1、考研数学三(线性代数)-试卷 34 及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.已知 1 , 2 , 3 , 4 为 3 维非零列向量,则下列结论: 如果 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关; 如果 1 , 2 , 3 线性相关, 2 , 3 , 4 线性相关,则 1 , 2 , 4 也线性相关; 如果 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 ),则 4
2、可以由 1 , 2 , 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )(分数:2.00)A.0B.1C.2D.33.设 1 , 2 , 3 均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1 2 , 1 2 2 + 3 , (分数:2.00)A.4B.3C.2D.14.设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是 ( )(分数:2.00)A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 2 )5.设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0,现有命题 ()的解必是()的解;
3、 ()的解必是()的解; ()的解不一定是()的解; ()的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )(分数:2.00)A.B.C.D.6.n 维向量组 1 , 2 , 3 (3sn)线性无关的充要条件是 ( )(分数:2.00)A.存在一组全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 , 2 , s 中任意两个向量都线性无关C. 1 , 2 , s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 07.设有两个 n 维向量组() 1 , 2 , s ,
4、() 1 , 2 , s ,若存在两组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s ,使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k s s ) s =0,则 ( )(分数:2.00)A. 1 + 1 , s + s , 1 1 , s s 线性相关B. 1 , s 及 1 , s 均线性无关C. 1 , s 及 1 , s 均线性相关D. 1 + 1 , s + s , 1 1 , s s 线性无关8.已知向量组() 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则与()等价的向量组是 ( )(分数:2.00)A
5、. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1B. 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1C. 1 + 2 , 2 3 , 3 + 4 , 4 1D. 1 + 2 , 2 3 , 3 4 , 4 19.设向量组() 1 , 2 , s 线性无关,且 i (i=1,2,s)不能由() 1 , 2 , t 线性表出, i (i=1,2,t)不能由() 1 , 2 , s 线性表出,则向量 1 , 2 , s , 1 , 2 , s ( )(分数:2.00)A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关,也可能线性无关D.以上都不对10.已知 n 维向量的向量组 1 , 2 , s
6、 线性无关,则向量组 1 , 2 , s 可能线性相关的是 ( )(分数:2.00)A. i (i=1,2,s)是 i (i=1,2,s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i (i=1,2,s)是 i (i=1,2,s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i (i=1,2,s)是 i (i=1,2,s)中第一个分量改为 0 的向量D. i (i=1,2,s)是 i (i=1,2,s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量二、填空题(总题数:6,分数:12.00)11.设 A,B 为 3 阶相似矩阵,且 2E+A=0, 1 =1, 2 =1 为 B 的两个特征值,则行列式A+2AB
7、= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 A=E+ T ,其中 , 均为 n 维列向量, T =3,则A+2E= 1(分数:2.00)填空项 1:_13.已知 ABC=D,其中 (分数:2.00)填空项 1:_14.设 1 =1,0,1,2 T , 2 =2,1,2,6 T , 3 =3,1,t,4 T ,=4,1,5,10 T ,已知 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 t= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.已知 3 维向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则向量组 1 2 , 2 k 3 , 3 1 也线性无关的充要条件是 k 1(分数:2.00)填空项 1:_16.设
8、 n 维向量 1 , 2 , 3 满足 2 1 2 +3 3 =0,对于任意的 n 维向量 ,向量组 l 1 + 1 ,l 2 + 2 ,l 3 + 3 都线性相关,则参数 l 1 ,l 2 ,l 3 应满足关系 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_18.设有矩阵 A mn ,B mn ,E m +AB 可逆 (1)验证:E n +BA 也可逆,且(E n +BA) 1 =E n B(E m +AB) 1 A; (2)设 其中 (分数:2.00)_19.已知 1 =1,1,1 T
9、, 2 =1,t,1 T , 3 =t,1,2 T ,=4,t 2 ,4 T ,若 可由 1 , 2 , 3 线性表示,且表示法不唯一,求 t 及 的表达式(分数:2.00)_20.设向量组 1 , 2 , s (s2)线性无关,且 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , s1 = s1 + s , s = s + 1 讨论向量组 1 , 2 , s 的线性相关性(分数:2.00)_21.设向量组 1 , 2 , t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,向量 不是方程组 Ax=0的解,即 A0证明:向量组 ,+ 1 ,+ 2 ,+ t 线性无关(分数:2.00)_22.设向量组
