 2 ,那么矩阵 A 属于特征值 A=一 3 的特征向量是( )(分数:2.00)A.B.A+2C.A 2 一 A D.A 2 +2A 一 3解析:解析:因为 A 3 +2A 2 一 3A=0。故(A+3E)(A 2 一 A)=0=0(A 2 一 A)。 因为 ,A,A 2 线性无关,必有 A 2 一 A0,所以 A 2 一 A 是矩阵 A+3E 属

    15、于特征值 =0的特征向量,即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量。所以应选 C。8.设 A 是 n 阶矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量,那么在下列矩阵中 A 2 ; P 1 AP; A T ; (分数:2.00)A.1B.2 C.3D.4解析:解析:由 A=,0,有 A 2 =A()=A= 2 ,即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量。 又 知 必是矩阵 E 一 属于特征值 1 一 9.设 A 是三阶矩阵,其特征值是 1,3,一 2,相应的特征向量依次是 1 , 2 , 3 ,若 P=( 1 ,2 3 , 2 ),则 P 1 AP=(

    16、 ) (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:由 A 2 =3 2 ,有 A(一 2 )=3(一 2 ),即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3的特征向量时,一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理,2 3 仍是矩阵 A 属于特征值=一 2 的特征向量。 当 P 1 AP= 时,P 由 A 的特征向量构成, 由 A 的特征值构成,且 P 与 的位置是对应一致的,已知矩阵 A 的特征值是 1,3,一 2,故对角矩阵 应当由 1,3,一 2 构成,因此排除选项 B、C。由于 2 3 是属于 =一 2 的特征向量,所以一 2 在对角矩阵 中应当是第二列,所以应选A。10.二次

    17、型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是( )(分数:2.00)A.y 1 2 +4y 2 2 B.y 1 2 6y 2 2 +2y 3 2C.y 1 2 一 y 2 2D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2解析:解析:用配方法,有 f=x 1 2 一 4x 1 x 2 +4x 2 2 +x 2 2 +2x 2 x 3 +x 3 2 =(x 1 一 2x 2 ) 2 +(x 2 +x 3 ) 2 , 可见二次型的正惯性指数 p=2,负惯性指数 q=0。所以选 A。11.下列条件不能保证 n

    18、阶实对称阵 A 正定的是( )(分数:2.00)A.A 1 正定B.A 没有负的特征值 C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位矩阵解析:解析:A 1 正定表明存在可逆矩阵 C,使 C T A 1 C=E,两边求逆得到 C 1 A(C T ) 1 =C 1 A(C 1 ) T =E, 即 A 合同于 E,A 正定,因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义,也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n,故 A 是正定阵。由排除法,故选 B。 事实上,一个矩阵没有负的特征值,但可能有零特征值,而正定阵的特征值必须全是正数。二、填空题(总题数:10,分数:20.00)12.已

    19、知三阶行列式 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:结合行列式的性质:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面,即13.已知 A 为三阶方阵,A 2 一 A 一 2E=0,且 0|A|5,则|A+2E|= 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 x i (x i 0,i=1,2,3),则 Ax i =x i 。 由 A 2 一 A 一 2E=0 可知,特征向量 x i 满足(A 2 一 A 一 2E)x i =0,从而有 i 2 一 i 一 2=0,解得 i =一

    20、 1 或 i =2 0 再根据|A|= 1 2 3 及 0|A|5 可得, 1 = 2 =一 1, 3 =2。 由 Ax i =x i 可得(A+2E)x i =( i +2)x i ,即 A+2E 的特征值 i (i=1,2,3)满足 i = i +2,所以 1 = 2 =1, 3 =4,故|A+2E|=114=4。14.设 , 均为三维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5)解析:解析:设 =( 1 , 2 , 3 ) T ,=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T ,则 而 T =( 1 , 2 , 3 ) 15.设 (分数:

    21、2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 A * =|A|A 1 可得(A * ) 1 = 16.已知 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为 AB+2A=A(B+2E),且 是可逆矩阵,所以 r(AB+2A)=r(A)。 对 A 作初等行变换,则17.已知向量组 1 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2)解析:解析:对向量组构成的矩阵作初等行交换18.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k 1 (1,2,一 1) T +k 2 (1,0,1) T ,k 1 ,k 2 是任意常

