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    【考研类试卷】考研数学三(线性代数)-试卷8及答案解析.doc

    • 资源ID:1395355       资源大小:144KB        全文页数:6页
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    【考研类试卷】考研数学三(线性代数)-试卷8及答案解析.doc

    1、考研数学三(线性代数)-试卷 8 及答案解析(总分:48.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:4,分数:8.00)1.设 (分数:2.00)填空项 1:_2.设 A,B 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0,则|B 一 1 +2E|= 1(分数:2.00)填空项 1:_3.设 A 为三阶正交阵,且|A|0,|B 一 A|=一 4,则|E 一 AB T |= 1(分数:2.00)填空项 1:_4.设 A 为 n 阶矩阵,且|A=a0,则 I(kA) * |= 1(分数:2.00)填空项 1:_二、解答题(总题数:14,分数:40.00

    2、)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX,A 的主对角线上元素之和为 3,又 AB+B=0,其中 (分数:4.00)(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形;(分数:2.00)_(2).求矩阵 A(分数:2.00)_6.用正交变换法化二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 2 一 4x 2 x 3 为标准二次型(分数:2.00)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2

    3、x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2(分数:4.00)(1).求 a;(分数:2.00)_(2).用正交变换法化二次型为标准形(分数:2.00)_设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r,且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵)求:(分数:4.00)(1).二次型 X T AX 的标准形;(分数:2.00)_(2).|E+A+A 2 +A n |的值(分数:2.00)_设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵,f(x 1 ,x 2 ,x n )= (分数:4.00)(1).记 X=(x 1 ,x 2 ,x n ) T ,把二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )写成矩阵形式;(分数:2.00

    4、)_(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ,x 2 ,x n )合同?(分数:2.00)_设 A 是三阶实对称矩阵,且 A 2 +2A=0,r(A)=2(分数:4.00)(1).求 A 的全部特征值;(分数:2.00)_(2).当 k 为何值时,A+kE 为正定矩阵?(分数:2.00)_7.设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型,求 t 的范围(分数:2.00)_8.设 A 是 n 阶正定矩阵,证明:|E+A|1(分数:2.00)_9.用配方法化下列二次型为标准形:f

    5、(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (分数:2.00)_10.用配方法化下列二次型为标准形:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 (分数:2.00)_二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 8x 1 x 3 一 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ,求:(分数:4.00)(1).常数 a,b;(分数:2.00)_(

    6、2).正交变换的矩阵 Q(分数:2.00)_设 为正定矩阵,令 P= (分数:4.00)(1).求 P T CP;(分数:2.00)_(2).证明:D=BA 一 1 B T 为正定矩阵(分数:2.00)_11.设 A,B 为 n 阶正定矩阵证明:A+B 为正定矩阵(分数:2.00)_考研数学三(线性代数)-试卷 8 答案解析(总分:48.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:4,分数:8.00)1.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:A 31 +A 32 +A 33 =A 31 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 35 2.设 A,B

    7、 都是三阶矩阵,A 相似于 B,且|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0,则|B 一 1 +2E|= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:60)解析:解析:因为|E 一 A|=|E 一 2A|=|E 一 3A|=0,所以 A 的三个特征值为 ,1,又 AB,所以 B的特征值为 3.设 A 为三阶正交阵,且|A|0,|B 一 A|=一 4,则|E 一 AB T |= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 4)解析:解析:|A|0 4.设 A 为 n 阶矩阵,且|A=a0,则 I(kA) * |= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (

    8、正确答案:正确答案:k n(n 一 1) a n 一 1 )解析:解析:因为(kA) * =k n 一 1 A * ,且|A * |=|A| n 一 1 ,所以|(kA) * |=|k n 一 1 |A * |=k n(n 一 1) |A| n 一 1 =k n(n 一 1) a n 一 1 二、解答题(总题数:14,分数:40.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX,A 的主对角线上元素之和为 3,又 AB+B=0,其中 (分数:4.00)(1).求正交变换 X=QY 将二次型化为标准形;(分数:2.00)_

    9、正确答案:(正确答案:由 AB+B=0 得(E+A)B=0,从而 r(E+A)+r(B)3,因为 r(B)=2,所以 r(E+A)1,从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重,显然 =一 1 不可能为三重特征值,则 A 的特征值为 1 = 2 =一 1, 3 =5 由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+A)X=0 的解, 故 1 = , 2 = 为 1 = 2 =一 1 对应的线性无关解 令 3 = 为 3 =5 对应的特征向量, 因为 A T =A,所以 ,解得 3 = 令 1 = 2 = 2 一 ,正交化得 令 Q=( 1 , 2 , 3 ),则 f=X T AX )解析:(2

    10、).求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 Q T AQ= )解析:6.用正交变换法化二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 4x 1 x 2 一 4x 2 x 3 为标准二次型(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX,其中 X= 由|E 一 A|= =(+3)( 一3) 2 =0 得 1 =一 3, 2 = 3 =3 由(一 3E 一 A)X=0 得 A 1 =一 3 对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(3E 一 A)X=0 得 2 = 3 =3 对应的