10、()与向量组(),若()可由()线性表示,且 r()=r()=r证明:()与()等价(分数:2.00)_23.求齐次线性方程组 (分数:2.00)_24.问 为何值时,线性方程组 (分数:2.00)_25. 为何值时,方程组 (分数:2.00)_26.设四元齐次线性方程组()为 (分数:2.00)_27.设 1 , 2 , t 和 1 , 2 s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明:AX=0 和BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 , 2 , t , 1 , 2 , s 线性相关(分数:2.00)_28.已知 1 =1,2,3,1 T , 2 =5,5,a,11 T , 3 =1
11、,3,6,3 T , 4 =2,1,3,a T 问: (1)a 为何值时,向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关; (2)a 为何值时,向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关; (3)a 为何值时, 4 能由 1 , 2 , 3 线性表出,并写出它的表出式(分数:2.00)_29.已知 (分数:2.00)_30.设向量组 1 =a 11 ,a 21 ,a n1 T , 2 =a 12 ,a 22 ,a n2 T , s =a 1s ,a 2s ,a ns T 证明:向量组 1 , 2 , s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 (分数:2.00)_31.已知 1 , 2
12、 , s 线性无关, 可由 1 , 2 , s 线性表出,且表示式的系数全不为零证明: 1 , 2 , s , 中任意 s 个向量线性无关(分数:2.00)_32.已知向量组 1 , 2 , s+1 (s1)线性无关, i = i +t i+1 ,i=1,2,s证明:向量组 1 , 2 , s 线性无关(分数:2.00)_考研数学三(线性代数)-试卷 34 答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.已知 1 , 2 , 3 , 4 为 3 维非零列向量
13、,则下列结论: 如果 4 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 1 , 2 , 3 线性相关; 如果 1 , 2 , 3 线性相关, 2 , 3 , 4 线性相关,则 1 , 2 , 4 也线性相关; 如果 r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 ),则 4 可以由 1 , 2 , 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )(分数:2.00)A.0B.1C.2 D.3解析:解析:如果 1 , 2 , 3 线性无关,由于 1 , 2 , 3 , 4 为 4 个 3 维向量,故 1 , 2 , 3 , 4 线性相关,则 4 必能由
14、 1 , 2 , 3 线性表出,可知是正确的 令 3.设 1 , 2 , 3 均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1 2 , 1 2 2 + 3 , (分数:2.00)A.4 B.3C.2D.1解析:解析:由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 2 )=A 1 A 2 =bb=0, A( 1 2 2 + 3 )=A 1 2A 2 +A 3 =b2b+b=0, 4.设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵, 1 , 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则 Ax=0 的通解必定是 ( )(分数:2.00)A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 2
15、) 解析:解析:因为通解中必有任意常数,显见(A)不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 , 1 + 2 与 1 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 , 2 是两个不同的解,那么 1 可以是零解,因而 k 1 可能不是通解如果 1 = 2 0,则 1 , 2 是两个不同的解,但 1 + 2 =0,即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B),(C)由于 1 2 ,必有 1 2 0可见(D)正确5.设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0,现有命题 ()的解必是()的解; ()的解必是()的
16、解; ()的解不一定是()的解; ()的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:当 A n x=0 时,易知 A n+1 x=A(A n x)=0,故()的解必是()的解,也即正确,错误 当 A n+1 x=0 时,假设 A n x0,则有 x,Ax,A n x 均不为零,可以证明这种情况下x,Ax,A n x 是线性无关的由于 x,Ax,A n x 均为 n 维向量,而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的,矛盾,故假设不成立,因此必有 A n x=0可知()的解必是()的解,故正确,错误故选(B)6.n 维向量组 1 , 2 , 3 (3sn
17、)线性无关的充要条件是 ( )(分数:2.00)A.存在一组全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 , 2 , s 中任意两个向量都线性无关C. 1 , 2 , s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0解析:解析:可用反证法证明之必要性:假设有一向量,如 s 可由 1 , 2 , s1 线性表出,则 1 , 2 , s 线性相关,这和已知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性:假设 1 , 2 , s 线性相关至少存在一个
