1、考研数学三（线性代数）-试卷 34 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4
2、可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 2 ， 1 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4B.3C.2D.14.设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 2 )5.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解；
3、 ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.n 维向量组 1 ， 2 ， 3 (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 07.设有两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，
4、() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k s s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 1 ， s s 线性相关B. 1 ， s 及 1 ， s 均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 1 ， s s 线性无关8.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A
5、. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1C. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 + 4 ， 4 1D. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 19.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关D.以上都不对10.已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s
6、 线性无关，则向量组 1 ， 2 ， s 可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A. i (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量D. i (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且 2E+A=0， 1 =1， 2 =1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB
7、= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则A+2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 1 =1，0，1，2 T ， 2 =2，1，2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，1，5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 3 维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 2 ， 2 k 3 ， 3 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设
8、 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设有矩阵 A mn ，B mn ，E m +AB 可逆 (1)验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) 1 =E n B(E m +AB) 1 A； (2)设 其中 （分数：2.00）_19.已知 1 =1，1，1 T
9、， 2 =1，t，1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_20.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s1 = s1 + s ， s = s + 1 讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_21.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_22.设向量组
10、()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与()等价（分数：2.00）_23.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_24.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_25. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_26.设四元齐次线性方程组()为 （分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明：AX=0 和BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_28.已知 1 =1，2，3，1 T ， 2 =5，5，a，11 T ， 3 =1
11、，3，6，3 T ， 4 =2，1，3，a T 问： (1)a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关； (2)a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关； (3)a 为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_29.已知 （分数：2.00）_30.设向量组 1 =a 11 ，a 21 ，a n1 T ， 2 =a 12 ，a 22 ，a n2 T ， s =a 1s ，a 2s ，a ns T 证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.00）_31.已知 1 ， 2
12、 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关（分数：2.00）_32.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 34 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量
13、，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：如果 1 ， 2 ， 3 线性无关，由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 个 3 维向量，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 4 必能由
14、 1 ， 2 ， 3 线性表出，可知是正确的 令 3.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 2 ， 1 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.1解析：解析：由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 2 )=A 1 A 2 =bb=0， A( 1 2 2 + 3 )=A 1 2A 2 +A 3 =b2b+b=0， 4.设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 2
15、) 解析：解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 ， 1 + 2 与 1 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 ， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k 1 可能不是通解如果 1 = 2 0，则 1 ， 2 是两个不同的解，但 1 + 2 =0，即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B)，(C)由于 1 2 ，必有 1 2 0可见(D)正确5.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的
16、解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 A n x=0 时，易知 A n+1 x=A(A n x)=0，故()的解必是()的解，也即正确，错误 当 A n+1 x=0 时，假设 A n x0，则有 x，Ax，A n x 均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，A n x 是线性无关的由于 x，Ax，A n x 均为 n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有 A n x=0可知()的解必是()的解，故正确，错误故选(B)6.n 维向量组 1 ， 2 ， 3 (3sn
17、)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0解析：解析：可用反证法证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由 1 ， 2 ， s1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性：假设 1 ， 2 ， s 线性相关至少存在一个
18、向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1 ， 2 ， s 线性无关(A)对任何向量组都有 0 1 +0 2 +0 s =0 的结论(B)必要但不充分，如 1 =0，1，0 T ， 2 =1，1，0 T ， 3 =1，0，0 T 任意两个向量线性无关，但 1 ， 2 ， 3 线性相关(D)必要但不充分，如上例 1 + 2 + 3 0，但 1 ， 2 ， 3 线性相关7.设有两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s
19、+ s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k s s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 1 ， s s 线性相关 B. 1 ， s 及 1 ， s 均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 1 ， s s 线性无关解析：解析：存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k 2 2 ) 2 +(k s s ) s =0， 整理得 k 1 ( 1 +
