1、考研数学三（线性代数）-试卷 20 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 n 个不同的特征值B.A 有 n 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i EA)=nr iD.A 是实对称矩阵4.设 （分数：2.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，DD.A，C5.
2、设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A 1 B 1 正确命题的数量为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 C. 1 ， 3 ， 2 D. 1 + 2 ， 1 2 ， 3 7.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与第 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是 ( ) （分数：
3、2.00）A.B.C.D.9.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为 r，符号差为 s，且 f 和f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0D.r 是奇数，s=010.设 A=E2XX T ，其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正交阵D.正定阵二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是
4、k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_13.与 1 =1，2，3，1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 1 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 =1，3，2 T ，=1，1，2 T ，A=E T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1（分数：2
5、.00）填空项 1:_18.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)证明： （分数：2.00）_21.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_22.设 =a 1 ，a 2
6、，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P 1 AP=A（分数：2.00）_23.设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆 P，使得 P 1 AP=A（分数：2.00）_24.设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求： (1)A 2 ； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_25.设 a 0 ，a 1 ，a n1
7、 是 n 个实数，方阵 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，1 T ， 2 =1，2，2 T ， 3 =2，1，2 T 又 =1，2，3 T 计算：(1)A n 1 ；(2)A n （分数：2.00）_28.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_29.已
8、知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_30.设矩阵 A= （分数：2.00）_31.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_32.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A证明：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_33.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：2.00）_34.设
9、 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_35.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P， ，使得 f(x，y)=2u 2 +2 （分数：2.00）_36.已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 2y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 （分数：2.00）_37.设 A 为 n 阶正定矩阵证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_38.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同证明： （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 20 答案解析(总分：76.
10、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因(D)是对称阵，必相似于对角阵，(C)有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A)，(B)的特征值均为 =1(二重，)，=2(单根)当 =1 时，r(EA)= =2只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵 而 =1 时，r(EB)=r3.A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 n 个不
11、同的特征值B.A 有 n 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i EA)=nr i D.A 是实对称矩阵解析：解析：A 相似于对角阵A 有 n 个线性无关特征向量 对每个 r i 重特征值 i ，r( i EA)=nr i ， 即有 r i 个线性无关特征向量(共 n 个线性无关特征向量) (A)，(D)是充分条件，但非必要，(B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关4.设 （分数：2.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，D D.A，C解析：解析：矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角
12、化 矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩 所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化 矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A 1 B 1 正确命题的数量为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B，故 P 1 A 2 P=B 2 ， P T A T (P T ) 1 =B T ， P 1 A 1 P=B 1 ， 所
13、以 A 2 B 2 ，A T B T ，A 1 B 1 又由于 A 可逆，可知 A 1 (AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)6.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 C. 1 ， 3 ， 2 D. 1 + 2 ， 1 2 ， 3 解析：解析：若 P 1 AP=A= ，P= 1 ， 2 ， 3 ，则有 AP=PA，即 A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 7.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与第 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )
14、（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意，E ij AE ij =B其中 因 E ij 是可逆阵，E ij AE ij =B，故 AB； E ij 可逆，且 E ij =E ij 1 ，则 E ij AE ij =E ij 1 AE ij =B，故 AB； E ij 是对称阵，E ij =E ij T ，则 E ij AE ij =E ij T AE ij ，故 A B 因此 AB，A 8.下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因 f=X T AX=x 1 2 +2x 1 x 2 +x 3 2 =(x 1 +x 2 ) 2 x
15、2 2 +x 3 2 =y 1 2 +y 2 2 y 3 2 ，故选(B)9.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为 r，符号差为 s，且 f 和f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0 D.r 是奇数，s=0解析：解析：设 f 的正惯性指数为夕，负惯性指数为 q，f 的正惯性指数为 p 1 ，负惯性指数为 q 1 ，则有 p=q 1 ，q=p 1 ，又 f 10.设 A=E2XX T ，其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正
16、交阵D.正定阵 解析：解析：A T =(E2XX T ) T =E2XX T =A，A 是对称阵； A 2 =(E2XX T ) 2 =E4XX T +4XX T XX T =E，A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A 2 =AA T =E，A 是正交阵； AX=(E2XX T )X=X，X0，=1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=4）解析：解析：因 = 3 (4)=0，得 =4 或有 AX=4X，即 12.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应
17、于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1kr）解析：13.与 1 =1，2，3，1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 B=x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 T ，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有 故 nr(A)=43=1，则 Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为1，1，1，0 T ，将其单位化，得 14.已知 1 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：
