1、考研数学三（线性代数）-试卷 4 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：56.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_2.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，一 1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)。（分数：4.00）(1).a、b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（分数：2.00）_(2).a、b 为何值时， 可表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?并写出该表示式。（
2、分数：2.00）_设 4 元齐次线性方程组()为 （分数：4.00）(1).求线性方程组()的基础解系；（分数：2.00）_(2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。（分数：2.00）_3.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b 12 ，b 1,2n )T，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ，b 12 ，b 1,2n ) T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_4.设 1 ， 2 ， m 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3
3、 ， m =t 1 m +t 2 1 ， 其中 t 1 ，t 2 为实常数， 试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， m 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_5.设矩阵 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A|B)。（分数：2.00）_6.设 （分数：2.00）_7.设 A 为 mn 矩阵。证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m。（分数：2.00）_8.设齐次线性方程组 A mn x=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n
4、=0 的解，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 。证明：向量 b=(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量组线性表出。（分数：2.00）_9.设矩阵 A=(a ij ) nn 的秩为 n，a ij 的代数余子式为 A ij (i，j=1，2，n)。记 A 的前 r 行组成的rn 矩阵为 B，证明：向量组 （分数：2.00）_10.设 A * 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵(n2)。 证明： （分数：2.00）_11. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_12.参数 p、t 各取何值时，方程组 有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。（分数：2.00）_已知
5、下列非齐次线性方程组()()： （分数：4.00）(1).求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：2.00）_(2).当()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解。（分数：2.00）_已知线性方程组 （分数：4.00）(1).a，b，c 满足何种关系时，方程组仅有零解?（分数：2.00）_(2).a，b，c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解。（分数：2.00）_13.设 1 ， 2 ， k (kn)是 R n 中 k 个线性无关的列向量。证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1 ， 2 ， k 为其前 k 列。（分数：2.00）_1
6、4.设有向量组()： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 。 试问：当 a 为何值时，向量组()与()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_15.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0 l 2 ：bx+2cy+3a=0 l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_16.设 mm 矩阵 A 的秩为 r，且
7、 rm，已知向量 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解。试证：方程组Ax=b 存在 n 一 r+1 个线性无关的解，而且这 n 一 r+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解。（分数：2.00）_17.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_18.已知(1，一 1，1，一 1) T 是线性方程组 （分数：2.00）_19.已知 3 阶矩阵 A 的第 1 行是(a，b，c)，矩阵 B= （分数：2.00）_已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：2.00）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解。（分数：2.00）_考研数学三
8、（线性代数）-试卷 4 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：56.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：2.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当且仅当 =1 时有解，通解为 x=(1，一 1，0) T +c(一 1，2，1) T 。)解析：已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，一 1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)。（分数：4.00）(1).a、b 为何值时， 不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?（
