1、考研数学三（线性代数）-试卷 17 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 A，B，A+B，A 1 +B 1 均为 n 阶可逆阵，则(A 1 +B 1 ) 1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1C.A(A+B) 1 BD.(A+B) 13.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A 1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则
2、 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆4.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =O，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，EA 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆D.A 不可逆，且必有 A 2 =O5.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，BO，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =06.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A 1 C.A n1 D.A n 7.A 是 n 阶
3、方阵，A=3则(A * ) * = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * ( )（分数：2.00）A.A n1 AB.A n+1 AC.A n2 AD.A n+2 A9.设 A nn 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =AEB.(A * ) T A * =A * C.A * (A * ) T =ED.(A * ) T A * =E10.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A 1 ) 2 =A 2 +2AA 1 +(
4、A 1 ) 2B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2A+E二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，c= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则AE= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 =1，2，3，= （分数：2.00）
5、填空项 1:_15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_19.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_20.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A * =(A) * (n2)（分数：2.00）_21.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 3A2E=O
6、证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A 1 （分数：2.00）_22.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O证明：矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_23.设 M= （分数：2.00）_24.设矩阵 A= （分数：2.00）_25.假设 A= （分数：2.00）_26.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_27.设(2EC 1 )A T =C 1 其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_28.设 A= （分数：2.00）_2
7、9.已知 A= （分数：2.00）_30.设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 1 ，b n T (1)计算 AB T 与 A T B； (2)求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )； (3)设 C=EAB T ，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=EBA T AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_31.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_32.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）
8、_33.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 17 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 A，B，A+B，A 1 +B 1 均为 n 阶可逆阵，则(A 1 +B 1 ) 1 等于 ( )（分数：2.00）A.A+BB.A 1 +B 1C.A(A+B) 1 B D.(A+B) 1解析：解析：验算 (A 1 +B 1 )A(A+B) 1 B=(E+B 1
9、A)(A+B) 1 B =B 1 (B+A)(A+B) 1 B=B 1 B=E， 故(A 1 +B 1 ) 1 =A(A+B) 1 B (A 1 +B 1 ) 1 =B 1 (BA 1 +E) 1 =B 1 (B+A)A 1 1 =A(A+B) 1 B3.下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 AB=E，则 A 必可逆，且 A 1 =BB.若 A，B 均为 n 阶可逆阵，则 A+B 必可逆C.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆D.若 A，B 均为 n 阶不可逆阵，则 AB 必不可逆 解析：解析：因 A，B 不可逆，则A=0，B=0，故AB=AB=0，AB 不可逆；(
10、A)中 AB=E，但未指出是方阵，若 ，则 AB=E，但 A，B 均无逆可言；(B)中，取 B=A，则 A+B=AA=O 不可逆；(C)中，取4.设 A 是 n 阶方阵，且 A 3 =O，则 ( )（分数：2.00）A.A 不可逆，EA 不可逆B.A 可逆，但 E+A 不可逆C.A 2 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆 D.A 不可逆，且必有 A 2 =O解析：解析：A 3 =O，有 E 3 +A 3 =(E+A)(A 2 A+E)=E， E 3 A 3 =(EA)(A 2 +A+E)=E， 故 A 2 A+E 及 A 2 +A+E 均可逆，由以上两式知，EA，E+A 也均可逆，故(A)，
11、(B)不成立，同时(D)不成立，例：A= 有 5.设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，BO，则必有 ( )（分数：2.00）A.(A+B) 2 =A 2 +B 2B.B0C.B * =0D.A * =0 解析：解析：AB=O，不一定有 BA=O，故(A)选项中(A+B) 2 =A 2 +B 2 ，不成立；BO，B可以为零，也可以不为零， B * 也可以为零，可以不为零，故(B)，(C)不成立；BO，AB=O，AX=0 有非零解，故A=0，从而A * =A n1 =06.A 是 n 阶方阵，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * = ( )（分数：2.00）A.AB.A 1 C.A n1 D.A
12、 n 解析：解析：AA * =AE，两边取行列式，得AA * =A n 若A0，A * =A n1 =A n1 ； 若A=0，则A * =0，故选(C)7.A 是 n 阶方阵，A=3则(A * ) * = ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：A=3，A 可逆，则 (A * )(A * ) * =A * E， (A * ) * =A * (A * ) 1 =A * =A n2 A， (A * ) * =A n2 A=A (n2)n A= 8.设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A * 是 A 的伴随阵，则(A * ) * ( )（分数：2.00）A.A n1 AB.A n+1
13、 AC.A n2 A D.A n+2 A解析：解析：AA * =AE，得 A * (A * ) * =A * E，(A * ) * =A * (A * ) 1 ， 其中 A * =A n1 ，(A * ) 1 = ， 故 (A * ) * =A n1 9.设 A nn 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =AEB.(A * ) T A * =A * C.A * (A * ) T =E D.(A * ) T A * =E解析：解析：A 是正交阵，则有 A 1 =A T = 10.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A
