1、考研数学三（线性代数）-试卷 24 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 a= （分数：2.00）A.OB.一 EC.ED.E+ T 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A
2、.AB 为对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A 1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0D.若 AB0，则A0 或B06.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0D.若A0 则B07.设 A 为 mn 矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分
3、数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定8.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )。（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm9.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=410.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.A=011.设 A，B 分别为 m 阶和 n
4、 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 113.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 1 AP 1D.B=P 1 1 AP 2 1二、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=O，（分数：2.0
5、0）_17.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.设四阶矩阵 B 满足 （分数：2.00）_20.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）_21.设 B= （分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) 1 ；(2)(A+4E) 1 （分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =0，求(EA) 1 （分数：2.00）_25.设 A，B 为 n 阶矩阵，P= （分数：2.00）_26.设 A 为
6、 n 阶可逆矩阵，A 2 =A证明：A=A * （分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=0证明：r(4E 一 A)+r(2E+A)=n（分数：2.00）_28.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_29.设 A 是 mn 矩阵，若 A T A=0，证明：A=0（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 24 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 a= （分数：
7、2.00）A.OB.一 EC.E D.E+ T 解析：解析：由 T = 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB=AB，所以AB0，于是 AB 可逆，选 B4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A 1 +B 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：
8、由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A 1 +B 1 ) T =(A 1 ) T +(B 1 ) T =A 1 +B 1 ，得 A 1 +B 1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对称矩阵，选 A5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0 D.若 AB0，则A0 或B0解析：解析：取 A= ，显然 AB=0，故(A)、(B)都不对，取 A=6.n 阶矩阵 A 经
9、过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0 D.若A0 则B0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0，选 C7.设 A 为 mn 矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩
10、阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 =r(B)一 r(AC)r(A)=r，所以选 C8.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )。（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析：显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选 C9.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=1，所以 r(A)=41=3，选 C10.设 A，B 都是 n 阶矩阵
11、，其中 B 是非零矩阵，且 AB=O，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(AB)D.A=0 解析：解析：因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(An，于是A=0，选 D11.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：12.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然
12、 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选 D13.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 1 AP 1D.B=P 1 1 AP 2 1 解析：解析：显然 二、解答题(总题数：16，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)一 2B=(一 2) 3 B=一 8； (2) )解析：16.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(
13、A+B) 2 =A+B证明：AB=O，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=0 即 AB=一 BA，AB=一 BA 两边左乘 A 得 AB=ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A 得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0)解析：17.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+AE=A * +X 得 (AE)X=A * 一AE=A * 一 AA * =(E 一
14、A)A * ，因为E 一 A=一 30，所以 E 一 A 可逆，于是 X=一 A * ，由A=6 得 X=一 6A 1 ， )解析：19.设四阶矩阵 B 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * BA=2BA 一 8E 得 AA * BA=2ABA 一 8A， 即一 2BA=2ABA 一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E) 1 = )解析：21.设 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 A= （分数：2.00）
15、_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求：(1)(A+2E) 1 ；(2)(A+4E) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A 2 +2A 一 3E=O 得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 1 = (2)由 A 2 +2A 一 3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=0，则(A+4E) 1 =一 )解析：24.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =0，求(EA) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k 一 A k =(EA)(E+A+A 2 +A k1
16、 )，又 E k 一 A k =E，所以(EA) 1 =E+A+A 2 +A k1 )解析：25.设 A，B 为 n 阶矩阵，P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PQ= (2)因为P=AB，所以当 P 可逆时，AB0，而PQ=ABE，即 )解析：26.设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2 =A证明：A=A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AA * =AE，又已知 A 2 =AE，所以 AA * =A 2 ，而 A 可逆，故 A=A * )解析：27.设 A 为 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=0证明：r(4E 一 A)+r(2E+A)=n（分数：
17、2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 2A 一 8E=0 得(4E 一 A)(2E+A)=0，根据矩阵秩的性质得 r(4E 一 A)+r(2E+A)n又 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4EA)+r(2E+A)=n)解析：28.证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设存在可逆阵 B，C，使得 AB=AC=E，于是 A(BC)=0，故 r(A)+r(BC)n，因为A 可逆，所以 r(A)=n，从而 r(BC)=0，BC=0，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的)解析：29.设 A 是 mn 矩阵，若 A T A=0，证明：A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=r(A T A)，而 A T A=0，所以 r(A)=0，于是 A=0)解析：