9、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=一 1 且 b0)解析：(2).a、b 为何值时， 可表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合?并写出该表示式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a一 1 时， 可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 唯一地线性表示为： )解析：设 4 元齐次线性方程组()为 （分数：4.00）(1).求线性方程组()的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(0，0，1，0) T ，(一 1，1，0，1) T)解析：(2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。（分数：2.00）_正确答案
10、：(正确答案：有非零公共解，所有非零公共解为 c(一 1，1，1，1) T (c 为任意非零常数)。将()的通解代入方程组()，有 )解析：3.已知线性方程组 的一个基础解系为：(b 11 ，b 12 ，b 1,2n )T，(b 21 ，b 22 ，b 2,2n ) T ，(b n1 ，b 12 ，b 1,2n ) T 。试写出线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记方程组()、()的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的挖个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量，因此，由()的已知基础解系可知 AB T =0 转置即得 BA T =0 因此可知 A T
11、的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量。由于 B 的秩为 n，故()的解空间的维数为 2n 一 n=n，所以()的任何 n 个线性无关的解就是()的一个基础解系。已知()的基础解系含 n 个向量，故 2n 一 r(A)=n，得 r(A)=n，于是 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此()的通解为 y=c 1 (a 11 ，a 12 ，a 1，2n ) T +c 2 (a 21 ，a 22 ，a 2，2n ) T +c n (a n1 ，a n2 ，a n，2n ) T ，(c 1 ，c 2 ，c n 为任意常数)解析：4
12、.设 1 ， 2 ， m 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， m =t 1 m +t 2 1 ， 其中 t 1 ，t 2 为实常数， 试问 t 1 ，t 2 满足什么关系时， 1 ， 2 ， m 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 Ax=0 的解的线性组合都是 Ax=0 的解，知 1 ， m 均为 Ax=0 的解。已知 Ax=0 的基础解系含 m 个向量，故 1 ， 2 ， m 也为 Ax=0 的基础解系 阶行列式 )解析：5.设矩阵 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程
13、AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A|B)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B、X 按列分块分别为 B=b 1 b 2 b p 。X=x 1 x 2 x p ，则 AX=B， Ax 1 Ax 2 Ax p =b 1 b 2 b p Ax j =b j (j=1，2，p)，故 AX=B 有解 Ax j =b j (j=1，2，p)有解，故由非齐次线性方程组 Ax j =b j 有解的充要条件可知，AX=B 有解 r(A)=r(A|b j )(j=1，2，p) )解析：6.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由下列矩阵的初等行变换： 于是若将矩阵 B 按列分块为
14、 B=b 1 b 2 b 3 ，则得方程组 Ax=b。的通解为：x 1 =(1+k，k，一 k) T ；方程组 Ax=b 2 的通解为：x 2 =(2+1，2+1，一 1) T ；方程组 Ax=b 3 的通解为：x 3 =(1+m，一 1+m，一 m) T ，所以，当 a=1，b=2，c=1 时有解，全部解为 )解析：7.设 A 为 mn 矩阵。证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性： 由必要性假定，对 i =(0，0，1，0，0) T (第 j 个分量为1，其余分量均为零)，方程组 A
15、x= j 有解 c j ，即 Ac j = j (j=1，2，m)，故有Ac 1 Ac 2 Ac m = 1 2 m =E m ，记矩阵 c=c 1 c 2 c m ，则有 Ac=E m ，故有 mr(E m )=r(Ac)r(A)m， r(A)=m； 充分性： 若 r(A)=m，则 A 的行向量组线性无关，故增广矩阵 )解析：8.设齐次线性方程组 A mn x=0 的解全是方程 b 1 x 1 +b 2 x 2 +b n x n =0 的解，其中 x=(x 1 ，x 2 ，x n ) T 。证明：向量 b=(b 1 ，b 2 ，b n )可由 A 的行向量组线性表出。（分数：2.00）_正确
16、答案：(正确答案：由条件知方程组 Ax=0 与方程组 ，因此 A 的极大无关行向量组也是 )解析：9.设矩阵 A=(a ij ) nn 的秩为 n，a ij 的代数余子式为 A ij (i，j=1，2，n)。记 A 的前 r 行组成的rn 矩阵为 B，证明：向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(B)=r， 方程组 Bx=0 的基础解系含 nr 个向量，故只要证明 1 ， 2 ， n-r ，是方程组 Bx=0 的线性无关解向量即可。首先，由行列式的性质，有 )解析：10.设 A * 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵(n2)。 证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 r
17、(A)=n 时，|A|0，|A * |=|A| n-1 0， r(A * )=n； 当 r(A)=n 一 1时，A 中非零子式的最高阶数为 n 一 1，做 A * 0， r(A * )1，又 A * A=|A|E=0，A 的每一列都是方程组 A * x=0 的解向量，故 A * x=0 至少有 r(A)=n1 个线性无关解，从而有 nr(A * )n 一 1 r(A * )1， 以上两方面说明 r(A * )=1；当 r(A)n 一 1 时，A 的每个 n 一 1 阶子式即每个元素的余子式都为零，故 A * =0 )解析：11. 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当
18、一 2 且 1 时有唯一解：当 =一 2 时无解；当 一 1 时有无穷多组解，通解为 x=(一 2，0，0) T +c 1 (一 1，1，0) T +c 2 (一 1，0，1) T 。)解析：12.参数 p、t 各取何值时，方程组 有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由增广矩阵的初等行变换： )解析：已知下列非齐次线性方程组()()： （分数：4.00）(1).求解方程组()，用其导出组的基础解系表示通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=(一 2，一 4，一 5，0) T +k(1，1，2，1) T ；)解析：(2).当
