1、考研数学三（线性代数）-试卷 6 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.n 维向量组 1 ， 2 ， m (3mn)线性无关的充分必要条件是 【 】（分数：2.00）A.存在不全为 0 的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 2 +k 2 2 +k m m 0B. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， m 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出D. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出3.设
2、4 阶方阵 A 的行列式A=0，则 A 中 【 】（分数：2.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式AB0B.当 mn 时，必有行列式AB=0C.当 nm 时，必有行列式AB0D.当 nm 时，必有行列式AB=05.设 n 维列向量组 1 ， m (mn)线性无关，则，z 维列向量组 1 ， m 线性无关的充分必要条件为 【 】（分数：2.00）A.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示
3、B.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示C.向量组 1 ， m 与向量组 1 ， m 等价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价6.设 1 ， 2 ， m 均为 n 维向量，则 【 】（分数：2.00）A.若 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0，则 1 ， 2 ， m 线性相关B.若对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则 1 ， 2 ， m 线性无关C.若 1 ， 2 ， m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 1 +k m m =
4、0D.若 0 1 +0 2 +0 m =0，则 1 ， 2 ， m 线性无关7.设有向量组 1 =(1，一 1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，一2，2，0)， 5 =(2，一 1，5，10)则该向量组的极大无关组是 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 2 ， 4 ， 58.设矩阵 A 的秩为 R(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化
5、为(I m O)的形式D.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多组解9.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关； 1 ， 2 ， 4 线性相关，则 【 】（分数：2.00）A. 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示B. 2 必不可由 1 ， 3 ， 4 线性表示C. 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示D. 1 必不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示10.设 A、B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有 【 】（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关
6、D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关11.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， r ，线性表示，则 【 】（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.D n = （分数：2.00）填空项 1:_16.D n = （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数
7、：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_20.方程 （分数：2.00）填空项 1:_21.方程 （分数：2.00）填空项 1:_22.方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：22.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设矩阵 A=I 一 aa T ，其中 I 是 n 阶单位矩阵a 是 n 维非零列向量，证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充要条件是 a T a=1；（分数：2.00）_(2).当 a T a=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_设 A 是
8、 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行与第 j 行对换后所得的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_(2).求 AB -1 （分数：2.00）_设 n 阶方阵 A、B 满足 A+B=AB（分数：4.00）(1).证明：A 一 E 为可逆矩阵；（分数：2.00）_(2).当 （分数：2.00）_24.设矩阵 （分数：2.00）_25.设 3 阶方阵 A 的逆阵为 （分数：2.00）_26.已知 3 阶方阵 A=(a ij ) 33 的第 1 行元素为：A 11 =1，a 12 =2，a 13 =一 1其中 A * 为 A 的伴随矩阵求矩阵 A（分数：2.00）
9、_27.已知 3 阶方阵 A 的行列式A=2，方阵 （分数：2.00）_28.设矩阵 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 6 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.n 维向量组 1 ， 2 ， m (3mn)线性无关的充分必要条件是 【 】（分数：2.00）A.存在不全为 0 的数 k 1 ，k 2 ，k m ，使 k 1 2 +k 2 2 +k m m 0B. 1 ， 2 ， m 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， m 中
10、存在一个向量，它不能用其余向量线性表出D. 1 ， 2 ， m 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出 解析：3.设 4 阶方阵 A 的行列式A=0，则 A 中 【 】（分数：2.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合解析：4.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.当 mn 时，必有行列式AB0B.当 mn 时，必有行列式AB=0 C.当 nm 时，必有行列式AB0D.当 nm 时，必有行列式AB=0解析：解析：当 mn 时，有 r(AB)r(A)nm，故 m 阶
11、方阵 AB 为降秩方阵，即AB=0或解：当mn 时，方程组 BX=0 中的方程个数 n 小于未知量个数 m，故 BX=0 有非零解，从而方程组(AB)X=0 有非零解=AB=05.设 n 维列向量组 1 ， m (mn)线性无关，则，z 维列向量组 1 ， m 线性无关的充分必要条件为 【 】（分数：2.00）A.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示B.向量组 1 ， m 可由向量组 1 ， m 线性表示C.向量组 1 ， m 与向量组 1 ， m 等价D.矩阵 A= 1 m 与矩阵 B= 1 m 等价 解析：解析：当 A= 1 m 与 B= 1 m 等价时，A 与 B 有相同
12、的秩，由已知条件知 A 的秩为 m，故 B 的秩亦为 m，即 1 ， m 线性无关；若 1 ， m 线性无关，则矩阵 A 与 B有相同的秩 m，A 与 B 又都是 nm 矩阵，故 A 与 B 有相同的秩标准形(矩阵)P，于是 A 与 P 等价，B 也与P 等价，由等价的性质即知 A 与 B 等价综上可知(D)正确6.设 1 ， 2 ， m 均为 n 维向量，则 【 】（分数：2.00）A.若 k 1 1 +k 2 2 +k m m =0，则 1 ， 2 ， m 线性相关B.若对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，则 1 ， 2
13、， m 线性无关 C.若 1 ， 2 ， m 线性相关，则对任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k m ，都有 k 1 1 +k 2 1 +k m m =0D.若 0 1 +0 2 +0 m =0，则 1 ， 2 ， m 线性无关解析：7.设有向量组 1 =(1，一 1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，一2，2，0)， 5 =(2，一 1，5，10)则该向量组的极大无关组是 【 】（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 ， 2 ， 4 C. 1 ， 2 ， 5D. 1 ， 2 ， 4 ， 5解析：解析：由下列矩阵的初等行变换：