14、.(A+A 1 ) 2 =A 2 +2AA 1 +(A 1 ) 2B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2 C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2A+E解析：解析：由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ， 因此，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充要条件是 BA=AB，也即 A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A 1 ，A 与 A * 以及 A 与 E 都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选(B)二、填空题
15、(总题数：6，分数：12.00)11.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，c= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1) mn ab）解析：解析：C= 12.设 A 为奇数阶矩阵，AA T =A T A=E，A0，则AE= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：AE=AAA T =A(EA T )=A(EA) T =AEA 由于 AA T =A T A=E，可知A 2 =1，又由于A0，可知A=1又由于 A 为奇数阶矩阵，故 EA=(AE)= AE， 故有 AE= AE，可知 AE=013.设 3 阶方阵 A，
16、B 满足关系式 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：diag(3，2，1)）解析：解析：由 A 1 BA=6A+BA 得 B=6A(EA) 1 =diag(3，2，1)， 其中， 14.设 =1，2，3，= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 n1 A）解析：解析：A= T = 15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：A 2 = 16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 B=A+E，B 2 =4B=4(A+E)=(A
17、+E) 2 得 A 2 A=A(A2E)=3E， 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.证明：方阵 A 与所有同阶对角阵可交换的充分必要条件是 A 是对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 A 是对角阵，则显然 A 可与任何对角阵可交换 必要性设 A= 与任何对角阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角阵 B= 可交换，即 b 1 a 12 =b 2 a 12 ，b 1 b 2 ，故 a 12 =0 b i a ij =b j a ij ，ij，b i b j ，a ij =0，i=1，2，
18、n,j=1，2，n，故 A= )解析：19.证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，则(A * ) T =(A T ) * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) T =(AA 1 ) T =A(A 1 ) T =A(A T ) 1 =A T (A T ) 1 =(A T ) * )解析：20.证明：若 A 为 n 阶方阵，则有A * =(A) * (n2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=(a ij ) mn ，A的元素 a ij 的代数余子式为 A ij ，则A的元素a ij 的代数余子式为 B ij =(1) n1 A ij ， 于是
19、(A) * =(1) n1 (A ji ) mn =(1) n1 A * ，所以 (A) * =(1) n1 A * =(1) n1 n A * =A * )解析：21.已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A 2 3A2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 3AE=O，则 A =E，故 A 可逆，且 A 1 = )解析：22.已知对于 n 阶方阵 A，存在自然数 k，使得 A k =O证明：矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位阵)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E=EA k =E k A k =(EA)
20、(E+A+A k1 )，所以 EA 可逆，且 (EA) 1 =E+A+A k1 )解析：23.设 M= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 可逆=M=A.D0=A0，D0=A，D 可逆 设 M 的逆矩阵为 M 1 =X= ，由于 MX= ，得 所以 M 1 = )解析：24.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+E=A 2 +X，有(AE)X=(AE)(A+E)又AE=10，则 X=A+E= )解析：25.假设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先计算出 A 1 = ，由于A=1，所以 )解析：26.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维
21、列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PQ= (2)由(1)得PQ=PQ=A 2 (b T A 1 ) )解析：27.设(2EC 1 )A T =C 1 其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EC 1 B)A T =C 1 ，有 A=(2CB) T 1 = )解析：28.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= =E+B，又 EB=BE，所以 A n =(E+B) n =B n +nE n1 B+ E n2 B 2 )解析：29.已知 A= （分数：2.00
22、）_正确答案：(正确答案：对 A 分块为 ，则 B=3E+J，于是 B n =(3E+J) n =3 n E+C n 1 3 n1 J+C n 2 3 n2 J 2 +J n ， 而 C= 3，1，C 2 =6C，C n =6 n1 C，所以 )解析：30.设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 1 ，b n T (1)计算 AB T 与 A T B； (2)求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )； (3)设 C=EAB T ，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=EBA T AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_正确答
23、案：(正确答案：(1)AB T = )解析：31.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意到 而 当 B 有一个 t 1 阶子式不为 0，A 有一个 t 2 阶子式不为0 时， 一定有一个 t 1 +t 2 阶子式不为 0， 因此 )解析：32.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，则 A+B= 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 由于 A+B 的
24、列向量组口 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 都是由向量组 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， 3 线性表出的，故 r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n )r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) 又由于 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n )， 故 r(A+B)=r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n ) r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n ) =r(A)+r(B)解析：33.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 A=O，显然 tr(AA T )=0 必要性 tr(AA T )=0，设 记 B=AA T ，则 tr(AA T )= )解析：
