1、考研数学三（线性代数）-试卷 25 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 与 B 的秩 【 】（分数：2.00）A.必有一个为零B.均小于 nC.一个小于 n，一个等于 nD.均等于 n3.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 为 n(n
2、2)阶可逆矩阵，变换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则【 】（分数：2.00）A.交换 A*第 1 列与第 2 列得 B*B.交换 A*第 1 行与第 2 行得 B*C.交换 A*第 1 列与第 2 列得一 B*D.交换 A*第 1 行与第 2 行得一 B*5.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B 一 C 为【 】（分数：2.00）A.EB.一 EC.AD.一 A二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.已知向量组 1 =(1，2，3，4)， 2 =(2，3，4，5)， 3
3、=(3，4，5，6)， 4 =(4，5，6，7)，则该向量组的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 a i b i 0(i=1，2，n)，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2， （分数：2.00）填空项 1:_9.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1)， 2 =(2，0，t，0)， 3 =(0，一 4，5，一 2)的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.若向量组()： 1 =(1，0，0) T ， 2 =(11，0) T ， 3 =(1，1，1) T 可由向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，则()
4、的秩为（分数：2.00）填空项 1:_11.若向量组 1 =(1，1，) T ， 2 =(1，1) T ， 3 =(，1，1) T 线性相关，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.若向量组 1 =(1，一 a，1，1) T ， 2 =(1，1，一 a，1) T ， 3 =(1，1，1，一 ) T 线性无关，则实数 的取值范围是（分数：2.00）填空项 1:_13.设 3 阶方阵 A 的特征值 1 ， 2 ， 3 互不相同， 1 ， 2 ， 3 依次为对应于 1 ， 2 ， 3 的特征向量，则向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充分必要条件是
5、 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.设实对称矩阵 A 满足 A 2 =O，证明：A=O（分数：2.00）_16.设 B 是元素全都为 1 的，n 阶方阵(n1)证明： （分数：2.00）_17.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 =E，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 A n (n=2，3，)；（分数：2.00）_(2).若方阵 B 满足 A 2 +ABA=E，求 B（分数：2.00）_18.设有矩
6、阵 A mn ，B nm ，已知 E n 一 AB 可逆，证明：E n BA 可逆，且(E n BA) -1 =E n +B(E m 一 AB) -1 A（分数：2.00）_19.设 4 阶实方阵 A=(A ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0，求A（分数：2.00）_20.实 a 为实的，n 维非零列向量，E 为 n 阶单位矩阵，证明：矩阵 （分数：2.00）_21.设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 （分数：2.00）_22.设矩阵 （分数：2.00）_23.设矩阵 A 的
7、伴随矩阵 （分数：2.00）_24.已知矩阵 （分数：2.00）_25.已知 AP=PB，其中 （分数：2.00）_26.设 n 阶矩阵 A 满足 AA T =I，其中 I 为 n 阶单位矩阵，且A0，求A+I（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 25 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 与 B 的秩 【 】（分数：2.00）A.必有一个为零B.均小于 n C.一个小于 n，一个等
8、于 nD.均等于 n解析：3.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为【 】 （分数：2.00）A.B.C.D.解析：4.设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，变换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，则【 】（分数：2.00）A.交换 A*第 1 列与第 2 列得 B*B.交换 A*第 1 行与第 2 行得 B*C.交换 A*第 1 列与第 2 列得一 B* D.交换 A*第 1 行与第 2 行得一 B*解析：5.设 A，B，C 均为 n
9、阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B 一 C 为【 】（分数：2.00）A.E B.一 EC.AD.一 A解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.已知向量组 1 =(1，2，3，4)， 2 =(2，3，4，5)， 3 =(3，4，5，6)， 4 =(4，5，6，7)，则该向量组的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 7.设 a i b i 0(i=1，2，n)，则矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由8.设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2， （分数：2.0
