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    【考研类试卷】考研数学三(线性代数)-试卷16及答案解析.doc

    • 资源ID:1395319       资源大小:206.50KB        全文页数:8页
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    【考研类试卷】考研数学三(线性代数)-试卷16及答案解析.doc

    1、考研数学三(线性代数)-试卷 16 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:5,分数:10.00)1.设 (分数:2.00)填空项 1:_2.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1, 2 = , 3 = (分数:2.00)填空项 1:_3.设 1 , 2 , 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值, 1 , 2 , 3 分别是属于特征值 1 , 2 , 3 的特征向量,若 1 ,A( 1 + 2 ),A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关,则 1 , 2 , 3 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_4.若 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量,A

    2、是三阶方阵,且 A 1 = 1 + 2 ,A 2 = 2 + 3 ,A 3 = 3 + 1 ,则|A|= 1(分数:2.00)填空项 1:_5.设 A 为三阶实对称矩阵, 1 =(a,一 a,1) T 是方程组 AX=0 的解, 2 =(a,1,1 一 a) T 是方程组(A+E)X=0 的解,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_二、解答题(总题数:20,分数:46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_7.设向量组 1 , 2 , n 一 1 为 n 维线性无关的列向量组,且与非零向量 1 , 2 正交证明: 1 , 2 线性相关(分数:2.00)_8.设齐次线性

    3、方程组 (分数:2.00)_9.设 A 为三阶矩阵,A 的第一行元素为 a,b,c 且不全为零,又 (分数:2.00)_10.a,b 取何值时,方程组 (分数:2.00)_11.A,B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明:方程组 Ax=0 与 BX=0 有公共的非零解(分数:2.00)_设 1 , 2 , 3 , 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解,其中 1 = (分数:6.00)(1).求方程组()的基础解系;(分数:2.00)_(2).求方程组()BX=0 的基础解系;(分数:2.00)_(3).()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解(分数:2.00)_设

    4、 (分数:4.00)(1).求(),()的基础解系;(分数:2.00)_(2).求(),()的公共解(分数:2.00)_12.问 a,b,c 取何值时,(),()为同解方程组? (分数:2.00)_13.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 (分数:2.00)_14.设 的一个基础解系为 写出 (分数:2.00)_15.设 A 是 ms 阶矩阵,B 是 sn 阶矩阵,且 r(B)=r(AB)证明:方程组 B=0 与 ABX=0 是同解方程组(分数:2.00)_设 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵,r(C4+DB)=n(分数:4.00)(1).证明 (分数:2.00)_(2).设 1

    5、, 2 , r 与 1 , 2 , s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系,证明: 1 , 2 , r , 1 , 2 , s 线性无关(分数:2.00)_16.设 A 为 n 阶矩阵,A 11 0证明:非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0(分数:2.00)_17.证明:r(AB)minr(A),r(B)(分数:2.00)_18.证明:r(A)=r(A T A)(分数:2.00)_19.设 A 是 mn 阶矩阵,且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)= (分数:2.00)_20.讨论方程组 (分数:2.00)_21.设 (分数:2.00)

    6、_22.设齐次线性方程组 为正定矩阵,求 a,并求当|X|= (分数:2.00)_考研数学三(线性代数)-试卷 16 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、填空题(总题数:5,分数:10.00)1.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:一 2)解析:解析:因为|A * |=|A| 2 =4,且|A|0,所以|A|=2,又 AA * =|A|E=2E,所以 A 一 1 = A * ,从而 A 一 1 的特征值为 2.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1, 2 = , 3 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:P 1

    7、(A 1 +2E)P=P 1 A 1 P+2E,而 P 1 A 1 P= ,所以 P 1 (A 1 +2E)P= 3.设 1 , 2 , 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值, 1 , 2 , 3 分别是属于特征值 1 , 2 , 3 的特征向量,若 1 ,A( 1 + 2 ),A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关,则 1 , 2 , 3 满足 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0)解析:解析:令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 2 AZ( 1 + 2 + 1 )=0,即 (x 1 + 1 x 2 + 1 x 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2

    8、+ 2 x 2 x 3 ) 2 + 3 x 2 x 3 3 =0,则有 x 1 + 1 x 2 + 1 x 2 x 3 =0, 2 x 2 + 2 x 2 x 3 =0, 3 x 2 x 3 =0,因为 x 1 ,x 2 ,x 3 只能全为零,所以 4.若 1 , 2 , 3 是三维线性无关的列向量,A 是三阶方阵,且 A 1 = 1 + 2 ,A 2 = 2 + 3 ,A 3 = 3 + 1 ,则|A|= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:令 P=( 1 , 2 , 3 ),因为 1 , 2 , 3 线性无关,所以 P 可逆,由AP=(A 1 ,A 2

