1、考研数学三（线性代数）-试卷 33 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出3.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件
2、是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关4.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解5.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2
3、.00）A.B.C.D.6.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n 且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出7.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=b 有唯一解D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解8.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组
4、 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=sC.r(B)=sD.r(B)=n9.设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(Ab)，r(B)任意B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表出10.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是
5、( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知非齐次线性方程组 A 34 =b 有通解 k 1 1，2，0，2 T +k 2 4，1，1，1 T +1，0，1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:
6、_16.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ， 则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知线性方程 （分数：2.00）_19.已知 1 =3，2，0 T ， 2 =1，0，2 T 是线性方程组 （分数：2.00）_20.已知线性方程组 （分数：2.00）_21.已知 4
7、 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组AX= 的通解（分数：2.00）_22.设 A mn ，r(A)=m，B n(nm) ，r(B)=nm，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_23.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，1，1 T ， 3 +
8、1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_24.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_25.已知方程组() （分数：2.00）_26.已知方程组 （分数：2.00）_27.设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T =2E，A0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值。（分数：2.00）_28.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， 1 ， 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明： 1 + 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_29.已知矩阵 （分数：2.00）_30.已知 B 是 n
9、阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的特征值的取值范围（分数：2.00）_31.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值（分数：2.00）_32.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 33 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2
10、， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 5 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 解析：解析： i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出3.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性
11、无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：A 的列向量线性无关AX=0 唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件4.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组()AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解解析：解析：方程 AX=0 和 A T AX=0 是同解方程组5.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程
12、组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解 1 与 1 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1 ， 2 是基础解系，故 1 ， 1 2 仍是基础解系， 6.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n 且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出 解析：解析：r(A)=n，b 可
13、由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(Ab)=n，AX=b 有唯一解 (A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非充分条件(可能无解)，(C)是必要条件，但非充分条件(b由 1 ， 2 ， 3 表出，可能不唯一)7.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=b 有唯一解 D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解解析：解析：r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 A T X=b，对任意的 b，若有解，则必有唯一解，也可能无解，即
14、可能 r(A T )=r(A)=4r(A T b)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证8.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=s C.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析：显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有 BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明9.设 A
15、，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(Ab)，r(B)任意 B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表出解析：解析： 10.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：方程组有齐次解：2 1 ( 2 + 3 )=2，3，4，5 T ，故选(C)二、填空
16、题(总题数：6，分数：12.00)11.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 =1，1，0，0，0 T ， 2 =1，0，1，0，0 T ， 3 =1，0，0，1，0 T ， 4 =1，0，0，0，1 T）解析：12.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k1，1，1，1 T ，其中 k 是任意常数）解析：13.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： AX=b 有解r(A)=r(Ab) 14.设线性方程组 有解，则方程组右端
17、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 使方程组有解，即当 其中 k 1 ，k 2 ，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1 ，k 2 ，k 3 T 或说 15.已知非齐次线性方程组 A 34 =b 有通解 k 1 1，2，0，2 T +k 2 4，1，1，1 T +1，0，1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，1，1 T）解析：解析：方程组的通解为 由题设 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 得 16.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ，
18、3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ， 则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 = 1 +2 2 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 可知 均为 Ax= 的解，故 1 2 = 均为 Ax=0 的解 由于 1 ， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 2 ， 3 4 ，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即
19、4r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 2 ， 2 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知线性方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Ab= )解析：19.已知 1 =3，2，0 T ， 2 =1，0，2 T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程组有解 = 1 2 =2，2，2 T 或1，1，1 T ， 故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解
20、系，故 )解析：20.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 4 能由 1 ， 2 ， 3 ， 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2，1，0，1 T +k1，1，2，0 T 知 5 =(k+2) 1 +(k+1) 2 +2k 3 + 4 ， 故 4 =(k+2) 1 (k+1) 2 2k 3 + 5 (2) 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=41=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 2 +2 3 =0，即 1 ， 2 ， 3
21、 线性相关，r( 1 ， 2 ， 3 )3，若 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 r( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 ， 3 )3，这和 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3 矛盾，故 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出)解析：21.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组AX= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 =2 2 3 及 2 ， 3 ， 4 线性无关组
22、知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3且对应齐次方程组 AX=0 有通解 k1，2，1，0 T ，又 = 1 + 2 + 3 + 4 ，即 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 1 + 2 + 3 + 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 )解析：22.设 A mn ，r(A)=m，B n(nm) ，r(B)=nm，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组 AX=0的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 B 按列分块，设 B= 1 ， 2 ， nm ，因已知 AB=O，故知 B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n
23、m，知 1 ， 2 ， nm 是 AX=0 的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1 ， 2 ， nm 线性表出，且表出法唯一，即 =x 1 1 +x 2 2 +x nm nm 1 ， 2 ， nm )解析：23.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=1，AX=b 的通解应为 k 1 1 +k 2 2 +，其中对应齐次方程 AX=0 的解为 1
24、=( 1 + 2 )( 2 + 3 )= 1 3 =1，3，2 T ， 2 =( 2 + 3 )( 3 + 1 )= 2 1 =2，3，1 T 因 1 ， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 = )解析：24.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程为 ax 1 +bx 2 +cx 3 =d， 由 1 ， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 )解析：25.已知方程组() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程组()的通解 k 1 1，1，1，0 T +k 2 2，1，0，1 T +2，3，0，0 T =
25、2k 1 +2k 2 ，3+k 1 k 2 ，k 1 ，k 2 T ， 代入方程组()，得 )解析：26.已知方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组()，因增广矩阵为 知其通解为 k1，2，1，1 T +1，2，1，0 T =1k，2+2k，1k，k T 将通解代入方程组()， 当a=1，b=2，c=4 时，方程组()的增广矩阵为 )解析：27.设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T =2E，A0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由3E+A=0=3 为 A 的特征值由 AA T
26、=2E，A0=A=4，则 A * 的一个特征值为 )解析：28.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值， 1 ， 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量证明： 1 + 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 假设 1 + 2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A( 1 + 2 )=( 1 + 2 )，则 ( 1 ) 1 +( 2 ) 2 =0 因为 1 2 ，所以 1 ， 2 线性无关，则 )解析：29.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)B 的特征值为 2，y，1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为 2
27、，y，1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值 1 =2， 2 =1， 3 =1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p 1 ，p 2 ，p 3 = )解析：30.已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的特征值的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=左乘 B，得 B 2 =E=B= 2 ， ( 2 1)=0，0， 故 =1，或 =1，B 的特征值的取值范围是1，1)解析：31.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用特征值
28、的定义 设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则 AB= 式两边左乘 B，得 BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0，0，得 AB 有特征值 =0，从而AB=0，且BA=BA=AB=AB=0，从而 BA 也有 =0 的特征值 故 AB 和 BA 有相同的特征值)解析：32.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A 的一个特征值 又 A * 的特征值为a k ，且相应的特征向量相同，即 )解析：
