1、考研数学三(线性代数)-试卷 24 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 n 维行向量 a= (分数:2.00)A.OB.一 EC.ED.E+ T 3.设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 A,B 可逆,则 A+B 可逆B.若 A,B 可逆,则 AB 可逆C.若 A+B 可逆,则 AB 可逆D.若 A+B 可逆,则 A,B 都可逆4.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,下列结论不正确的是( )(分数:2.00)A
2、.AB 为对称矩阵B.设 A,B 可逆,则 A 1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵5.设 A,B 皆为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n,则 B=0D.若 AB0,则A0 或B06.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B,则( )(分数:2.00)A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0D.若A0 则B07.设 A 为 mn 矩阵,C 为 n 阶矩阵,B=AC,且 r(A)=r,r(B)=r 1 ,则( )(分
3、数:2.00)A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定8.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,且 mn,令 r(AB)=r,则( )。(分数:2.00)A.rmB.r=mC.rmD.rm9.设 A 为四阶非零矩阵,且 r(A * )=1,则( )(分数:2.00)A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=410.设 A,B 都是 n 阶矩阵,其中 B 是非零矩阵,且 AB=O,则( )(分数:2.00)A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.A=011.设 A,B 分别为 m 阶和 n
4、 阶可逆矩阵,则 的逆矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.12.设 (分数:2.00)A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 113.设 (分数:2.00)A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 1 AP 1D.B=P 1 1 AP 2 1二、解答题(总题数:16,分数:32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_15.设 (分数:2.00)_16.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 2 =A,B 2 =B,(A+B) 2 =A+B证明:AB=O,(分数:2.0
5、0)_17.设 AX=A+2X,其中 A= (分数:2.00)_18.设 A= (分数:2.00)_19.设四阶矩阵 B 满足 (分数:2.00)_20.设 A,B 满足 A * BA=2BA 一 8E,且 A= (分数:2.00)_21.设 B= (分数:2.00)_22.设 A= (分数:2.00)_23.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求:(1)(A+2E) 1 ;(2)(A+4E) 1 (分数:2.00)_24.设 A 为 n 阶矩阵,且 A k =0,求(EA) 1 (分数:2.00)_25.设 A,B 为 n 阶矩阵,P= (分数:2.00)_26.设 A 为
6、 n 阶可逆矩阵,A 2 =A证明:A=A * (分数:2.00)_27.设 A 为 n 阶矩阵,且 A 2 一 2A 一 8E=0证明:r(4E 一 A)+r(2E+A)=n(分数:2.00)_28.证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一(分数:2.00)_29.设 A 是 mn 矩阵,若 A T A=0,证明:A=0(分数:2.00)_考研数学三(线性代数)-试卷 24 答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:13,分数:26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 n 维行向量 a= (分数:
7、2.00)A.OB.一 EC.E D.E+ T 解析:解析:由 T = 3.设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 A,B 可逆,则 A+B 可逆B.若 A,B 可逆,则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆,则 AB 可逆D.若 A+B 可逆,则 A,B 都可逆解析:解析:若 A,B 可逆,则A0,B0,又AB=AB,所以AB0,于是 AB 可逆,选 B4.设 A,B 为 n 阶对称矩阵,下列结论不正确的是( )(分数:2.00)A.AB 为对称矩阵 B.设 A,B 可逆,则 A 1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析:解析:
8、由(A+B) T =A T +B T =A+B,得 A+B 为对称矩阵;由(A 1 +B 1 ) T =(A 1 ) T +(B 1 ) T =A 1 +B 1 ,得 A 1 +B 1 为对称矩阵;由(kA) T =kA T =kA,得 kA 为对称矩阵,选 A5.设 A,B 皆为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n,则 B=0 D.若 AB0,则A0 或B0解析:解析:取 A= ,显然 AB=0,故(A)、(B)都不对,取 A=6.n 阶矩阵 A 经
9、过若干次初等变换化为矩阵 B,则( )(分数:2.00)A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0 D.若A0 则B0解析:解析:因为 A 经过若干次初等变换化为 B,所以存在初等矩阵 P 1 ,P s ,Q 1 ,Q t ,使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ,而 P 1 ,P s ,Q 1 ,Q t 都是可逆矩阵,所以 r(A)=r(B),若A=0,即 r(A)n,则 r(B)n,即B=0,选 C7.设 A 为 mn 矩阵,C 为 n 阶矩阵,B=AC,且 r(A)=r,r(B)=r 1 ,则( )(分数:2.00)A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩
10、阵 C 的情况而定解析:解析:因为 r 1 =r(B)一 r(AC)r(A)=r,所以选 C8.设 A 为 mn 矩阵,B 为 nm 矩阵,且 mn,令 r(AB)=r,则( )。(分数:2.00)A.rmB.r=mC.rm D.rm解析:解析:显然 AB 为 m 阶矩阵,r(A)n,r(B)n,而 r(AB)minr(A),r(B)nm,所以选 C9.设 A 为四阶非零矩阵,且 r(A * )=1,则( )(分数:2.00)A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析:解析:因为 r(A * )=1,所以 r(A)=41=3,选 C10.设 A,B 都是 n 阶矩阵
11、,其中 B 是非零矩阵,且 AB=O,则( )(分数:2.00)A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.A=0 解析:解析:因为 AB=0,所以 r(A)+r(B)n,又因为 B 是非零矩阵,所以 r(B)1,从而 r(An,于是A=0,选 D11.设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 的逆矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:12.设 (分数:2.00)A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析:解析:P 1 =E 12 ,P 2 =E 23 (2),显然
12、 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列,再将第 1 及第 2 列对调,所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ,选 D13.设 (分数:2.00)A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 1 AP 1D.B=P 1 1 AP 2 1 解析:解析:显然 二、解答题(总题数:16,分数:32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:15.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)一 2B=(一 2) 3 B=一 8; (2) )解析:16.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 A 2 =A,B 2 =B,(
13、A+B) 2 =A+B证明:AB=O,(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 =A,B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=0 即 AB=一 BA,AB=一 BA 两边左乘 A 得 AB=ABA,再在 AB=一 BA 两边右乘 A 得 ABA=一 BA,则 AB=BA,于是 AB=0)解析:17.设 AX=A+2X,其中 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:18.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 AX+AE=A * +X 得 (AE)X=A * 一AE=A * 一 AA * =(E 一
14、A)A * ,因为E 一 A=一 30,所以 E 一 A 可逆,于是 X=一 A * ,由A=6 得 X=一 6A 1 , )解析:19.设四阶矩阵 B 满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设 A,B 满足 A * BA=2BA 一 8E,且 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A * BA=2BA 一 8E 得 AA * BA=2ABA 一 8A, 即一 2BA=2ABA 一 8A,整理得(A+E)B=4E,所以 B=4(A+E) 1 = )解析:21.设 B= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:22.设 A= (分数:2.00)
15、_正确答案:(正确答案: )解析:23.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求:(1)(A+2E) 1 ;(2)(A+4E) 1 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 A 2 +2A 一 3E=O 得 A(A+2E)=3E, A(A+2E)=E,根据逆矩阵的定义,有(A+2E) 1 = (2)由 A 2 +2A 一 3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=0,则(A+4E) 1 =一 )解析:24.设 A 为 n 阶矩阵,且 A k =0,求(EA) 1 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E k 一 A k =(EA)(E+A+A 2 +A k1
16、 ),又 E k 一 A k =E,所以(EA) 1 =E+A+A 2 +A k1 )解析:25.设 A,B 为 n 阶矩阵,P= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)PQ= (2)因为P=AB,所以当 P 可逆时,AB0,而PQ=ABE,即 )解析:26.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A 2 =A证明:A=A * (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AA * =AE,又已知 A 2 =AE,所以 AA * =A 2 ,而 A 可逆,故 A=A * )解析:27.设 A 为 n 阶矩阵,且 A 2 一 2A 一 8E=0证明:r(4E 一 A)+r(2E+A)=n(分数:
17、2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 2A 一 8E=0 得(4E 一 A)(2E+A)=0,根据矩阵秩的性质得 r(4E 一 A)+r(2E+A)n又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n,所以有 r(4EA)+r(2E+A)=n)解析:28.证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设存在可逆阵 B,C,使得 AB=AC=E,于是 A(BC)=0,故 r(A)+r(BC)n,因为A 可逆,所以 r(A)=n,从而 r(BC)=0,BC=0,于是 B=C,即 A 的逆矩阵是唯一的)解析:29.设 A 是 mn 矩阵,若 A T A=0,证明:A=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 r(A)=r(A T A),而 A T A=0,所以 r(A)=0,于是 A=0)解析: