1、考研数学三（线性代数）-试卷 32 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.（a 1 a 2 b 1 b 2 ）（a 3 a 4 b 3 b 4 ）D.（a 2 a 3 b 2 b 3 ）（a 1 a4b 1 b 4 ）3.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则
2、 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆；AE 恒可逆。上述命题中，正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.44.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=BD.P 2 P 1 A=B5.向量组 1 =（1，3，5，1） T ， 2 =（2，1，3，4） T ， 3 =（6，4，4，6） T ， 4 =（7，7，9，1） T ， 5 =（3，2，2，3） T 的极大线性无关组是（ ）（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5B. 1 ， 3 ， 5C. 2 ， 3 ， 4D. 3 ，
3、4 ， 56.非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解C.方程组有唯一解D.方程组无解7.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（ ）（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量8.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而 A 3 =3A2A 2 ，那
4、么矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 一 AD.A 2 +2A39.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P 1 AP； A T ； （分数：2.00）A.1B.2C.3D.410.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=（ 1 ，2 3 ， 2 ），则 P 1 AP=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.11.关于二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +x 2 2 +x
5、3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是（ ）（分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1D.其秩为 212.已知实二次型 f=（a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ） 2 +（a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ） 2 +（a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ） 2 正定，矩阵 A=（a ij ） 33 ，则（ ）（分数：2.00）A.A 是正定矩阵B.A 是可逆矩阵C.A 是不可逆矩阵D.以上结论都不对二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.在 xOy 平
6、面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 2CA2AB=CB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.如果 =（1，2，t） T 可以由 1 =（2，l，1） T ， 2 =（1，2，7） T ， 3 =（1，1，4） T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数
7、：2.00）填空项 1:_20.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 + 5A6E，且 kE +A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_25.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag（1，1，1，8），且 ABA 1 =
8、BA 1 +3E，求 B。（分数：2.00）_26.设向量组（）：b 1 ，b r 能由向量组（）：a 1 ，a s 线性表示为 （b 1 ，b r ）=（a 1 ，a s ）K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组（）线性无关。证明向量组（）线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r（K）=r。（分数：2.00）_27.设 A= （分数：2.00）_28.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 2 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数：2.00）_29.设矩阵 A= （分数：2
9、.00）_30.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=2（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ） 2 +（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ） 2 ， 记 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 32 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.四阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b
10、 4B.a 1 a 2 a 3 a 4 +b 1 b 2 b 3 b 4C.（a 1 a 2 b 1 b 2 ）（a 3 a 4 b 3 b 4 ）D.（a 2 a 3 b 2 b 3 ）（a 1 a4b 1 b 4 ） 解析：解析：将此行列式按第一行展开， 3.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则若 A 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；若 A+B 可逆，则 AB 可逆；AE 恒可逆。上述命题中，正确的个数为（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由 AB=A+B，有（AE）B=A。若 A 可逆，则 |（AE）B|=|AE|B|=|A|0
11、， 所以|B|0，即矩阵 B 可逆，从而命题正确。 同命题类似，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么A+B=AB 也可逆，故命题正确。 因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题正确。 对于命题，用分组因式分解，即 ABAB+E=E，则有（AE）（BE）=E， 所以得 AE 恒可逆，命题正确。所以应选 D。4.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 =BB.AP 2 P 1 =BC.P 1 P 2 A=B D.P 2 P 1 A=B解析：解析：由于对矩阵 A mn 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A mn 作一次初等
