1、考研数学三（线性代数）-试卷 28 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 1 AP 1 ，P 2 1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B3.n 阶实对称矩阵
2、A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵4.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AN 与 X T A 1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同6
3、.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与BX=0 同解D.r(A)=r(B)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似D.不合同也不相似10.设 A，B 为三阶矩阵，且
4、特征值均为一 2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 一 2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 5x 1 2 +x 2
5、2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_17.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 4x 3 2 为标准形（分数：2.00）_18.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X
6、TAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：2.00）_19.用正交变换法化二次型 f(x 1 +x 2 +x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 1 x 3 4x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_20.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2 1 x 2 (a0)的秩为 2 (1)求 a；(2)用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_21.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次
7、型 X T AX 的标准形；(2)E+A+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_22.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_23.设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2 (1)求 A 的全部特征值； (2)当 k 为何值时，A+kE为正定矩阵?（分数：2.00）_24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t的取值范围（分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）
8、_26.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_27.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_28.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ，求： (1)常数 a，b； (2
9、)正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_29.设 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 28 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P 1 ，P 2 ，使得 P 1 1 AP 1 ，P 2 1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ，Q 2 ，使得 Q 1 T AQ 1 ，Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 (A+B)P
10、为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选 D3.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.A 无负特征值B.A 是满秩矩阵C.A 的每个特征值都是单值D.A * 是正定矩阵 解析：解析：A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件4.下列说
11、法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.一次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析：(A)不对，如 f=x 1 x 2 ，令 5.设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 X T AN 与 X T A 1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同但标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A 与 A 1 合同，所以 X T AX 与 X T A 1 X 规范
12、形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选 B6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（分数：2.00）A.可逆矩阵B.实对称矩阵C.正定矩阵D.正交矩阵 解析：解析：7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析：解析：因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选 D8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A
13、，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：因为 A，B 与同一个实对称矩阵合伺，则 A，B 合同一，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与9.设 （分数：2.00）A.相似且合同B.相似不合同C.合同不相似 D.不合同也不相似解析：解析：由E 一 A=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由E 一 B=0 得 B 的特征值为 1，1，一1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 C10.设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1，以下命题： (1)AB；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)A=B中正确的命题个数为( )（分数：2.00）A.1 个
14、B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为 A，B 的特征值为一 2，1，1，所以A=B=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选 B二、填空题(总题数：4，分数：8.00)11.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 一 2x 2 ) 2 +4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 4x 1 x 2 +4x 2 x 3 ，所以 A= 12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
15、案： ）解析：解析：13.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该二次型的矩阵为 A=14.设 5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t2）解析：解析：二次型的矩阵为 A=三、解答题(总题数：15，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
16、_解析：16.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 x 3 为标准二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 4x 3 2 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 +x 2 +x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 4x 3 2 =(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 一(x 2 +x 3 ) 2 一 4x 3 2 ， )解析：18.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=XTAX
17、，A 的主对角线上元素之和为 3，又 AB+B=O，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 AB+B=0 得(E+A)B 一 0，从而 r(E+A)+r(B)3， 因为 r(B)=2，所以 r(E+A)1，从而 =一 1 为 A 的特征值且不低于 2 重， 显然 =一 1 不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 = 2 =一 1， 3 =5 由(E+A)B=0 得 B 的列组为(E+A)X=0 的解， )解析：19.用正交变换法化二次型 f(x 1 +x 2 +x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 4x 1 x 3 4x 2 x 3 为标准
18、二次型（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 一 1)x 1 2 +(a 一 1)x 2 2 +2x 3 2 +2 1 x 2 (a0)的秩为 2 (1)求 a；(2)用正交变换法化二次型为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：(1)二次型 X T AX 的标准形；(2)E+A+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 A 2 =A，所以AE 一 A=0，即 A 的特征值为 0 或者
19、1， 因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(n 一 r 重)，则二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 +y 2 2 +y r 2 (2)令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r 重)，故E+A+A 2 +A n =B=(n+1) r )解析：22.设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 2 +2A=O，r(A)=2 (1)求 A 的全部特征值； (
20、2)当 k 为何值时，A+kE为正定矩阵?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 2 +2A=O 得 r(A)+r(A+2E)=3，从而 A 的特征值为 0 或一 2，因为 A 是实对称矩阵且 r(A)=2，所以 1 =0， 2 = 3 =一 2 (2)A+kE 的特征值为 k，k 一 2，k 一 2，当 k2 时，A+kE 为正定矩阵)解析：24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 +2x 1 x 3 为正定二次型，求 t的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 A 是
21、n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 1 0， 2 0， 3 0，因此A+E 的特征值为 1 +11， 2 +11， n +11，故A+E=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：26.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 2 2 5x 3 2 +2x 1 x 2 2x 1 x 3 +2x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 +by 2 2 一 4y 3 2 ，求： (1)常数 a，b； (2)正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