18、向量可由其余向量线性表出,这和已知矛盾,故 1 , 2 , s 线性无关(A)对任何向量组都有 0 1 +0 2 +0 s =0 的结论(B)必要但不充分,如 1 =0,1,0 T , 2 =1,1,0 T , 3 =1,0,0 T 任意两个向量线性无关,但 1 , 2 , 3 线性相关(D)必要但不充分,如上例 1 + 2 + 3 0,但 1 , 2 , 3 线性相关7.设有两个 n 维向量组() 1 , 2 , s ,() 1 , 2 , s ,若存在两组不全为零的数 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s ,使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s
19、+ s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k s s ) s =0,则 ( )(分数:2.00)A. 1 + 1 , s + s , 1 1 , s s 线性相关 B. 1 , s 及 1 , s 均线性无关C. 1 , s 及 1 , s 均线性相关D. 1 + 1 , s + s , 1 1 , s s 线性无关解析:解析:存在不全为 0 的 k 1 ,k 2 ,k s , 1 , 2 , s 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 1 ) 1 +(k 2 2 ) 2 +(k s s ) s =0, 整理得 k 1 ( 1 +
20、1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 1 )+ 2 ( 2 2 )+ s ( s s )=0,从而得 1 + 1 , s + s , 1 1 , s s 线性相关8.已知向量组() 1 , 2 , 3 , 4 线性无关,则与()等价的向量组是 ( )(分数:2.00)A. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1B. 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1C. 1 + 2 , 2 3 , 3 + 4 , 4 1D. 1 + 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 解析:解析:因(A) 1 + 2 ( 2 + 3 )+( 3 + 4
21、)( 4 + 1 )=0; (B)( 1 2 )+( 2 3 )+( 3 4 )+( 4 1 )=0; (C)( 1 + 2 )( 2 3 )( 3 + 4 )+( 4 1 )=0, 故均线性相关,而 1 + 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 = 1 , 2 , 3 , 4 = 1 , 2 , 3 , 4 C, 其中 9.设向量组() 1 , 2 , s 线性无关,且 i (i=1,2,s)不能由() 1 , 2 , t 线性表出, i (i=1,2,t)不能由() 1 , 2 , s 线性表出,则向量 1 , 2 , s , 1 , 2 , s ( )(分数:2.00)A.必线性相关B
22、.必线性无关C.可能线性相关,也可能线性无关 D.以上都不对解析:解析:只要对两种情况举出例子即可 取 线性无关,且显然不能相互线性表出,但 4 个3 维向量必定线性相关; 取10.已知 n 维向量的向量组 1 , 2 , s 线性无关,则向量组 1 , 2 , s 可能线性相关的是 ( )(分数:2.00)A. i (i=1,2,s)是 i (i=1,2,s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i (i=1,2,s)是 i (i=1,2,s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i (i=1,2,s)是 i (i=1,2,s)中第一个分量改为 0 的向量 D. i (i=1,2,s
23、)是 i (i=1,2,s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量解析:解析:将一个分量均变为 0,相当于减少一个分量,此时新向量组可能变为线性相关(A),(B)属初等(行)变换不改变矩阵的秩,并未改变列向量组的线性无关性,(D)增加向量分量也不改变线性无关性二、填空题(总题数:6,分数:12.00)11.设 A,B 为 3 阶相似矩阵,且 2E+A=0, 1 =1, 2 =1 为 B 的两个特征值,则行列式A+2AB= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:18)解析:解析:由2E+A=A(2E)=0 知 =2 为 A 的一个特征值由 AB 知 A 和 B 有相同特征值,
24、因此 1 =1, 2 =1 也是 A 的特征值故 A,B 的特征值均为 1 =1, 2 =1, 3 =2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3,1+2(1)=1,1+2(2)=3,从而 E+2B=3(1)(3)=9,A= 1 2 3 =2 故 A+2AB=A(E+2B)=A.E+2B=29=1812.设 A=E+ T ,其中 , 均为 n 维列向量, T =3,则A+2E= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2.3 n)解析:解析:由于 T =3,可知 tr( T )=3 T 的秩为 1,故 0 至少为 T 的 n1 重特征值,故 T 的特征值为 0(n1 重),3因
25、此,A+2E= T +3E 的特征值为 3(n1 重),6,故 A+2E=3 n1 .6=2.3 n 13.已知 ABC=D,其中 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:B 1 = ,B * =BB 1 ,且 B 1 =(A 1 DC 1 ) 1 =CD 1 A= , 所以 14.设 1 =1,0,1,2 T , 2 =2,1,2,6 T , 3 =3,1,t,4 T ,=4,1,5,10 T ,已知 不能由 1 , 2 , 3 线性表出,则 t= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析: 1 , 2 , 3 ,= 15.已知
26、 3 维向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则向量组 1 2 , 2 k 3 , 3 1 也线性无关的充要条件是 k 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析: 1 2 , 2 k 3 , 3 1 = 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 线性无关,故 1 2 , 2 k 3 , 3 1 线性无关的充要条件是 16.设 n 维向量 1 , 2 , 3 满足 2 1 2 +3 3 =0,对于任意的 n 维向量 ,向量组 l 1 + 1 ,l 2 + 2 ,l 3 + 3 都线性相关,则参数 l 1 ,l 2 ,l 3 应满足关系 1(分数:2.00)填空项 1