    9、 ,A 3 )=( 1 , 2 , 3 ) 5.设 A 为三阶实对称矩阵, 1 =(a,一 a,1) T 是方程组 AX=0 的解, 2 =(a,1,1 一 a) T 是方程组(A+E)X=0 的解,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:因为 A 为实对称矩阵,所以不同特征值对应的特征向量正交,因为 AX=0 及(A+E)X=0 有非零解,所以 1 =0, 2 =一 1 为矩阵 A 的特征值, 1 =(a,一 a,1) T , 2 =(,1,1 一 a) T 是它们对应的特征向量,所以有 1 T 2 =a 2 =a+1 一 a=0,解得 a=1二、

    10、解答题(总题数:20,分数:46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:7.设向量组 1 , 2 , n 一 1 为 n 维线性无关的列向量组,且与非零向量 1 , 2 正交证明: 1 , 2 线性相关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 )解析:8.设齐次线性方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =a+(n 一 1)b(a 一 b) n 一 1 (1)当 ab,a(1 一 n)b 时,方程组只有零解; (2)当 a=b 时,方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0,其通解为 X=k 1 (一1,1,0,0) T +k 2 (一 1

    11、,0,1,0) T +k n 一 1 (一 1,0,0,1) T (k 1 ,k 2 ,k n 一 1 为任意常数); (3)令 )解析:9.设 A 为三阶矩阵,A 的第一行元素为 a,b,c 且不全为零,又 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 AB=0 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9 时,因为 r(B)=2,所以 r(A)=1,方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关 的解向量,显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列,故通解为 k 1 (k 1 ,k 2 为任意常数); (2)当 k=9 时,r(B)=1,1r(A)2, 当 r(A)=2 时,方程组

    12、Ax=0 的通解为 (C 为任意常数); 当 r(A)=1 时,A 的任意两行都成比例,不妨设 a0, 由 )解析:10.a,b 取何值时,方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: (1)a1 时,r(A)= =4,唯一解为 x 1 = ,x 4 =0; (2)a=1,b一 1 时,r(A) )解析:11.A,B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明:方程组 Ax=0 与 BX=0 有公共的非零解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程组 =0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解, 因为 r(A)+r(B)n,所以方程组 )解析:设 1 , 2 , 3 ,

    13、4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解,其中 1 = (分数:6.00)(1).求方程组()的基础解系;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程组()的基础解系为 1 = , 2 = )解析:(2).求方程组()BX=0 的基础解系;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 r(B)=2,所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量, 4 一 1 = , 2 + 3 一 2 1 = )解析:(3).()与()是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 = ,方程组()的通解为 令 )解

    14、析:设 (分数:4.00)(1).求(),()的基础解系;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 1 = 的基础解系为 1 = A 2 = 的基础解系为 1 = )解析:(2).求(),()的公共解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:12.问 a,b,c 取何值时,(),()为同解方程组? (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为(),()同解,所以它们的增广矩阵有等价的行向量组,()的增广矩阵为阶梯阵,其行向量组线性无关, 1 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表出, 1 =一 2 1 + 2 +a 3 a=1, 2 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表出, 2

    15、= 1 + 2 一 3 b=一 2, 3 可由 1 , 2 , 3 唯一线性表出, 3 =3 1 + 2 + 3 )解析:13.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 =( 1 , 2 , n ),b= 方程组()可写为 AX=b,方程组()、()可分别写为 A T Y=0 及 若方程组()有解,则 r(A)=r(A|b),从而 r(A T )= ,又因为()的解一定为()的解,所以()与()同解;反之,若()与()同解,则 r(A T )= )解析:14.设 的一个基础解系为 写出 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ,则()可

    16、写为 AX=0, 其中 1 = , 2 = , n = 则()可写为 BY=0,因为 1 , 2 , n 为()的基础解系,因此r(A)=n, 1 , 2 , n 线性无关,A 1 =A 2 一=A n =0 A( 1 , 2 , n )=0 AB T =0 BA T =0 )解析:15.设 A 是 ms 阶矩阵,B 是 sn 阶矩阵,且 r(B)=r(AB)证明:方程组 B=0 与 ABX=0 是同解方程组(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:首先,方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解,令 r(B)=r 且 1 , 2 , n 一 r 是方程组 BX=0 的基础解系,现设

    17、方程组 ABX=0 有一个解 0 不是方程组 BX=0 的解,即B 0 0,显然 1 , 2 , n 一 r , 0 线性无关,若 1 , 2 , n 一 r , 0 线性相关,则存在不全为零的常数 k 1 ,k 2 ,k n 一 r ,k 0 ,使得 k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r +k 0 0 =0,若 k 0 =0,则 k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r =0,因为 1 , 2 , n 一 r 线性无关,所以 k 1 =k 2 =k n 一 r =0,从而 1 , 2 , n 一 r , 0 线性无关,所以 k 0 0,故 0 可由 1 , 2

    18、 , n 一 r 线性表示,由齐次线性方程组解的结构,有 B 0 =0,矛盾,所以 1 , 2 , n 一 r , 0 线性无关,且为方程组 ABX=0 的解,从而 n一 r(AB)n 一 r+1,r(AB)r 一 1,这与 r(B)=r(AB)矛盾,故方程组 B=0 与 ABX=0 同解)解析:设 A,B,C,D 都是 n 阶矩阵,r(C4+DB)=n(分数:4.00)(1).证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 n=r(CA+DB)= )解析:(2).设 1 , 2 , r 与 1 , 2 , s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系,证明: 1 , 2 , r

