1、考研数学三（线性代数）-试卷 30 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_2.设 （分数：2.00）_3.设矩阵 （分数：2.00）_已知矩阵 （分数：4.00）(1).求 x 与 y 的值；（分数：2.00）_(2).求一个满足 P -1 AP=B 的可逆矩阵 P。（分数：2.00）_4.设 为可逆方阵 A 的一个特征值，证明： (1) 为 A -1 的特征值； (2) （分数：2.00）_设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 1 =
2、(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ，又 =(1，1，3) T（分数：4.00）(1).将向量 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_(2).求 A n (n 为正整数)。（分数：2.00）_5.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 一 1，对应于 2 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求矩阵 A。（分数：2.00）_已知 （分数：4.00）(1).试求 a，b 的值及 所对应的特征值；（分数：2.00）_(2).问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由。（分数：2.00）_6.某试验性生产线每年一月份
3、进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：2.00）_7.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，一 1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 B=A 2 一2A+3E，试求 B -1 的特征值和特征向量。（分数：2.00）_8.设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 （分数：2.00）_9.设 A 为 n 阶非零方阵，且存在某正整数 m，使 A m =0求 A 的特征值并证明 A 不与对角矩
4、阵相似。（分数：2.00）_10.下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么? （分数：2.00）_11.已知矩阵 A=(a ij )胁的秩为 n 一 1，求 A 的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量。（分数：2.00）_12.设 n 阶矩阵 A，B 可交换、即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值。证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵。（分数：2.00）_13.设矩阵 （分数：2.00）_14.若矩阵 （分数：2.00）_15.设矩阵 （分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶方阵，秩(A)=rn，且满足 A 2 =2A，证明：A 必相似于对角矩阵。
5、（分数：2.00）_17.设 n 维实向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 0，方阵 A= T (1)证明：对于正整数 m，存在常数t，使 A m =t m-1 A，并求出 t；(2)求可逆矩阵 P -1 使 P -1 AP 成对角矩阵。（分数：2.00）_18.设矩阵 （分数：2.00）_设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T ，都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。（分数：4.00）(1).求 A 的另一特征值和对应的特征向量；（分数：2.00
6、）_(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_19.设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩r(B)=n。（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 30 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：52.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：2.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =(+1) 2 (A 一 1)=0，得 A 的全部特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1 = 2 =一 1 的线
7、性无关特征向量有 2 个 方程蛆(一 E 一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3 一 r(一 EA)=2 r(一 E 一 A)= =1 k=0当 k=0 时，可求出 A 的对应于特征值一 1，一 1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(一 1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ； 3 =(1，0，1) T ，故得 P -1 AP= )解析：3.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =2 是 A 的 2 重特征值，故 3 一 r(2EA)=2，或 r(2EA)= =2，y=一 2；由 2+2+ 3 =1+4+5，得 A 的另一特征值为 3 =6由 2EA
8、，得属于 1 = 2 =2 的线性无关特征向量 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 。由 6EA= ，得属于 3 =6 的线性无关特征向量 3 =(1，一 2，3) T ， )解析：已知矩阵 （分数：4.00）(1).求 x 与 y 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0，y=1；)解析：(2).求一个满足 P -1 AP=B 的可逆矩阵 P。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P= )解析：4.设 为可逆方阵 A 的一个特征值，证明： (1) 为 A -1 的特征值； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 为 A 的特征值，知存在
9、非零列向量 x，使 Ax=x，由此知 0，否则=0，则有 Ax=0， |A|=0，这与 A 可逆矛盾，故 0用 A -1 左乘 Ax=x 两端，再用 为A -1 的一个特征值且 x 为对应的特征向量。因 A -1 = )解析：设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =3，对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ，又 =(1，1，3) T（分数：4.00）(1).将向量 用 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=2 1 2 2 + 3 ；)解析：(2).求 A n (n 为
10、正整数)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A i = i i ， i n i = i n i (i=1，2，3)。 A n =A n (2 1 2 2 + 3 )=2A n 1 2A n 2 +A n 3 =2 1 n 1 一 2 2 n 2 + 3 n 3 )解析：5.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = 3 一 1，对应于 2 的特征向量为 1 =(0，1，1) T ，求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的属于特征值 2 = 3 =1 的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 1 T =x 2 +x 3 =0解得
11、其基础解系为 2 =(1，0，0) T ， 3 =(0，1，一 1) T ，于是得 A 的标准正交的特征向量 ，e 2 = 2 ，e 3 = )解析：已知 （分数：4.00）(1).试求 a，b 的值及 所对应的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(EA)=0 )解析：(2).问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 = 2 = 3 = 3 =一 1，对应的线性无关特征向量却只有 1个，故 A 不能相似于对角矩阵。)解析：6.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由