20、1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 1 )+ 2 ( 2 2 )+ s ( s s )=0，从而得 1 + 1 ， s + s ， 1 1 ， s s 线性相关8.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1B. 1 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1C. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 + 4 ， 4 1D. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 解析：解析：因(A) 1 + 2 ( 2 + 3 )+( 3 + 4
21、)( 4 + 1 )=0； (B)( 1 2 )+( 2 3 )+( 3 4 )+( 4 1 )=0； (C)( 1 + 2 )( 2 3 )( 3 + 4 )+( 4 1 )=0， 故均线性相关，而 1 + 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 1 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 C， 其中 9.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B
22、.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关 D.以上都不对解析：解析：只要对两种情况举出例子即可 取 线性无关，且显然不能相互线性表出，但 4 个3 维向量必定线性相关； 取10.已知 n 维向量的向量组 1 ， 2 ， s 线性无关，则向量组 1 ， 2 ， s 可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A. i (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量 D. i (i=1，2，s
23、)是 i (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量解析：解析：将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A)，(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D)增加向量分量也不改变线性无关性二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且 2E+A=0， 1 =1， 2 =1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由2E+A=A(2E)=0 知 =2 为 A 的一个特征值由 AB 知 A 和 B 有相同特征值，
24、因此 1 =1， 2 =1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1 =1， 2 =1， 3 =2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(1)=1，1+2(2)=3，从而 E+2B=3(1)(3)=9，A= 1 2 3 =2 故 A+2AB=A(E+2B)=A.E+2B=29=1812.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则A+2E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2.3 n）解析：解析：由于 T =3，可知 tr( T )=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n1 重)，3因
25、此，A+2E= T +3E 的特征值为 3(n1 重)，6，故 A+2E=3 n1 .6=2.3 n 13.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B 1 = ，B * =BB 1 ，且 B 1 =(A 1 DC 1 ) 1 =CD 1 A= ， 所以 14.设 1 =1，0，1，2 T ， 2 =2，1，2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，1，5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 ，= 15.已知
26、 3 维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 2 ， 2 k 3 ， 3 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 2 ， 2 k 3 ， 3 1 = 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 2 ， 2 k 3 ， 3 1 线性无关的充要条件是 16.设 n 维向量 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1
27、:_ （正确答案：正确答案：2l 1 l 2 +3l 3 =0）解析：解析：因 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 线性相关存在不全为零的 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 (l 1 + 1 )+k 2 (l 2 + 2 )+k 3 (l 3 + 3 )=0， 即 (k 1 l 1 +k 2 l 2 +k 3 l 3 )+k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 因 是任意向量， 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 2 +3 3 =0，故令 2l 1 l 2 +3l 3 =0 时上式成立故 l 1 ，l 2 ， l 3 应满足 2l 1 l 2 +3l 3 =0三、
28、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设有矩阵 A mn ，B mn ，E m +AB 可逆 (1)验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) 1 =E n B(E m +AB) 1 A； (2)设 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(E n +BA)(E n B(E m +AB) 1 A) =E n +BAB(E m +AB) 1 ABAB(E m +AB) 1 A =E n +BAB(E m +AB)(E m +AB) 1 A=E n ， 故(E n +BA) 1 =E n B
29、(E m +AB) 1 A 其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，y=y 1 ，y 2 ，y n T 因 1+Y T X=1+ =20，由(1)知 P=E+XY T 可逆，且 p 1 =(E+XY T ) 1 =EX(1+Y T X) 1 Y T =E XY T )解析：19.已知 1 =1，1，1 T ， 2 =1，t，1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得
30、由条件知 r(A)=r( )3，从而 t=4，此时，增广矩阵可化为 其通解为 )解析：20.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s1 = s1 + s ， s = s + 1 讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0，即 (x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s1 +x s ) s =0 因为 1 ， 2 ， s 线性无关，则 其系数行列式 )解析：21.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0
31、 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k+k 1 (+ 1 )+k t (+ t )=0，即 (k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， 等式两边左乘 A，得(k+k 1 +k t )A=0 )解析：22.设向量组()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与()等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r ，()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r 因为()可由()表示，即 1 ，
32、 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表示，于是 r( 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r )=r( 1 ， 2 ， r )=r 又 1 ， 2 ， r 线性无关，则 1 ， 2 ， r ，也可作为 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r 的一个极大无关组，于是 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 表示，即()也可由()表示，得证)解析：23.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，则方程组的解为 令 )解析：24.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=Ab= 线性方程组有解r(A)=r(B)+1=0=
33、1，其通解为 x=k )解析：25. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组改写为 则有 当 1 且 时，方程组有唯一解； 当 =1 时，方程组有无穷多解，且 通解为 x= ，k 为任意常数； 当 = )解析：26.设四元齐次线性方程组()为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)线性方程组()的解为 ，得所求基础解系 1 =0，0，1，0 T ， 2 =1，1，0，1 T (2)将方程组()的通解代入方程组()，得 )解析：27.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明：AX=0 和BX=0 有非零公共解
34、的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 由 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关，知存在 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0 令 =k 1 1 +k 2 2 +k t t ，则 0(否则 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 全为 0)，且 =l 1 1 l 2 2 l s s ， 即非零向量考既可由 1 ， 2 ， t 表示，也可由 1 ， 2 ， s 表示，所以 Ax=0 和 BX=0 有非零公共解 充分性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解
