1、考研数学三（线性代数）-试卷 2 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则 A=0 或 B=0C.|A 一 B|=|A|一|B|D.|AB|=|A|B|3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|A|=| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，|B|=| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则| 1 ， 2 ， 1
2、 + 2 |为( )（分数：2.00）A.m+nB.m 一 nC.一(m+n)D.n 一 m4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|A|0B.当 mn 时，必有|AB|=0C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，必有|A|=05.设 A，B，A+B，A 一 1 +B 一 1 皆为可逆矩阵，则(A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A 一 1 +B 一 1C.A(A+B) 一 1 BD.(A+B) 一 16.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B)
3、* =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(AB) * =A * 一 B *D.(A+B) * 一定可逆7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n 一 1 A *D.k n(n 一 1) A *8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=0B.A=EC.若 A 不可逆，则 A=0D.若 A 可逆，则 A=E9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于
4、零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m |O)10.设 （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=211.设 （分数：2.00）A.A 一 1 P 1 P 2B.P 1 A 一 1 P 2C.P 1 P 2 A 一 1D.P 2 A 一 1 P 112.设 （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1D.当 t6 时，r(Q)=2二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.0
5、0）填空项 1:_14.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_16.设 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：28.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_19.设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0（分数：2.00）_20.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：|A|0（分数：2.00）_21.计算 D 2n = （分数：2.0
6、0）_22.计算 （分数：2.00）_23.设 （分数：2.00）_24.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求 （分数：2.00）_设 A=E 一 T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 一 1 b（分数：2.00）_
7、25.设矩阵 A 满足(2E 一 C 一 1 B)A T =C 一 1 ，且 （分数：2.00）_26.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_27.设 是 n 维单位列向量，A=E 一 T 证明：r(A)n（分数：2.00）_28.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 一 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 2 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下
8、列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则 A=0 或 B=0C.|A 一 B|=|A|一|B|D.|AB|=|A|B| 解析：3.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|A|=| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，|B|=| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则| 1 ， 2 ， 1 + 2 |为( )（分数：2.00）A.m+nB.m 一 nC.一(m+n)D.n 一 m 解析：解析：| 3 ， 2 ， 1
9、 ， 1 + 2 |=| 3 ， 2 ， 1 ， 1 |+| 3 ， 2 ， 1 ， 2 | =一| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |一| 1 ， 2 ， 3 ， 2 | =一| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |+| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n 一 m，选(D)4.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|A|0B.当 mn 时，必有|AB|=0 C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，必有|A|=0解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且 r(AB)minr(A)，r(B)，所
10、以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是|AB|=0，选(B)5.设 A，B，A+B，A 一 1 +B 一 1 皆为可逆矩阵，则(A 一 1 +B 一 1 ) 一 1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A 一 1 +B 一 1C.A(A+B) 一 1 B D.(A+B) 一 1解析：解析：A(A+B) 1 B(A 1 +B 一 1 )=(A+B)A 1 1 (BA 1 +E)=(BA 1 +E) 1 (BA 1 +E) =E，所以选(C)6.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B
11、* A * C.(AB) * =A * 一 B *D.(A+B) * 一定可逆解析：解析：因为(AB) * =|AB|(AB) 1 =|A|B|B 一 1 A 1 =|B|B 一 1 |A|A 1 =B * A * ，所以选(B)7.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n 一 1 A * D.k n(n 一 1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n 一 1 阶子式，所以(kA) * =k n 一 1 A * ，选(C)8.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则
12、下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=0B.A=EC.若 A 不可逆，则 A=0D.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析：因为 A 2 =A，所以 A(E 一 A)=0，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E 一 A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(E 一 A)=0，A=E，选(D)9.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m |O)解析：解析：显然由 r(A)=mn，得 r