    19、 , 1 , 2 , s 线性无关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 =n,所以方程组 )解析:16.设 A 为 n 阶矩阵,A 11 0证明:非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解,则 r(A)n,从而|A|=0,于是 A * b=A * AX=|A|X=0反之,设 A * b=0,因为 b0,所以方程组 A * X=0 有非零解,从而 r(A * )n,又 A 11 0,所以 r(A * )=1,且 r(A)=n 一 1因为 r(A * )=1,所以方程组 A

    20、* X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量,而 A * A=0,所以 A 的列向量组 1 , 2 , n 为方程组 A * X=0 的一组解向量,由 A 11 0,得 2 , n 线性无关,所以 2 , n 是方程组 A * X=0 的基础解系因为 A * b=0,所以 b 可由 2 , n 线性表示,也可 1 , 2 , n 线性表示,故r(A)=r(A)=n 一 1n,即方程组 AX=b 有无穷多个解)解析:17.证明:r(AB)minr(A),r(B)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 r(B)=r,B=0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量,因为

    21、BX=0 的解一定是 ABX=0 的解,所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数,即 n 一 r(AB)n 一 r(B),r(AB)r(B);又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )r(A T )=r(A),所以 r(AB)minr(A),r(B)解析:18.证明:r(A)=r(A T A)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:只需证明 AX=0 与 A T AX=0 为同解方程组即可 若 AX 0 =0,则 A T AX 0 =0 反之,若 A T AX 0 =0,则 XO T A T AX 0

    22、=0 (AX 0 ) T (AX 0 )=0 )解析:19.设 A 是 mn 阶矩阵,且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 r(A)=rn,所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量,设为 1 , 2 , n 一 r 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解, 令 0 = 0 , 1 = 1 + 0 , 2 = 2 + 0 , n 一 r = n 一 r + 0 ,显然 0 , 1 , 2 , n一 r 为方程组 AX=b 的一组解 令 k 0 0 +k 1 1 +k n 一 r n 一 r =0,即 (

    23、k 0 +k 1 +k n 一 r ) 0 +k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r =0, 上式两边左乘 A 得(k 0 +k 1 +k n 一 r )b=0,因为b 为非零列向量,所以 k 0 +k 1 +k n 一 r =0, 于是 k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r =0,注意到 1 , 2 , n 一 r 线性无关,所以 k 1 =k 2 =k n 一 r =0,故 0 , 1 , 2 , n 一 r 线性无关,即方程组 AX=b 存在由 n 一 r+1 个线性无关的解向量构成的向量组,设 1 , 2 , n 一 r+2 为方程组 AX=b 的一组

    24、线性无关解,令 1 = 2 一 1 , 2 = 3 一 1 , n 一 r+1 = n 一 r+2 一 1 ,根据定义,易证 1 , 2 , n 一 r+1 线性无关,又 1 , 2 , n 一 r+1 ,为齐次线性方程组 Ax=0 的一组解,即方程组 AX=0 含有 n 一 r+1 个线性无关的解,矛盾,所以 AX=b 的任意 n 一 r+2 个解向量都是线性相关的,所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 n 一 r+1 个)解析:20.讨论方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =一(a+1)(b+2) (1)当 a一 1,b一 2 时,因为 D0,所以方程组有唯一解,

    25、由克拉默法则得 (2)当 a=一 1,b一 2 时, 当 b一 1 时,方程组无解 当 b=一 1 时,方程组的通解为 (k 为任意常数) (3)当 a一 1,b=一 2 时, 方程组的通解为 (k为任意常数) 当 a1 时,显然 r(A)=2 )解析:21.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 X=(X 1 ,X 2 ,X 3 ),B=( 1 , 2 , 3 ),方程组 AX=B 等价于 则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A|B), 由 r(A)=r(A|B)得 a=1,b=2,c=一 2,此时(A|B) AX 1 = 1 的通解为 X 1 =k 1 AX 2 =

    26、 2 的通解为 X 2 =k 2 AX 3 = 3 的通解为 X 3 =k 3 则 X=(X 1 ,X 2 ,X 3 )= )解析:22.设齐次线性方程组 为正定矩阵,求 a,并求当|X|= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为方程组有非零解,所以 =a(a+1)(a 一 3)=0,即 a=一 1 或 a=0 或a=3因为 A 是正定矩阵,所以 a ij 0(i=1,2,3),所以 a=3当 a=3 时,由 |E 一 A|= =(一 1)( 一 4)( 一 10)=0 得 A 的特征值为 1,4,10因为 A 为实对称矩阵,所以存在正交矩阵 Q,使得 f=X T AX y 1 2 +4y 2 2 +10y 3 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 ) 而当|X|= 时, y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=|X| 2 =2 所以当|X|= 时,X T AX 的最大值为20(最大值 20 可以取到,如 y 1 =y 2 =0,y 3 = )解析:


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