    22、数)解析:解析:|A|=0,且 r(A)=2,所以 r(A * )=1,则由 nr(A * )=2 可知,A * x=O 的基础解系含有两个线性无关的解向量,其通解形式为 k 1 1 +k 2 2 。又因为 A * A=|A|E=O,所以矩阵 A 的列 向量是 A * x=0 的解,故通解是 k 1 (1,2,一 1) T +k 2 (1,0,1) T ,k 1 ,k 2 是任意常数。19.已知矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 1)解析:解析:A 的特征多项式为20.设 x 为三维单位列向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵 E 一 xx T 的秩为 1。(分数:2.

    23、00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:由题设知,矩阵 xx T 的特征值为 0,0,1,故 E 一 xx T 的特征值为 1,1,0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的,故它的秩等于它非零特征值的个数,即 r(Exx T )=2。21.设 =(1,0,1) T ,A= T ,若 B=(kE+A) * 是正定矩阵,则 k 的取值范围是 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:k0 或 k一 2)解析:解析:矩阵 A= T 的秩为 1,且 tr(A)= T =2,故矩阵 A 的特征值是 2,0,0,从而矩阵kE+A 的特征值是 k+2,k,k。矩阵 B=(k

    24、E+A) * =|kE+A|(kE+A) 1 的特征值是 k 2 ,k(k+2),k(k+2)。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零,即 k 2 0 且 k(k+2)0,解得 k0 或 k一2。三、解答题(总题数:10,分数:20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:23.已知三阶矩阵 A 和三维向量 x,使得 x,Ax,A 2 x 线性无关,且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 X。 ()记P=(x,Ax,A 2 x)。求三阶矩阵 B,使 A=PBP 1 ; ()计算行列式|A+E|。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令等式

    25、 A=PBP 1 两边同时右乘矩阵 P,得 AP=PB,即 A(x,Ax,A 2 x)=(Ax,A 2 x,A 2 x)=(Ax,A 2 x,3Ax 一 2A 2 x) 所以 ()由()知 AB,那么A+EB+E,从而 )解析:24.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对 A 作初等变换,即 )解析:25.已知 m 个向量 1 , m 线性相关,但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关,证明: ()如果等式k 1 1 +k m m =0 成立,则系数后 k 1 ,k m 或者全为零,或者全不为零; ()如果等式k 1 1 +k m m =0 和等式 l 1 1 +l m m =0 都

    26、成立,则 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()假设存在某个 k i =0,则由 k 1 , 1 +k m m =0 可得 k 1 1 +k i1 i1 一 1+k i+1 i+1 +k m m =0。 (1)因为任意 m 一 1 个向量都线性无关,所以必有 k 1 =k i1 =k i+1 =k m =0,即系数 k 1 ,k m 全为零。 所以系数 k 1 ,k m 或者全为零,或者全不为零。 ()由()可知,当 l 1 0 时,系数 l 1 ,l m 全不为零,所以 将其代入(1)式得 又因为任意 m 一 1 个向量都线性无关,所以 k 1 +k 2 = k 1 +k m =0,

    27、即 )解析:26.设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r, 1 , nr+1 ,是它的 n 一 r+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k nr+1 nr+1 ,其中 k 1 +k nr+1 =1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 x 为 Ax=b 的任一解,由题设知 1 , 2 , nr+1 线性无关且均为Ax=b 的解。 取 1 = 2 一 1 , 2 = 3 一 1 , nr = nr 一 1 ,根据线性方程组解的结构,它们均为对应齐次方程 Ax=0 的解。 下面用反证法证: 设 1 , 2 , nr 线性相关,则存在不全为零的数 l 1

    28、 ,l 2 ,l nr ,使得 l 1 1 +l 2 2 +l nr nr =0, 即 l 1 ( 2 一 1 )+l 2 ( 3 一 1 )+l nr ( nr+1 一 1 )=0, 也即 一(l 1 +l 2 +l nr ) 1 +l 1 2 +l 2 3 +l nr nr+1 =0。 由 1 , 2 , nr+1 线性无关知 一(l 1 +l 2 +l nr )=l 1 =l 2 =l nr =0, 这与 l 1 ,l 2 ,l nr 不全为零矛盾,故假设不成立。因此 1 , 2 , nr 线性无关,是 Ax=0 的基础解系。 由于 x, 1 均为 Ax=b 的解,所以 x 一 1 为