13、(A)=10.设 （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析：解析：P 1 m AP 2 n = 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1 = =E 12 ，P 2 = 11.设 （分数：2.00）A.A 一 1 P 1 P 2B.P 1 A 一 1 P 2C.P 1 P 2 A 一 1 D.P 2 A 一 1 P 1解析：解析：B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ，所以 B 一 1 =P 2 一 1 P 1 一 1 A 一 1 或 B 一 1
14、=P 1 一 1 P 2 一 1 A 一 1 ，注意到 E ij 一 1 =E ij ，于是 B 一 1 =P 2 P 1 A 一 1 或 B 一 1 =P 1 P 2 A 一 1 ，选(C)12.设 （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1 D.当 t6 时，r(Q)=2解析：解析：因为 Q0，所以 r(Q)1，又由 PQ=0 得 r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填
15、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：|A|=一 3，A * =|A|A 一 1 =一 3A 一 1 ，则(A * ) 一 1 B=ABA+2A 2 化为 =ABA+2A 2 ，注意到 A 可逆，得 =BA+2A 或一 B=3BA+6A，则 B=一 6A(E+3A) 一 1 ， 14.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * BA=2BA 一 8E，得 AA * BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA 一 8A于是一 2B=2AB 一8E，(A+E)B=4E，所以
16、B=4(A+E) 一 1 = 15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： =E 12 ，因为 E ij 一 1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 16.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=617.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BA=0三、解答题(总题数：13，分数：28.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明
17、过程或演算步骤。_解析：19.设 A 是正交矩阵，且|A|0证明：|E+A|=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正交矩阵，所以 A T A=E，两边取行列式得|A| 2 =1，因为|A|0，所以 |A|=一 1 由|E+A|=|A T A+A|=|(A T +E)A|=|A|A T +E|=一|A T +E| =|(A+E)| T =一|E+A| 得|E+A|=0)解析：20.设 A=(a ij ) nn 是非零矩阵，且|A|中每个元素 a ij 与其代数余子式 A ij 相等证明：|A|0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，所以 A 至少有一
18、行不为零，设 A 的第 k 行是非零行，则|A|=a k1 A k1 +a k2 A k2 +a kn A kn =a k1 2 +a k2 2 +a kn 2 0)解析：21.计算 D 2n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 2n =a 2 D 2n 一 2 b 2 D 2n 一 2 =(a 2 b 2 )D 2n 一 2 =(a 2 b 2 ) n )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =a 1 a 2 a n 一 1 +a n (a 1 a 2 a n 一 2 +a n 一 11 D n 一 2 ) =a 1 a 2 a n 一 1 +a 1 a
19、 2 a n 一 2 a n +a n 一 11 D n 一 2 = +a n a n 一 1 a 2 (1+a 1 ) =a 1 a 2 a n )解析：23.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： |A|=(一 1) n+1 1n! 得 A * =|A|A 一 1 =(一 1) n+1 n!A 一 1 ，所以A k1 +A k2 +A kn = )解析：24.设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，|B|=2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3 ，由|B|= 1 2 3 =
20、2 得 3 =1 A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) 一 1 的特征值为 ，则|(A+E) 一 1 |= 因为B 的特征值为 1，2，1，所以 B * 的特征值为 ，即为 2，1，2，于是|B * |=4， |(2B) * |=|4B * |=4 3 |B * |=256，故 )解析：设 A=E 一 T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =(E 一 T )(E 一 T )=E 一 2 T +k T ，因为 为非零向量，所以 T 0，于是 A 2 =A
21、 的充分必要条件是 k=1，而 T =| 2 ，所以 A 2 =A 的充要条件是 为单位向量)解析：(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 是单位向量时，由 A 2 =A 得 r(A)+r(EA)=n，因为 E 一 A= T 0，所以 r(E 一 A)1，于是 r(A)n 一 1n，故 A 是不可逆矩阵)解析：设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数， （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A 一 1 b（分数：2.00）_正确答
22、案：(正确答案：|PQ|+|A| 2 (b 一 a T A 一 1 )，PQ 可逆的充分必要条件是|PQ|0，即 T A 1 b)解析：25.设矩阵 A 满足(2E 一 C 一 1 B)A T =C 一 1 ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EC 1 B)A T =C 一 1 ，得 A T =(2E 一 C 一 1 B) 一 1 C 1 =C(2E 一 C 1 B) 一 1 =(2CB) 一 1 ， )解析：26.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )
23、，而 r( T )r()=1，r( T )r()=1，所以 r(A)r( T )+r( T )2)解析：27.设 是 n 维单位列向量，A=E 一 T 证明：r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E 一 T )(E 一 T )=E 一 2 T + T T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 A(E 一 A)=0 得 r(A)+r(E 一 A)n，又由 r(A)+r(E 一 A)rA+(EA)=r(E)=n，得 r(A)+r(E 一 A)=n因为 E 一 A= T 0，所以 r(E 一 A) =r( T )=r()=1，故 r(A)=n 一 1n
24、)解析：28.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=y 1 2 +y 2 2 一 2y 3 2 ，且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f=X T AX 经过正交变换后的标准形为 f=y 1 2 +y 2 2 一 2y 3 2 ，所以矩阵A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 2由|A|= 1 2 3 =一 2 得 A * 的特征值为 1 = 2 =一 2， 3 =1，从而 A * +2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A * +2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3 =一 2 的特征向量，令 A 的属于特征值 1 = 2 =1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1 T =0，即 x 1 +x 3 =0 故矩阵 A 的属于 1 = 2 =1 的特征向量为 2 = 令 P=( 2 ， 3 ， 1 )= ，得 所求的二次型为 f=X T AX=一 x 3 2 +x 2 2 一 )解析：