12、招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成向量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，一 1，0，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，若 B=A 2 一2A+3E，试求 B -1 的特征值和特征向量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=(A 2 一 2A+3E) 1 =A 2 1 一 2A 1 +3 1 = 1 2 1 2 1 1 +3 1 =( 1 2 一 2 1 +3) 1 =2 1 ，类似可得 B 2
13、=6 2 ，B 3 =3 3 ，故 B 的特征值为2，6，3，对应的线性无关特征向量分别为 1 ， 2 ， 3 ，得 B -1 的特征值为 )解析：8.设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=PDP -1 ，C=(PDP -1 一 1 PP -1 )(PDP -1 一 2 PP -1 )(PDP -1 一 3 PP -1 ) =P(D 1 E)P -1 P(D 2 E)P -1 P(D 3 E)P -1 =P(D 1 E)(D 1 E)(D 3 E)P -1 )解析：9.设 A 为 n 阶非零方阵，且存在某正整数 m，使 A m =0求 A 的特征值并证明
14、 A 不与对角矩阵相似。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 = 2 = n =0，(0E 一 A)x=0 的基础解系最多含 n 一 1 向量。即 n 阶方阵 A 最多有 n 一 1 个线性无关特征向量，故 A 不相似于对角阵。)解析：10.下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)是，因该方阵只有单特征值； (2)否。因 A 的特征值为 1 = 2 = 2 = 3 = 4 =1，而对应的线性无关特征向量却只有 2 个。)解析：11.已知矩阵 A=(a ij )胁的秩为 n 一 1，求 A 的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量。（分数：2
15、.00）_正确答案：(正确答案：由 A * A=|A|E=0，知 A 的 n 一 1 个线性无关的列向量都是方程组 A * x=0 的解向量，即 =0 至少是 A * 的 n 一 1 重特征值，而上述 n 一 1 个列向量即为对应的线性无关特征向量，又由全部特征值之和等于 A * 的主对角线上元素之和 A 11 +A 22 +A n ，故 A * 的第 n 个特征值为 由于 r(A * )=1，故 A * 的列成比例，不妨设(A 11 A 12 ，A 1n ) T 0，则存在常数 k 2 ，k n ，使 )解析：12.设 n 阶矩阵 A，B 可交换、即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的
16、特征值。证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)成立，故只需证明(1)。 下证(1)：设 为 A 的特征向量，则有数 使 A=，两端左乘 B，并利用 AB=BA，得 A(B)=(B)，若 B0，则 B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因方程组(E 一 A)x=0 的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 B 的特征向量；若 B=0，则B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量，总之， 必为 B 的
17、特征向量，由于 的任意性，知 A的特征向量都是 B 的特征向量。)解析：13.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.若矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 = 2 =6， 3 =一 2，由 r(6E 一 A)=1 得 a=0 )解析：15.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 可逆知 A * 可逆， 0，|A|0由 A * = 两端左乘 A 并利用AA * =|A|E，得|A|=A， ，比较两端对应分量，得关于 a、b 和 的方程组 )解析：16.设 A 为 n 阶方阵，秩(A)=rn，且满足 A 2 =2A，证明：
18、A 必相似于对角矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由秩(A)=rn，知方程组 Ax 一 0 的基础解系含 n 一 r 个向量： 1 ， 2 ， n-r 。因此， 1 ， 2 ， n-r ，就是 A 的对应于特征值 0 的 n 一 r 个线性无关的特征向量。设 A 按列分块为 A= 1 2 n ，则题设条件 AA=2A 就是A 1 A 2 A n =2 1 2 2 2 n ，由 A j =2 j ，知 A 的列向量组的极大无关组 j1 ， j2 ， jr ，就是 A的对应于特征值 2 的 r 个线性无关特征向量。再由特征值的性质，知 1 ， n-r ， j1 ， j2 ， jr ，
19、就是 n 阶方阵 A 的 n 个线性无关特征向量，所以，A 必相似于对角矩阵。)解析：17.设 n 维实向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 0，方阵 A= T (1)证明：对于正整数 m，存在常数t，使 A m =t m-1 A，并求出 t；(2)求可逆矩阵 P -1 使 P -1 AP 成对角矩阵。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A m =( T )( T )( T )=( T ) m-1 T =( T ) m-1 ( T )= A=t m-1 A，其中 t= 因为实对称矩阵 A 的非零特征值的个数就等于 A 的秩，故 A只有一个非零特征值，而有 n 一 1 重特征
20、值 1 一 2 = n-1 =0，计算可得属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 1 0)： 1 = 。由于 A 的全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和 ，故得 A 的唯一的非零特征值为 n = = T ，且由 A=( T )=( T )= n = n 可得 为对应于 n 的一个特征向量。令矩阵 P= 1 n-1 ，则有 P -1 AP=diag(0，0，0， )解析：18.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式为 (1)若 =2 是 f()的二重根，则有( 2 一 8+18+3a)| =2 =2 2 一 16+18+3a=3a+6=0，解得 a=一 2
21、 当 a=一 2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 2EA= 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化。 (2)若 =2不是 f()的二重根，则 2 一 8+18+3 为完全平方，从而 18+3a=16，解得 a= 当 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 )解析：设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T ，都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。（分数：4.00）(1).求 A 的另一特征值和对应的特征向量；（
22、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1 ， 2 ， 3 的一个极大无关组为 1 ， 2 ，故 1 ， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量。 由 r(A)=2 知|A|=0，所以 A 的另一特征值为 3 =0 设 3 =0 对应的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 i T =0(i=1，2)，即 )解析：(2).求矩阵 A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令矩阵 P= 1 2 3 ，则有 )解析：19.设 A 为 m 阶实对称阵
23、且正定，B 为 mn 实矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩r(B)=n。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 设 B T AB 正定，则对任意 n 维非零列向量 x，有 x T (B T AB)x0，即(Bx) T A(Bx)0，于是 Bx0因此，Bx=0 只有零解，从而有 r(B)=n。 充分性 因(B T AB) T =B T A T B=B T AB，故 B T AB 为实对称矩阵，若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意 n 维非零列向量 x，有 Bx0，又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) T A(Bx)0，于是当 X0 时，x T (B T AB)x=(Bx) T A(Bx)0，故 B T AB 为正定矩阵。)解析：