19、()中的参数 m，n，t 为何值时，方程组()与()同解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将()的通解 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=(一 2+k，一 4+k，一 5+2k，k) T 代入()的第 1 个方程，得一 2+k+m(一 4+k)一(一 5+2k)一 k=一 5，即(34m)+(m 一 2)k=一 5，由 k 的任意性得 m=2，将 x 代入()的第 2 个方程得 n=4，将 x 代入()的第 3 个方程得 t=6故当 m=2，n=4，t=6时，()的解都是()的解，此时，由()的增广矩阵的初等行变换： )解析：已知线性方程组 （分数：4.00）(1).a
20、，b，c 满足何种关系时，方程组仅有零解?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：系数行列式|A|=(b-a)(cn)(c 一 6)，故当 a，b，c 两两不相等时，方程组仅有零解。)解析：(2).a，b，c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=bc 时，全部解为 x=k 1 (1，一 1，0) T ；当 a=cb 时，全部解为 x=k 2 (1，0，一 1) T ；当 b=ca 时，全部解为 x 一 k 3 (0，1，一 1) T ；当 a=b=c 时，全部解为 x=k 4 (一1，1，0) T +k s (一 1，
21、0，1) T 。)解析：13.设 1 ， 2 ， k (kn)是 R n 中 k 个线性无关的列向量。证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1 ， 2 ， k 为其前 k 列。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取齐次线性方程组 的基础解系 1 ， n-k ，则可证明 1 ， k ， 1 ， n-k 线性无关：设 1 1 + k k + 1 1 + n-k n-k =0，两端左乘( 1 1 + k k )T，并利用 i T i =0(i=1，k；j=1，n 一 k)，得( 1 1 + k k ) T ( 1 1 + k k )=0，即| 1 1 + k k |=0， 1 1 +
22、k k =0，而 1 ， k 线性无关， 1 = k =0， 1 1 + n-k n-k =0，又 1 ， n-k 线性无关， )解析：14.设有向量组()： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 。 试问：当 a 为何值时，向量组()与()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于行列式| 1 ， 2 ， 3 |=a+1，故当 a一 1 时，方程组 x 1 1 +x 2 2
23、 +x 3 3 = i (1，2，3)均有解(且有唯一解)，即向量组()可由()线性表示；又因行列式| 1 2 3 |=60，同理可知向量组()可由()线性表示。所以，当 a一 1 时，向量组()与()等价。当 a=一 1 时，由于秩 1 ， 2 ， 3 秩 1 ， 2 ， 3 | 1 ，故方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 1 无解，即向量 1 不能由向量组()线性表示，所以此时向量组()与()不等价。)解析：15.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+2by+3c=0 l 2 ：bx+2cy+3a=0 l 3 ：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的
24、充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑由三直线方程联立所得线性方程组 )解析：16.设 mm 矩阵 A 的秩为 r，且 rm，已知向量 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解。试证：方程组Ax=b 存在 n 一 r+1 个线性无关的解，而且这 n 一 r+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由秩(A)=rn，知方程组 AX=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，设 Ax=0 的基础解系为： 1 ， 2 ， n-r ，则可证明： 向量 ， 1 +， n-r +，是满足题意的 n 一r+1 个向量。)解析：
25、17.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换： (1)当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，由此得基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， n-1 =(一 1，0，0，1) T ，于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k n-1 为任意常数。 (2)当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换：可知 )解析：18.已知(1，一 1，1，一 1) T 是线性方程组 （分数：2.00）_
26、正确答案：(正确答案：将解向量 x=(1，一 1，1，一 1) T 代入方程组，得 =，对方程组的增广矩阵施行初等行变换： )解析：19.已知 3 阶矩阵 A 的第 1 行是(a，b，c)，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB=0，知 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0 至少有 r(B)个线性无关解，所以 Ax=0 的基础解系至少含 r(B)个向量，即 3 一 r(A)r(B)，或 r(A)3 一 r(B)。又由a，b，c 不全为零，可知 r(A)1 当 k9 时，r(B)=2，有 1r(A)1，于是 r(A)=1； 当 k=0 时，r(B)=1
27、，有 1r(A)2，于是 r(A)=1 或 r(A)=2 当 k9 时。由 AB=0 可得 由于 1 =(1，2，3) T ， 2 =(3，6，k) T 线性无关，故 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=c 1 1 +c 2 2 ，其中 c 1 ，c 2 为任意常数当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和 R(A)=1 讨论如下：如果 r(A)=2，则 Ax=0的基础解系由一个向量构成，又因为 )解析：已知非齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 ， 2 ， 3 是 Ax=b 的 3 个线性无关解，则 1 - 2 ， 1 - 3 ，是 Ax=0 的两个线性无关解，故 Ax=0 的基础解系所含向量个数 4 一 r(A)2， r(A)2，又显然有 r(A)2， )解析：(2).求 a，b 的值及方程组的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=2，b=一 3，通解 x=(2，一 3，0，0) T +k 1 (一 2，1，1，0) T +k 2 (4，一5，0，1) T 。)解析：
