1、考研数学三（线性代数）-试卷 27 及答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PALP 1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量
2、D.A 一定为 n 阶实对称矩阵4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 是正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A 1 +B 1C.A * +B *D.AB二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 ， 为三维非零列向量
3、，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值；(2)求矩阵 A（分数：2.00）_12.设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 （分数：2.00）_13.设 n 阶矩阵
4、A 满足(aW 一 A)(bEA)=0 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_14.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_15.设 A= （分数：2.00）_16.设 A= （分数：2.00）_17.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_18.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 AB， （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设 A= （分
5、数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 27 答案解析(总分：46.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.矩阵 A 与单位矩阵 E 合同 B.矩阵 A 的特征值都是实数C.存在可逆矩阵 P，使 PALP 1 为对角阵D.存在正交阵 Q，使 Q T AQ 为对角阵解析：解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同
6、，选 A3.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选 C4.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：
7、因为 ， 为非零向量，所以 A= T 0，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A 2 X= T T X=O= 2 X 得 =0， 因为 r(OEA)=r(A)=1，所以 A的线性无关的特征向量个数为 3，应选 C5.设 A，B 是正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )（分数：2.00）A.C T ACB.A 1 +B 1C.A * +B *D.AB 解析：解析：显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A 1 ，B 1 及 A * ，B * 都是正定的，对任意 X0，X T (C T AC)X=(
8、CX) T A(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A 1 +B 1 与 A * +B * 都是正定矩阵，选 D二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 AB，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：因为 AB，所以7.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 =
9、 3 =5 对应的特征向量为 8.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 A 2 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 一 3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 =tr(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =09.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：由 A= 得三、解答题(总题数：14，分数：28.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过
10、程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值；(2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 一 3A=OA3EA=0=0，3，因为 r(A)=1，所以 1 =3， 2 = 3 =0 (2)设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 一 x 3 =0，则 0 对应的特征向量为 2 =(一 1，1，0) T ， 3 =(，1，0，1) T ，今 )解析：12.设三阶实对称矩阵 A
11、 的特征值为 1 =8， 2 = 3 =2，矩阵 A 的属于特征值 1 =8 的特征向量为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1 2 =一1+k=0k=1 1 =8 对应的特征向量为 1 = 令 2 = 3 =2 对应的另一个特征向量为 3 = ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x 1 +x 2 +x 3 =0 )解析：13.设 n 阶矩阵 A 满足(aW 一 A)(bEA)=0 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aE 一 A)(bE 一 A)=O，得aEAbEA=0，则aEA=0 或者 同
12、时r(aEA)+r(bE 一 A)rE(aEA)一(bEA)=rE(a 一 b)E=n 所以 r(aEA)+r(bE 一 A)=n (1)若aEA0，则 r(aEA)=n，所以 r(bEA)=0，故 A=bE (2)若bE 一 A0，则 r(bEA)=n，所以 r(aEA)=0，故 A=aE (3)若aEA=0 且bE 一 A=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aE 一 A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(aEA)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(aEA)个； 方程组(bEA)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bEA)个线性无关的
13、解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个 因为 n 一 r(aEA)+nr(bEA)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：14.设非零 n 维列向量 ， 正交且 A= T 证明：A 不可以相似对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则 AX=X，显然 A 2 X= 2 X， 因为 ， 正交，所以 A 2 = T T =O，于是 2 X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1 = 2 = n =0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(
14、A)1，所以 n 一r(0EA)n 一 1n，所以 A 不可相似对角化)解析：15.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由E 一 A=( 一 1) 2 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =一 2 当 =1时，由(EA)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 当 =一 2 时，由(一 2E 一 A)X=0 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化 (2) )解析：16.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA= =(+1)( 一 1) 2 得 1 =一 1， 2 = 3 =1， 因为A
15、 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)=1， 由 EA= )解析：17.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =0证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 AX=X(X0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注意 到X，故 k =0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0EA)=r(A)1，所以方程组(0EA)X=0的基础解系至多含 n 一 1 个线性 无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化)解析：18.设 A 为三阶矩阵，A i =i i (i=1，2，3)， （分数：2.
16、00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= 0 ，即 ，解得 0 =4，x=10，y=一 9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 = )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 AB， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1 = 2 =2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2EA)=1，而 2EA= )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0 (2)由E 一 A= =(+1)( 一 1)( 一 2)=0 得 A，B 的特征值为 1 =一 1， 2 =1， 3 =2 当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得 1 =(0，一 1，1) T ； 当 =1 时，由(EA)X=0得 2 =(0，1，1) T ； )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
