1、考研数学三（线性代数）-试卷 8 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.设 （分数：2.00）填空项 1:_2.设 A，B 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0，则|B 一 1 +2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_3.设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|B 一 A|=一 4，则|E 一 AB T |= 1（分数：2.00）填空项 1:_4.设 A 为 n 阶矩阵，且|A=a0，则 I(kA) * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：14，分数：40.00
2、)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=0，其中 （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_(2).求矩阵 A（分数：2.00）_6.用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 2 一 4x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2
3、x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵)求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_(2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：2.00）_设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：2.00
4、）_(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同？（分数：2.00）_设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=0，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_(2).当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵？（分数：2.00）_7.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_8.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：|E+A|1（分数：2.00）_9.用配方法化下列二次型为标准形：f
5、(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_10.用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 8x 1 x 3 一 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ，求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_(
6、2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_设 为正定矩阵，令 P= （分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_(2).证明：D=BA 一 1 B T 为正定矩阵（分数：2.00）_11.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 8 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：4，分数：8.00)1.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 +A 32 +A 33 =A 31 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 35 2.设 A，B
7、 都是三阶矩阵，A 相似于 B，且|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0，则|B 一 1 +2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：60）解析：解析：因为|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B的特征值为 3.设 A 为三阶正交阵，且|A|0，|B 一 A|=一 4，则|E 一 AB T |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：|A|0 4.设 A 为 n 阶矩阵，且|A=a0，则 I(kA) * |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
8、正确答案：正确答案：k n(n 一 1) a n 一 1 ）解析：解析：因为(kA) * =k n 一 1 A * ，且|A * |=|A| n 一 1 ，所以|(kA) * |=|k n 一 1 |A * |=k n(n 一 1) |A| n 一 1 =k n(n 一 1) a n 一 1 二、解答题(总题数：14，分数：40.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=0，其中 （分数：4.00）(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形；（分数：2.00）_
9、正确答案：(正确答案：由 AB+B=0 得(E+A)B=0，从而 r(E+A)+r(B)3，因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =5 由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+A)X=0 的解， 故 1 = ， 2 = 为 1 = 2 =一 1 对应的线性无关解 令 3 = 为 3 =5 对应的特征向量， 因为 A T =A，所以 ，解得 3 = 令 1 = 2 = 2 一 ，正交化得 令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 f=X T AX )解析：(2
10、).求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Q T AQ= )解析：6.用正交变换法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 2 一 4x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX，其中 X= 由|E 一 A|= =(+3)( 一3) 2 =0 得 1 =一 3， 2 = 3 =3 由(一 3E 一 A)X=0 得 A 1 =一 3 对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(3E 一 A)X=0 得 2 = 3 =3 对应的
11、线性无关的特征向量为 2 = 3 = 将 2 ， 3 正交化得 2 = ， 3 = 3 一 ，单位化得 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX )解析：设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2（分数：4.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= )解析：(2).用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，由|E 一 A|=0 得 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2E 一 A)X=0 得 =2
12、 对应的线性无关的特征向量为 1 = 2 = 当 =0 时，由(0E 一 A)X=0 得 =0对应的线性无关的特征向量为 3 = 因为 1 ， 2 两两正交，单位化得 1 = 令 ，则 f=X T AX )解析：设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵)求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =A，所以|A|E 一 A|=0，即 A 的特征值为 0 或者 1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n 一 r 重)，则
13、二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 +y 2 2 +y r 2 )解析：(2).|E+A+A 2 +A n |的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r 重)，故|E+A+A 2 +A n |=|B|=(n+1) r )解析：设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(X)=(x 1 ，
14、x 2 ，x n ) 因为 r(A)=n，所以|A|0，于是 )解析：(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A 一 1 合同，故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )与 g(X)=X T AX 规范合同)解析：设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=0，r(A)=2（分数：4.00）(1).求 A 的全部特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A=0 得 r(A)+r(A+2E)=3，从而 A 的特征值为
15、 0 或一 2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1 =0， 2 = 3 =一 2)解析：(2).当 k 为何值时，A+kE 为正定矩阵？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+kE 的特征值为 k，k 一 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵)解析：7.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有 解得 )解析：8.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：
16、|E+A|1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 1 0， 2 0， n 0，因此A+E 的特征值为 1 +11， 2 +11， n +11，故|A+E|=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：9.用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2
17、 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 一 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 =(x 1 +x 2 一 x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2 一 10x 3 2 ， 且 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) )解析：10.用配方法化下列二次型为标准形：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，或 X=P 1 Y，其中 P 1 = 且 P 1 可逆， 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 ) 2y 1 2 一 2y 2 2 +8y 1 y 3 +4y 2 y 3 =2(y 1 +2y 3
18、 ) 2 一 2(y 2 一 y 3 ) 2 一 6y 3 2 ， 再令 ，或 Y=P 2 Z，其中 P 2 = 且 P 2 可逆， 令 P=P 1 P 2 = ，P 可逆，且 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX )解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 8x 1 x 3 一 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ，求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=
19、X T AX 矩阵 A 的特征值为 1 =5， 2 =b， 3 =一 4， 从而 )解析：(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 1 = 2 =5 代入(E 一 A)X=0，即(5E 一 A)X=0， 由 5E 一 A= 得 1 = 2 =5 对应的线性无关的特征向量为 1 = 将 3 =一 4 代入(E 一 A)X=0，即(4E+A)X=0， 由 4E+A= 得 3 =一 4 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 1 = 1 = ， 2 = 2 一 3 = 3 = 单位化得 1 = 所求的正交变换矩阵为 )解析：设 为正定矩阵，令 P= （分数：4.00）(
20、1).求 P T CP；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 为正定矩阵，所以 A T =A，D T =D，P T CP= )解析：(2).证明：D=BA 一 1 B T 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以 )解析：11.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 X T AX0，X T BX0，因此 X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵)解析：
