1、考研数学三（线性代数）-试卷 22 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解3.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分
2、数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 Ax=b 一定有解4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，Ax=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 45.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组
3、AX=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1D. 1 + 2 + 3 ，2 1 一 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 一 5 36.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A 为 n 阶矩阵，A
4、 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 B0 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且
5、1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）填空项 1:_13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设向量组 1 = （分数：2.00）_17.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交，证明：向量 为零向量（分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ，
6、2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_19.求方程组 （分数：2.00）_20.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_21.设 1 = （分数：2.00）_22. 1 = ， 2 = ， 3 = ， 4 = ， 5 = （分数：2.00）_23.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系（分数：2.00）_设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为
7、AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_24.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 一 3 1 一 3 一 5 ， 4 2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_25.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3， 设 1 + 2 = 2 + 3 = （分数：2.00）_26.A nm =( 1 ， 2 ， n )，B mn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当
8、r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解？（分数：2.00）_27.设 1 = （分数：2.00）_设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n 一 1) n 一 1 =0，b= 1 + 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 22 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项
9、中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解B.若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解C.若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解D.若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解 解析：解析：方程组 无解，故(A)不对； 方程组 无解，故(B)不对； 方程组 只有零解，故(C)不对； 若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)=3.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2
10、.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 Ax=b 一定有解 解析：解析：因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则 =m，于是 r(A)=4.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，Ax=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4 D. 3 ， 4解析：解析：
11、因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以 r(A)=3，于是 r(A * )=1因为 A * A=|A|E=0，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X=0 的一组解，又因为一 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X=0 的一个基础解系，应选(C)5.设向量组 1 ， 2 ， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX=0 的基础解系的是( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3C. 1 +2 2
12、 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 一 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 一 5 3解析：解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)6.设 1 ， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， 1 ， 2 为非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：选(D)，因为 1 ， 1 + 2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性
13、方程组通解结构，选(D)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 ）解析：解析：因为 Ax=0 有非零解，所以|A|=0，而|A|= =一(a+4)(a 一 6)且 a0，所以 a=一 4 因为 r(A)=2，所以 r(A * )=1 因为 A * A=|A|E=0，所以 A 的列向量组为 A * X=0 的解，故 A * X=0 的通解为 X=C 1 8.设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(
14、其中是为任意常数)）解析：解析：因为 A 的各行元素之和为零，所以 =0，又因为 r(A)=n 一 1，所以 为方程组 AX=0的基础解系，从而通解为9.设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C(Ak k1 ，Ak k2 ，A ki ，A kn ) T (C为任意常数)）解析：解析：因为|A|=0，所以 r(A)n，又因为 A ki 0，所以 r(A * )1，从而 r(A)=n 一 1，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA * =|A|E=0，所以 A * 的列向量为方程组 AX
15、=0 的解向量，故AX=0 的通解为 C(Ak k1 ，Ak k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)10.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 +k 2 +k s =1）解析：解析：k 1 +k 2 +k s =1显然 k 1 1 +k 2 s +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 =A 2 =A s =b，所以(k 1 +k 2 +k s
16、 )b=b，注意到 b0，所以 k 1 +k 2 +k s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组Ax=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =111.设 B0 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：令12.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且 1 + 2 = ， 2 + 3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(k 为任意常数)）解析：解析：因为 r(A)=3，所以方程
17、组 AX=b 的通解为 k+，其中 = 3 一 1 一( 2 + 3 )一( 1 + 2 )= ，= 2 + 3 )= ，于是方程组的通解为 X= 13.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：解析：因为方程组无解，所以 r(A)r(A)3，于是 r(A)3，即|A|=0由|A|=3+2a 一 a 2 =0，得 a=一 1 或 a=3当 a=3 时，因为 r(A)= =23，所以方程组有无穷多个解；当 a=一 1 时， ， 因为 r(A) 14.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 因为原方程组有解，所以 r(
18、A)= 三、解答题(总题数：15，分数：32.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设向量组 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是| 1 ， 2 ， 3 |=0，而| 1 ， 2 ， 3 |= )解析：17.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交，证明：向量 为零向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(反证法)不妨设 0，令 k 1 1 +k 2 2 +k n n +k 0 =0，上式两边左乘 T 得 k 1 T 1 +k 2 T 2 +k n T n)
19、解析：18.设 A 为 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 n 维列向量，其中 1 0，且 A 1 = 1 ，A 2 = 1 + 2 ，A 3 = 2 + 3 ，证明： 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 = 1 得(A 一 E) 1 =0； 由 A 2 = 1 + 2 得(A 一 E) 2 = 1 ；由 A 3 = 2 + 3 得(A 一 E) 3 = 2 ， 令 k 1 1 +k 2 )解析：19.求方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程组的同解方程组为 故原方程组的通解为 )解析：20.参数 a 取何值时，线性方程组 （分
20、数：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 a=1，则 原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1) T +(2，一 1，0)(k为任意常数)； 若 a1，则 当 a=2 时，方程组无解； 当 a=一 2 时， )解析：21.设 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线 性无关解，所以 4 一 r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 3 一 1 )+ 1 =k 1 )解析：22. 1 = ， 2 = ， 3 = ， 4 = ， 5 = （分数：2.00）_正确答案：
21、(正确答案：令 )解析：23.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX=0 )解析：设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一4，3，a+1) T 皆为 AX=0 的解（分数：4.00）(1).求常数 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，
22、2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T ，(2，一 4，3，a+1) T 线性相关，即 )解析：(2).求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(1，一 2，1，2) T ，(1，0，5，2) T ，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k 1 (1，一 2，1，2) T +k 2 (1，0，5，2) T +k 3 (一 1，2，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数)解析：24.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )，其中 1 ， 3 ， 5 线性无关，且 2 一 3 1
23、 一 3 一 5 ， 4 2 1 + 3 +6 5 ，求方程组 AX=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 3 ， 5 线性无关，又 2 ， 4 可由 1 ， 3 ， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量)解析：25.四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1 ， 2 ， 3 且 r(A)=3， 设 1 + 2 = 2 + 3 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=3，所以方程组 Ax=b 的通解形式为 k+，其中 为 AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据
24、方程组解的结构的性质，=( 2 + 3 )一( 1 + 2 )= 3 一 1 = ，= ( 1 + 2 )= 所以方程组 AX=b 的通解为 )解析：26.A nm =( 1 ， 2 ， n )，B mn =( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=( 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 )=( 1 ， 2 ， n ) 由 r(A)=n 可知|A|0，而|B|=|A| )解析：27.设 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3
25、 +x 4 4 =(*) =( 1 ， 2 ， 3 ， 4 |)= (1)当 a=一 1，b0 时，因为 r(A)=2 )解析：设 n 阶矩阵 A=( 1 ， 2 ， n )的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1 +2 2 +(n 一 1) n 一 1 =0，b= 1 + 2 + n （分数：4.00）(1).证明方程组 AX=b 有无穷多个解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n 一 1，又 b= 1 + 2 + n ，所以 =n 一 1，即 r(A)= )解析：(2).求方程组 AX=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 +2 2 +(n 一 1) n 一 1 =0，所以 1 +2 2 +(n 一 1) n一 1 + 0 n =0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n 一 1，0) T ，又因为 b= 1 + 2 + n ，所以方程组 AX=b 有特解 =(1，1，1) )解析：