    11、线性无关的特征向量为 2 = 3 = 将 2 , 3 正交化得 2 = , 3 = 3 一 ,单位化得 则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX )解析:设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2(分数:4.00)(1).求 a;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A= )解析:(2).用正交变换法化二次型为标准形(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A= ,由|E 一 A|=0 得 1 = 2 =2, 3 =0 当 =2 时,由(2E 一 A)X=0 得 =2

    12、 对应的线性无关的特征向量为 1 = 2 = 当 =0 时,由(0E 一 A)X=0 得 =0对应的线性无关的特征向量为 3 = 因为 1 , 2 两两正交,单位化得 1 = 令 ,则 f=X T AX )解析:设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r,且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵)求:(分数:4.00)(1).二次型 X T AX 的标准形;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 2 =A,所以|A|E 一 A|=0,即 A 的特征值为 0 或者 1, 因为 A 为实对称矩阵,所以 A 可对角化,由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重),=0(n 一 r 重),则

    13、二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 +y 2 2 +y r 2 )解析:(2).|E+A+A 2 +A n |的值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 B=E+A+A 2 +A n ,则 B 的特征值为 =n+1(r 重),=1(n 一 r 重),故|E+A+A 2 +A n |=|B|=(n+1) r )解析:设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵,f(x 1 ,x 2 ,x n )= (分数:4.00)(1).记 X=(x 1 ,x 2 ,x n ) T ,把二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )写成矩阵形式;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(X)=(x 1 ,

    14、x 2 ,x n ) 因为 r(A)=n,所以|A|0,于是 )解析:(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ,x 2 ,x n )合同?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 可逆,所以 A 的 n 个特征值都不是零,而 A 与 A 一 1 合同,故二次型 f(x 1 ,x 2 ,x n )与 g(X)=X T AX 规范合同)解析:设 A 是三阶实对称矩阵,且 A 2 +2A=0,r(A)=2(分数:4.00)(1).求 A 的全部特征值;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 +2A=0 得 r(A)+r(A+2E)=3,从而 A 的特征值为

    15、 0 或一 2,因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2,所以 1 =0, 2 = 3 =一 2)解析:(2).当 k 为何值时,A+kE 为正定矩阵?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A+kE 的特征值为 k,k 一 2,k 一 2,当 k2 时,A+kE 为正定矩阵)解析:7.设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型,求 t 的范围(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二次型的矩阵为 A= ,因为该二次型为正定二次型,所以有 解得 )解析:8.设 A 是 n 阶正定矩阵,证明:

    16、|E+A|1(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A 是正定矩阵,所以 A 的特征值 1 0, 2 0, n 0,因此A+E 的特征值为 1 +11, 2 +11, n +11,故|A+E|=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析:9.用配方法化下列二次型为标准形:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 A= ,则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX, f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +2x 2 2

    17、 一 5x 3 2 +2x 1 x 2 一 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 =(x 1 +x 2 一 x 3 ) 2 +(x 2 +2x 3 ) 2 一 10x 3 2 , 且 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) )解析:10.用配方法化下列二次型为标准形:f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ,或 X=P 1 Y,其中 P 1 = 且 P 1 可逆, 则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 2y 1 2 一 2y 2 2 +8y 1 y 3 +4y 2 y 3 =2(y 1 +2y 3

    18、 ) 2 一 2(y 2 一 y 3 ) 2 一 6y 3 2 , 再令 ,或 Y=P 2 Z,其中 P 2 = 且 P 2 可逆, 令 P=P 1 P 2 = ,P 可逆,且 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX )解析:二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 一 8x 1 x 3 一 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ,求:(分数:4.00)(1).常数 a,b;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 A= ,则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=

    19、X T AX 矩阵 A 的特征值为 1 =5, 2 =b, 3 =一 4, 从而 )解析:(2).正交变换的矩阵 Q(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 1 = 2 =5 代入(E 一 A)X=0,即(5E 一 A)X=0, 由 5E 一 A= 得 1 = 2 =5 对应的线性无关的特征向量为 1 = 将 3 =一 4 代入(E 一 A)X=0,即(4E+A)X=0, 由 4E+A= 得 3 =一 4 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 1 = 1 = , 2 = 2 一 3 = 3 = 单位化得 1 = 所求的正交变换矩阵为 )解析:设 为正定矩阵,令 P= (分数:4.00)(

    20、1).求 P T CP;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 为正定矩阵,所以 A T =A,D T =D,P T CP= )解析:(2).证明:D=BA 一 1 B T 为正定矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 C 与 合同,且 C 为正定矩阵,所以 )解析:11.设 A,B 为 n 阶正定矩阵证明:A+B 为正定矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A,B 正定,所以 A T =A,B T =B,从而(A+B) T =A+B,即 A+B 为对称矩阵对任意的 X0,X T (A+B)X=X T AX+X T BX,因为 A,B 为正定矩阵,所以 X T AX0,X T BX0,因此 X T (A+B)X0,于是 A+B 为正定矩阵)解析:


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