    29、Ax=0 的解,因此 x 一 1 可由 1 , 2 , nr ,线性表示,设 x 一 1 =k 2 1 +k 3 2 +k nr+1 nr =k 2 ( 2 一 1 )+k 3 ( 3 一 1 )+k nr+1 ( nr+1 一 1 ), 则 x= 1 (1 一 k 2 一 k 3 一一 k nr+1 )+k 2 2 +k 3 3 +k nr+1 nr+1 , 令 k 1 =1 一 k 2 一 k 3 一一 k nr+1 ,则 k 1 +k 2 +k 3 +k nr+1 =1,从而 x=k 1 1 +k 2 2 +k nr+1 nr+1 恒成立。)解析:27.设 (分数:2.00)_正确答案:

    30、(正确答案: ()对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换,得 要使原线性方程组有无穷多解,则有 1 一 a 4 =0 且一 a 一 a 2 =0,即 a=一 1。 当 a=一 1 时, )解析:28.设 1 , 2 , s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系, 1 =t 1 1 +t 2 2 , 2 =t 1 2 +t 2 3 , s =t 1 s +t 2 1 ,其中 t 1 ,t 2 为实常数。试问 t 1 ,t 2 满足什么条件时, 1 , 2 , s 也为 Ax=0 的一个基础解系。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 i (i=1,2,s)是 1 , 2 , s 的线性

    31、组合,且 1 , 2 , s 是 Ax=0 的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知 i (i=1,2,s)均为Ax=0 的解。 从 1 , 2 , s 是 Ax=0 的基础解系知 s=n 一 r(A)。 以下分析 1 , 2 , s 线性无关的条件: 设 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0,即 (t 1 k 1 +t 2 k s ) 1 +(t 2 k 1 +t 1 k 2 ) 2 +(t 2 k 2 +t 1 k 3 ) 3 +(t 2 k s1 +t 1 k s ) s =0, 由于 1 , 2 , s 线性无关,所以 又因系数矩阵的行列式 )解析:29.设矩阵 (分数:2.00

    32、)_正确答案:(正确答案:A 与 相似,相似矩阵有相同的特征值,故 =5,=一 4,=y 是 A 的特征值。因为 A=一 4 是 A 的特征值,所以 解得 x=4。 又因为相似矩阵的行列式相同, 所以 y=5。 当 =5 时,解方程(A 一 5E)x=0,得两个线性无关的特征向量 将它们正交化、单位化得: 当 =一 4 时,解方程(A+4E)x=0,得特征向量 单位化得: )解析:30.A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由 即特征值 1 =一 1, 2 =1 对应的特征向量为 又由r(A)=23 可知,A 有一个特征值为 0。设 3 =0

    33、对应的特征向量为 与 两两正交,于是得 是特征值 0 对应的特征向量。 因此 k 1 1 ,k 2 2 ,k 3 是依次对应于特征值一1,1,0 的特征向量,其中 k 1 ,k 2 ,k 3 为任意非零常数。 ()令 )解析:31.证明:二次型 f(x)=x T Ax 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 为实对称矩阵,则存在正交矩阵 Q,使得 QAQ 1 =diag( 1 , 2 , n )=A, 其中 1 , 2 , n 为 A 的特征值,不妨设 A。最大。 作正交变换 y=Qx,即 x=Q 1 y=Q T y,则 f=x T Ax=y T QAQ T y=y T y= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 2 y n 2 , 因为y=Qx,所以当|x|=1 时,有 |x| 2 =x T x=y T QQ T y=|y| 2 =1, 即 y 1 2 +y 2 2 +y n 2 =1。 因此 f= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + 2 y n 2 1 (y 1 2 +y 2 2 +y n 2 )= 1 。 又当 y 1 =1,y 2 =y 3 =y 3 =0 时,f= 1 ,所以 f max = 1 。)解析:


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