10、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因 B 为满秩方阵，故 r(AB)=r(A)=29.已知向量组 1 =(1，2，一 1，1)， 2 =(2，0，t，0)， 3 =(0，一 4，5，一 2)的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由 10.若向量组()： 1 =(1，0，0) T ， 2 =(11，0) T ， 3 =(1，1，1) T 可由向量组()： 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表示，则()的秩为（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由条件，有 3=r()r(11)3，r(
11、)=311.若向量组 1 =(1，1，) T ， 2 =(1，1) T ， 3 =(，1，1) T 线性相关，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 或一 2）解析：解析：由行列式 1 3 3 =一( 一 1) 2 (+2)=0，=1 或 =一 212.若向量组 1 =(1，一 a，1，1) T ， 2 =(1，1，一 a，1) T ， 3 =(1，1，1，一 ) T 线性无关，则实数 的取值范围是（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 1 3 3 = 13.设 3 阶方阵 A 的特征值 1 ， 2 ， 3 互不相同， 1
12、， 2 ， 3 依次为对应于 1 ， 2 ， 3 的特征向量，则向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关的充分必要条件是 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 3 0）解析：解析：设 k 1 1 +k 2 A( 1 + 2 )+k 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，由 A j = j j (j=1，2，3)，得 k 3 3 +k 2 ( 1 1 + 2 2 )+k3( 2 1 1 + 2 2 2 + 2 3 3 )=0，即(k 1 + 1 k 3 + 2 1 k 3 ) 1 +( 2 k 2 +
13、 2 2 k 3 ) 2 +( 2 3 k 3 ) 3 =0，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.设实对称矩阵 A 满足 A 2 =O，证明：A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =AA T =0 的(i，i)元素为 )解析：16.设 B 是元素全都为 1 的，n 阶方阵(n1)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 B=EO=E(其中 B 2 =nB)，=(EB) -1 = )解析：17.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 =E
14、，B 2 =E，A+B=0，证明：A+B=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =E， =A一1，同理有B=1，又A=一B，=AB=一 1故A+B=AE+EB=AB 2 +A 2 B=A(B+A)B=AB+AB=一A+B，=A+B=0)解析：设 （分数：4.00）(1).求 A n (n=2，3，)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =4E=A 2m =(A 2 ) m =4 m E，A 2m+1 =A 2m A=4 m A(m=1，2，)解析：(2).若方阵 B 满足 A 2 +ABA=E，求 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =4E，=A -
15、1 = B=A -1 (E+AA 2 )=A -1 +EA= )解析：18.设有矩阵 A mn ，B nm ，已知 E n 一 AB 可逆，证明：E n BA 可逆，且(E n BA) -1 =E n +B(E m 一 AB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只要验证(E n BA)E+B(E n 一 AB) -1 A=E n )解析：19.设 4 阶实方阵 A=(A ij ) 44 满足：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，3，4，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0，求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a ij =A ij
16、(i，j=1，2，3，4)，=A T =A * ，=A=A T =A * =A 3 ，=A=0，1，一 1，又 )解析：20.实 a 为实的，n 维非零列向量，E 为 n 阶单位矩阵，证明：矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记正常数 ，则 A=Ebaa T ，=A T =E T 一 b(a T ) T a T =Ebaa T =A，故 A 为对称矩阵，又由 )解析：21.设矩阵 A、B 满足关系式 AB=A+2B，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：化简成 A(CB) T =E，故 A=(CB) T -
17、1 =(CB) -1 T = )解析：23.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由A * =A n-1 ，有A 3 =8，得A=2给题设方程两端右乘 A，得AB=B+3A，两端左乘 A * 并利用 A * A=AE=2E，得 2B=A * B+6E，=(2EA * )B=6E，=B=6(2EA * ) -1 )解析：24.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AB)X(AB)=E=X=(AB) -1 (AB) -1 = )解析：25.已知 AP=PB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 P 可逆，得 A=PBP -1 )解析：26.设 n 阶矩阵 A 满足 AA T =I，其中 I 为 n 阶单位矩阵，且A0，求A+I（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+I=A+AA T =A(I+A T )=AI+A T =A(I+A T ) T =AI+A=AA+I=(1 一A)A+I=0，又 1 一A0=A+T=0)解析：