12、列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵，而经过观察 A、B 的关系可以看出，矩阵 B 是矩阵 A 先把第一行加到第三行上，再把所得的矩阵的第一、二两行互换得到的，这两次初等变换所对应的初等矩阵分别为题中条件的 P 2 与 P 1 ，因此选项 C 正确。5.向量组 1 =（1，3，5，1） T ， 2 =（2，1，3，4） T ， 3 =（6，4，4，6） T ， 4 =（7，7，9，1） T ， 5 =（3，2，2，3） T 的极大线性无关组是（ ）（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 5B. 1 ， 3 ， 5C. 2 ， 3 ， 4 D. 3 ， 4 ， 5解析：解析：对
13、向量组构成的矩阵作初等行变换，有 （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ） 可见秩 r（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ）=3。 又因为三阶子式 6.非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则（ ）（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解 C.方程组有唯一解D.方程组无解解析：解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。7.设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A * 0，若 1 ， 2 ， 3 ， 4
14、 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（ ）（分数：2.00）A.不存在B.仅含一个非零解向量 C.含有两个线性无关的解向量D.含有三个线性无关的解向量解析：解析：由 A * 0 可知，A * 中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个n1 阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r（A）n1。又因 Ax=b 有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有 r（A）n，从而 r（A）=n1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B。8.已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，
15、而 A 3 =3A2A 2 ，那么矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.B.A+2C.A 2 一 A D.A 2 +2A3解析：解析：因为 A 3 +2A 2 一 3A=0。故 （A+ 3E） （A 2 一 A）=0=0（A 2 A）。因为 ，A，A 2 线性无关，必有 A 2 一 A0，所以 A 2 一 A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。所以应选 C。9.设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中 A 2 ； P 1 AP； A T
16、 ； （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：由 A=A，0，有 A 2 =A（A）=A=A 2 ，即 必是 A 2 属于特征值 2 的特征向量。 又 A 属于特征值 1 10.设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，2，相应的特征向量依次是 1 ， 2 ， 3 ，若 P=（ 1 ，2 3 ， 2 ），则 P 1 AP=（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 A 2 =3 2 ，有 A（ 2 ）=3（ 2 ），即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时， 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理，2 3 仍是矩阵 A 属于特征值=2 的
17、特征向量。当 P 1 AP= 时，P 由 A 的特征向量构成， 由 A 的特征值构成，且 P 与 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，2，故对角矩阵 应当由 1，3，2 构成，因此排除选项 B、C。由于 2 3 是属于 =2 的特征向量，所以2 在对角矩阵 中应当是第二列，所以应选A。11.关于二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +2x 2 x 3 ，下列说法正确的是（ ）（分数：2.00）A.是正定的B.其矩阵可逆C.其秩为 1 D.其秩为 2解析：解析：二次型的矩阵12.已知实二次型
18、f=（a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ） 2 +（a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ） 2 +（a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ） 2 正定，矩阵 A=（a ij ） 33 ，则（ ）（分数：2.00）A.A 是正定矩阵B.A 是可逆矩阵 C.A 是不可逆矩阵D.以上结论都不对解析：解析：f=（a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 ） 2 +（a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 ） 2 +（a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 ） 2 =x T A T Ax
19、=（Ax） T （Ax）。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f 0 的充要条件是 Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。所以选 B。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)13.在 xOy 平面上，平面曲线方程 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（2，0），（3，0）解析：解析：曲线 与 x 轴（即 y=0）的交点为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有14.已知 2CA2AB=CB，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA2AB=CB，得 2CAC=2ABB，因此
20、有 C（2AE）=（2AE）B。 因为 可逆，所以 C=（2AE）B（2AE） 1 ，于是 C 3 =（2AE）B 3 （2AE） 1 15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘矩阵 A，并把等式 AA * =|A|E 代入已知矩阵方程，得|A|X=E+2AX，移项可得 （|A|E2A）X=E，因此 X=（|A|E2A） * 。 已知|A|=4，所以 X=（4E2A） 1 = 16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AB=0，则有 r（A）+r（B）3，又已知矩阵 B0，因此 r（B）1，那么 r（A