27、:_ (正确答案:正确答案:2l 1 l 2 +3l 3 =0)解析:解析:因 l 1 + 1 ,l 2 + 2 ,l 3 + 3 线性相关存在不全为零的 k 1 ,k 2 ,k 3 ,使得 k 1 (l 1 + 1 )+k 2 (l 2 + 2 )+k 3 (l 3 + 3 )=0, 即 (k 1 l 1 +k 2 l 2 +k 3 l 3 )+k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 因 是任意向量, 1 , 2 , 3 满足 2 1 2 +3 3 =0,故令 2l 1 l 2 +3l 3 =0 时上式成立故 l 1 ,l 2 , l 3 应满足 2l 1 l 2 +3l 3 =0三、
28、解答题(总题数:16,分数:32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:18.设有矩阵 A mn ,B mn ,E m +AB 可逆 (1)验证:E n +BA 也可逆,且(E n +BA) 1 =E n B(E m +AB) 1 A; (2)设 其中 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)(E n +BA)(E n B(E m +AB) 1 A) =E n +BAB(E m +AB) 1 ABAB(E m +AB) 1 A =E n +BAB(E m +AB)(E m +AB) 1 A=E n , 故(E n +BA) 1 =E n B
29、(E m +AB) 1 A 其中 X=x 1 ,x 2 ,x n T ,y=y 1 ,y 2 ,y n T 因 1+Y T X=1+ =20,由(1)知 P=E+XY T 可逆,且 p 1 =(E+XY T ) 1 =EX(1+Y T X) 1 Y T =E XY T )解析:19.已知 1 =1,1,1 T , 2 =1,t,1 T , 3 =t,1,2 T ,=4,t 2 ,4 T ,若 可由 1 , 2 , 3 线性表示,且表示法不唯一,求 t 及 的表达式(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =,按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得
30、由条件知 r(A)=r( )3,从而 t=4,此时,增广矩阵可化为 其通解为 )解析:20.设向量组 1 , 2 , s (s2)线性无关,且 1 = 1 + 2 , 2 = 2 + 3 , s1 = s1 + s , s = s + 1 讨论向量组 1 , 2 , s 的线性相关性(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0,即 (x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s1 +x s ) s =0 因为 1 , 2 , s 线性无关,则 其系数行列式 )解析:21.设向量组 1 , 2 , t 是齐次线性方程组 Ax=0
31、 的一个基础解系,向量 不是方程组 Ax=0的解,即 A0证明:向量组 ,+ 1 ,+ 2 ,+ t 线性无关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 k+k 1 (+ 1 )+k t (+ t )=0,即 (k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0, 等式两边左乘 A,得(k+k 1 +k t )A=0 )解析:22.设向量组()与向量组(),若()可由()线性表示,且 r()=r()=r证明:()与()等价(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设()的一个极大无关组为 1 , 2 , r ,()的一个极大无关组为 1 , 2 , r 因为()可由()表示,即 1 ,
32、 2 , r 可由 1 , 2 , r 线性表示,于是 r( 1 , 2 , r , 1 , 2 , r )=r( 1 , 2 , r )=r 又 1 , 2 , r 线性无关,则 1 , 2 , r ,也可作为 1 , 2 , r , 1 , 2 , r 的一个极大无关组,于是 1 , 2 , r 也可由 1 , 2 , r 表示,即()也可由()表示,得证)解析:23.求齐次线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A= ,则方程组的解为 令 )解析:24.问 为何值时,线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:B=Ab= 线性方程组有解r(A)=r(B)+1=0=
33、1,其通解为 x=k )解析:25. 为何值时,方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程组改写为 则有 当 1 且 时,方程组有唯一解; 当 =1 时,方程组有无穷多解,且 通解为 x= ,k 为任意常数; 当 = )解析:26.设四元齐次线性方程组()为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)线性方程组()的解为 ,得所求基础解系 1 =0,0,1,0 T , 2 =1,1,0,1 T (2)将方程组()的通解代入方程组(),得 )解析:27.设 1 , 2 , t 和 1 , 2 s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明:AX=0 和BX=0 有非零公共解
34、的充要条件是 1 , 2 , t , 1 , 2 , s 线性相关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:必要性 由 1 , 2 , t , 1 , 2 , s 线性相关,知存在 k 1 ,k 2 ,k t ,l 1 ,l 2 ,l s 不全为零,使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0 令 =k 1 1 +k 2 2 +k t t ,则 0(否则 k 1 ,k 2 ,k t ,l 1 ,l 2 ,l s 全为 0),且 =l 1 1 l 2 2 l s s , 即非零向量考既可由 1 , 2 , t 表示,也可由 1 , 2 , s 表示,所以 Ax=0 和 BX=0 有非零公共解 充分性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解