18、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 是矩阵 A 1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A 1 = 0 ，于是 = 0 A，即 15.已知 =1，3，2 T ，=1，1，2 T ，A=E T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T )，其中 tr( T )= T =6故 A=E T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 716.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：A ，存在可逆阵 P，使得
19、 p 1 AP= r(AE)=r(PAP 1 E)=r(P(AE)P 1 =r(AE)=r =1， r(A+2E)=r(P(A+2E)P 1 )=r(A+2E)=r 17.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E）解析：解析：因 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，A 3 = 3 ，合并成矩阵形式有 A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 是可逆阵，故 A
20、= 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 1 =E18.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t*）解析：解析：f 的对应矩阵 A= f 正定，即 A 正定的顺序主子式大于 0，即 取公共部分，知 t 的取值范围是t 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn
21、)证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =A，A 的特征值取值为 1，0，由 AA 2 =A(EA)=O 知 r(A)+r(EA)n， r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n， 故，r(A)+r(EA)=n，r(A)=r，从而 r(EA)=nr 对=1，(EA)X=0，因 r(EA)=nr，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1 ， 2 ， r ； 对=0，(0EA)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 nr 个线性无关特征向量，设为 r+1 ， r+2 ， n 故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ， 使得 P 1 AP= )解析：21.设 A，B 均为
22、 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P 1 AP=diag( 1 ， 2 ， n )=A 1 ，其中 i ，i=1，2，n 是 A 的特征值，且 i j (ij) 又 AB=BA，故P 1 APP 1 BP=P 1 BPP 1 AP，即 A 1 P 1 BP=P 1 BPA 1 设 P 1 BP=(c ij ) mn ，则 比较对应元素 i c ij = j =c ij ，即( i j )c ij =0， i j (ij)，得 c ij =0于是 P
23、1 BP= )解析：22.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P 1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求 A 的特征值 利用特征值的定义 设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= T = 若 T =0，则 =0，0，故 =0； 若 T 0，式两端左乘 T ， T T =( T ) T =( T ) 因 T 0，故= T = (2)再求 A 的对应于 的特征向量 当 =0 时， (EA)X= =0， 即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0， 得特征向量为(设 a 1 0) 1 =a 2 ，
24、a 1 ，0，0 T ， 2 =a 3 ，0，a 1 ，0 T ， n =a n ，0，a 1 T 当 = 时， (EA)X= =0 由观察知 n =a 1 ，a 2 ，a n T (3)由 1 ， 2 ， n ，得可逆阵P 且 )解析：23.设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆 P，使得 P 1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 (E+ T )= 左乘 T ， T (E+ T )=( T + T T )=(1+ T ) T = T ， 若
25、T 0，则 =1+ T =3；若 T =0，则由式，=1 =1 时，(EA)X= T X= T X= b 1 ，b 2 ,，b n X=0， 即b 1 ，b 2 ，b n X=0，因 T =2，故 0，0，设 b 1 0，则 1 =b 2 ，b 1 ，0，0 T ， 2 =b 3 ，0，b 1 ，0 T ， n1 =b n ，0，0，b 1 T ； =3 时，(3EA)X=(2E T )X=0， n =a 1 ，a 2 ，a n T (2)取 P= 1 ， 2 ， n1 ， n = P 1 AP= )解析：24.设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是
26、非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求： (1)A 2 ； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A= T 和 T =0，有 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T =( T ) T =( T ) T =O，即 A 是幂零阵(A 2 =O) (2)利用(1)A 2 =O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2 =A= 2 因 A 2 =O，所以 2 =0，0，故 =0，即矩阵 A 的全部特征值为 0 (3)A 不能相似于对角
27、阵，因0，0，故 A= T O，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 nrn 个，故 A 不能对角化)解析：25.设 a 0 ，a 1 ，a n1 是 n 个实数，方阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 是 A 的特征值，则 应满足EA=0，即 EA= =0 将第 2 列乘 ，第 3 列乘 2 ，第 n 列乘 n1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得 即 n + a i i =0，即 应满足关系 n = a i i 得证 =1， 2 ， n1 T 是 A 的对应于 的特征向量 (2)因 1 ， 2 ， n
28、 互异，故特征向量 1 ， 2 ， n 线性无关，取可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ，得 P 1 AP= )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于 EA= 对换EA的 1，2 列和 1，2 行，得 EA= )解析：27.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，1 T ， 2 =1，2，2 T ， 3 =2，1，2 T 又 =1，2，3 T 计算：(1)A n 1 ；(2)A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因 A 1 = 1 1 ，故 A
29、n 1 = 1 n 1 ，故 A n 1 =1. 1 = (2)利用 A i = i i 有 A n i = i n i ，将 表成 1 ， 2 ， 3 的线性组合设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ， 即 解得 ，故 )解析：28.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 3x 3 2 +4x 1 x 2 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二次型的矩阵 A= ，则二次型 f 的矩阵表达式 f= T A (2)A
30、的特征多项式AE=(6+)(1)(6)，则 A 的特征值 1 =6， 2 =1， 3 =6 1 6 对应的正交单位化特征向量 p 1 = 2 =1 对应的正交单位化特征向量 p 2 = 3 =6 对应的正交单位化特征向量 p 3 = 令正交矩阵 P=p 1 ，p 2 ，p 3 = 所求正交变换 )解析：29.已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T ，所以 AA T 是对称阵 必要性 若 AA T 正定，r(AA T )=mr(A)
31、，又 r(A mn )m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 A T X=0 只有零解，故对任意 X0，均有 A T X0，故 X T AA T X=(A T X) T (A T X)0， 即 AA T 正定)解析：30.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EA= =(2) 2 ，A 是实对称阵，故存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=A 1 = ，A=QA 1 Q T ， B=(kE+A) 2 =(kE+QA 1 Q T ) 2 =(Q(kE+A 1 )Q T ) 2 =Q(kE+A 1 ) 2 Q T = 故 BA= )解析：31.设 A 为 m 阶
32、实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵证明：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 B T AB 为对称矩阵 B T AB 为正定矩阵 0， T (B T AB)0(B) T A(B)0 )解析：32.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A证明：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义证明显然 B 为对称矩阵对 )解析：33.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：
33、2.00）_正确答案：(正确答案：必要性取 B=A 1 ，则 AB+B T A=E+(A 1 ) T A=2E，所以 AB+B T A 是正定矩阵 充分性 用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量 0 0 使得 A 0 =0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有 0 T (AB+B T A) 0 =(A 0 ) T B 0 + 0 T B T (A 0 )=0， 这与 AB+B T A 是正定矩阵矛盾)解析：34.设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA T =E 有A 2 =1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或1由A+B=0 有AB=1，也有A T B T =1 再考虑到A T (A+B)B T =A T +B T =A+B，所以A+B=A+B，A+B=0故 A+B 不可逆)解析：35.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P， ，使得 f(x，y)=2u 2 +2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x，y