21、）3， 则行列式|A|=0。而 所以 a=17.如果 =（1，2，t） T 可以由 1 =（2，l，1） T ， 2 =（1，2，7） T ， 3 =（1，1，4） T 线性表示，则 t 的值是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得 18.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即1
22、9.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 +k 1 （ 2 1 ）+k 2 （ 3 1 ），k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2 1 ， 3 1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 nr（A）=2，故 2 1 ， 3 1 是Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1 +k 1 （ 2 1 ）+k 2 （ 3 1 ），k 1 ，k 2 为任
23、意常数。20.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：A 的特征多项式为21.设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 Exx T 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵 xx T 的特征值为 0，0，1，故 Exx T 的特征值为 1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r（Exx T ）=2。22.设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A 3 =2A 2 + 5A6E，且 kE +A 是正定阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00
24、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k2）解析：解析：根据题设条件，则有 A 3 2A 2 5A+6E=0。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 2 2 5+6=0，将其因式分解可得 3 2 2 5+6=（1）（+2）（3）=0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，2，3，故 kE +A 的特征值分别为 k+1，k2，k+3，且当 k2 时，kE +A 的特征值均为正数。故 k2。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则将该行列式按第
25、一行展开得 D n =（+）D n1 再将上式中后面的 n1 阶行列式按照第一列展开得 D n =（+）D n1 D n2 ，则 D n D n1 =（D n1 D n2 ）= 2 （D n2 D n3 ）= n2 （D 2 D 1 ） = n2 （ 2 + 2 ）（+） = n ， 即 D n aD n1 = n ，（1） 类似地，有 D n 3D n1 = n ，（2） （1）（2） 可得（）D n = n+1 n+1 ，所以 D n = )解析：25.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag（1，1，1，8），且 ABA 1 =BA 1 +3E，求 B。（分数：2.00）_正确答案：
26、(正确答案：在 A * =|A|A 1 两端取行列式可得|A * |=|A| 4 |A 1 |=|A| 3 ，因为 A * =diag（1，1，1，8），所以|A * |=8，即|A|=20 由 ABA 1 =BA 1 +3E 移项并提取公因式得，（AE）BA 1 =3E，右乘 A 得（AE）B=3A，左乘 A 1 得（EA 1 ）B=3E。 由已求结果|A|=2，知 )解析：26.设向量组（）：b 1 ，b r 能由向量组（）：a 1 ，a s 线性表示为 （b 1 ，b r ）=（a 1 ，a s ）K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组（）线性无关。证明向量组（）线性无关的充分必要条件是
27、矩阵 K 的秩 r（K）=r。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：令 B=（b 1 ，b r ），A=（a 1 ，a s ），则有 B=AK，由定理r（B）=r（AK）min r（A），r（K），结合向量组（）：b 1 ，b 2 ，b r 线性无关知r（B=r，故 r（K）r。 又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r（K）minr，s。 且由向量组（）：b 1 ，b 2 ，b r 能由向量组（）：a 1 ，a 2 ，a s 线性表示，则有 rs，即 minr，s=r。 综上所述 rr（K）r，即 r（K）=r。 充分性：已知 r（K）=r，向量组（）线性无关，r（A）=s，因此
28、A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK= 由矩阵秩的性质 r（B）=r（PB）= )解析：27.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 当 a=1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B。此时增广矩阵变换为 )解析：28.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 2 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数：2.00）_
29、正确答案：(正确答案：由于 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有 A i =b（i=1，s）。 因为 k 1 +k 2 +k s =1，所以 Ax=A（k 1 1 +k 2 2 +k s s ） =k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =b（k 1 +k s ）=b， 由此可见 x 也是方程组的解。)解析：29.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=4，=y 是 A 的特征值。因为 =4 是 A 的特征值，所以 解得 x=4。 又因为相似矩阵的行列式相同， =100， |=20y， 所以
30、y=5。 当 =5 时，解方程（A5E）x=0，得两个线性无关的特征向量 将它们正交化、单位化得： 当 =4 时，解方程（A+4E）x=0，得特征向量 单位化得： p 3 = 令 P=（p 1 ，p 3 ，p 2 ）= )解析：30.A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即特征值 1 =1， 2 =1 对应的特征向量为 又由 r（A）=23可知，A 有一个特征值为 0。设 3 =0 对应的特征向量为 是特征值 0 对应的特征向量。 因此 k 1 1 ，k 2 2 ，k 3 是依次对应于特征值1，1，0 的特征向量，其中 k 1 ，k 2 ，k 3 为任意非零常数。 （）令 )解析：31.设二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=2（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ） 2 +（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ） 2 ， 记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=2（a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ） 2 +（b 1 x 1 +b 2 x 2 +b 3 x 3 ） 2 )解析：