14、A= T 1 T 5 = 8.设矩阵 A 的秩为 R(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则 【 】（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化为(I m O)的形式D.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多组解 解析：解析：此时有 m=R(A)R(Ab)m，=R(A)=R(Ab)=mn，故方程组 AX=b 必有无穷多组解9.若向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关； 1 ， 2 ， 4 线性相关，则 【 】（分数：2.00）A. 1 必可由 2 ， 3 ， 4 线性表示B. 2 必不可由 1 ， 3 ， 4
15、 线性表示C. 4 必可由 1 ， 2 ， 3 线性表示 D. 1 必不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示解析：解析：由部分组与整体组线性相关性的关系知 1 ， 2 线性无关，而 1 ， 2 ， 4 ，线性相关，= 4 = 1 1 + 2 2 = 1 1 + 2 3 +0 3 ，即 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示10.设 A、B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有 【 】（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向
16、量组线性相关解析：解析：由 AB=O 知 B 的每一列都是齐次线性方程组 Ax=0 的解向量，又由 BO 知 B 至少有一列非零，故方程组 Ax=0 有非零解，因此 A 的列向量组线性相关同理由 B T A T =(AB) T =O 知 B T 的列向量组即 B 的行向量组线性相关11.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， r ，线性表示，则 【 】（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组()必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组()必线性相关 解析：解析：由条件知秩()秩()，而秩()s
17、，故秩()s，当 rs 时，有秩()sr，故()必线性相关二、填空题(总题数：11，分数：22.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：把行列式的各行都加到第 1 行，得13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(a 1 a 4 b 1 b 4 )(a 2 a 3 b 2 b 3 )）解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 x 2 一 y 2 一 z 2 ）解析：解析：将第 2 列的(一 x)倍、第 3 列的(一 y)倍、第 4 列的(一 z)倍都加到第 1 列，则化成了上三角行列式15
18、.D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!(2 一 n)）解析：解析：从第 j 列提出公因子 j，再将第 j 列的(一 1)倍加到第 1 列(j=2，3，n)，则化成了上三角行列式16.D n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a n +(一 1) n+1 b n ）解析：解析：按第 1 列展开17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 4 ）解析：解析：先把第 2，3，4 列都加到第 1 列并提出第 1 列的公因子 x，再将第 1 列的 1 倍、(一 1)倍、1 倍分别加至第 2，3，4 列，然后按第 4 行展
19、开18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 a+a 2 一 a 3 +a 4 一 a 5 ）解析：解析：先把第 2，3，4，5 行都加至第 1 行，再按第 1 行展开，得 D 5 =1 一 aD 4 ，一般地有 D n =1aD n-1 (n2)，并应用此递推公式19.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 28）解析：解析：可直接计算，亦可利用展开法则，得所求值等于行列式22*20.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，2，3）解析：解析：利用范德蒙行列式得 f(x)=(21)(31)(x 一 1)(32)
20、(x 一 2)(x 一 3)21.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t=6）解析：解析：注意行列式各行元素之和均等于 6 一 t，f(t)=(t 一 6)(t 2 +3)22.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0，x=1）解析：解析：f(x)=5x(x 一 1)三、解答题(总题数：9，分数：22.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设矩阵 A=I 一 aa T ，其中 I 是 n 阶单位矩阵a 是 n 维非零列向量，证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充要条件是 a T a=1；（分数：2.0
21、0）_正确答案：(正确答案：A 2 =A(I 一 AA T )(I 一 aa T )=I 一 aa T I 一 2AA T +a(a T a)a T =I 一AA T 一 aa T +(a T a)aa T =0(a T a 一 1)an T =0(注意 aa T 0)a T a=1)解析：(2).当 a T a=1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a T a=1 时，A 2 =A，若 A 可逆，则有 A -1 A 2 =A -1 A，即 A=I，=a T a=0，这与 a T a0，矛盾，故 A 不可逆)解析：设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行
22、与第 j 行对换后所得的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因A0，而B=一A0，故层可逆)解析：(2).求 AB -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 E ij 是 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后所得的初等方阵，则 B=E ij A，因而 AB -1 =A(E ij A) -1 =AA -1 E -1 ij =E ij )解析：设 n 阶方阵 A、B 满足 A+B=AB（分数：4.00）(1).证明：A 一 E 为可逆矩阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ABBA=0，=(AE)B 一(AE
23、)=E，=(AE)(B 一 E)=E，即知 AE 可逆)解析：(2).当 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=E+(B+E) -1 = )解析：24.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AE)X=A 2 一 E，且 AE 可逆=X-(AE) -1 (AE)(A+E)=A+E= )解析：25.设 3 阶方阵 A 的逆阵为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) -1 = )解析：26.已知 3 阶方阵 A=(a ij ) 33 的第 1 行元素为：A 11 =1，a 12 =2，a 13 =一 1其中 A * 为 A 的伴随矩阵求矩阵 A（分数：2.00
24、）_正确答案：(正确答案：由(A * ) T = 知 A 11 =一 7，A 12 =5，A 13 4，=A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =一 1，又由 AA * =AE=一 E，=A=一(A * ) -1 = )解析：27.已知 3 阶方阵 A 的行列式A=2，方阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B 可看作是由 A * 交换 1、3 两列得到的，故 B=A * )解析：28.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=1，(A * ) -1 = ，故题设方程即 ABA * =BA * +8A，两端右乘 A 并利用 A * A=AE=E，得 AB=B+8A 2 ，=(AE)B=8A 2 ，=B=8(AE) -1 =A 2 = )解析：
