1、考研数学三（线性代数）-试卷 16 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.设 （分数：2.00）填空项 1:_2.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = ， 3 = （分数：2.00）填空项 1:_3.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_4.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A
2、是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，一 a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1 一 a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：20，分数：46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_7.设向量组 1 ， 2 ， n 一 1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_8.设齐次线性
3、方程组 （分数：2.00）_9.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 （分数：2.00）_10.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_11.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 Ax=0 与 BX=0 有公共的非零解（分数：2.00）_设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1 = （分数：6.00）(1).求方程组()的基础解系；（分数：2.00）_(2).求方程组()BX=0 的基础解系；（分数：2.00）_(3).()与()是否有公共的非零解？若有公共解求出其公共解（分数：2.00）_设
4、 （分数：4.00）(1).求()，()的基础解系；（分数：2.00）_(2).求()，()的公共解（分数：2.00）_12.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组？ （分数：2.00）_13.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_14.设 的一个基础解系为 写出 （分数：2.00）_15.设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 B=0 与 ABX=0 是同解方程组（分数：2.00）_设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(C4+DB)=n（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_(2).设 1
5、， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0（分数：2.00）_17.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_18.证明：r(A)=r(A T A)（分数：2.00）_19.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)= （分数：2.00）_20.讨论方程组 （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）
6、_22.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当|X|= （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 16 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：10.00)1.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：因为|A * |=|A| 2 =4，且|A|0，所以|A|=2，又 AA * =|A|E=2E，所以 A 一 1 = A * ，从而 A 一 1 的特征值为 2.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =一 1， 2 = ， 3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1
7、(A 1 +2E)P=P 1 A 1 P+2E，而 P 1 A 1 P= ，所以 P 1 (A 1 +2E)P= 3.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 2 AZ( 1 + 2 + 1 )=0，即 (x 1 + 1 x 2 + 1 x 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2
8、+ 2 x 2 x 3 ) 2 + 3 x 2 x 3 3 =0，则有 x 1 + 1 x 2 + 1 x 2 x 3 =0， 2 x 2 + 2 x 2 x 3 =0， 3 x 2 x 3 =0，因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能全为零，所以 4.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP=(A 1 ，A 2
9、 ，A 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 5.设 A 为三阶实对称矩阵， 1 =(a，一 a，1) T 是方程组 AX=0 的解， 2 =(a，1，1 一 a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为 AX=0 及(A+E)X=0 有非零解，所以 1 =0， 2 =一 1 为矩阵 A 的特征值， 1 =(a，一 a，1) T ， 2 =(，1，1 一 a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1 T 2 =a 2 =a+1 一 a=0，解得 a=1二、
10、解答题(总题数：20，分数：46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：7.设向量组 1 ， 2 ， n 一 1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：8.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =a+(n 一 1)b(a 一 b) n 一 1 (1)当 ab，a(1 一 n)b 时，方程组只有零解； (2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，其通解为 X=k 1 (一1，1，0，0) T +k 2 (一 1
11、，0，1，0) T +k n 一 1 (一 1，0，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k n 一 1 为任意常数)； (3)令 )解析：9.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=0 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关 的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 k 1 (k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2， 当 r(A)=2 时，方程组
12、Ax=0 的通解为 (C 为任意常数)； 当 r(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0， 由 )解析：10.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)a1 时，r(A)= =4，唯一解为 x 1 = ，x 4 =0； (2)a=1，b一 1 时，r(A) )解析：11.A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 Ax=0 与 BX=0 有公共的非零解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组 =0 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解， 因为 r(A)+r(B)n，所以方程组 )解析：设 1 ， 2 ， 3 ，
13、4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 1 = （分数：6.00）(1).求方程组()的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的基础解系为 1 = ， 2 = )解析：(2).求方程组()BX=0 的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(B)=2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量， 4 一 1 = ， 2 + 3 一 2 1 = )解析：(3).()与()是否有公共的非零解？若有公共解求出其公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组()的通解为 k 1 1 +k 2 2 = ，方程组()的通解为 令 )解
14、析：设 （分数：4.00）(1).求()，()的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 1 = 的基础解系为 1 = A 2 = 的基础解系为 1 = )解析：(2).求()，()的公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组？ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为()，()同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 1 =一 2 1 + 2 +a 3 a=1， 2 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 2
15、= 1 + 2 一 3 b=一 2， 3 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 3 =3 1 + 2 + 3 )解析：13.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =( 1 ， 2 ， n )，b= 方程组()可写为 AX=b，方程组()、()可分别写为 A T Y=0 及 若方程组()有解，则 r(A)=r(A|b)，从而 r(A T )= ，又因为()的解一定为()的解，所以()与()同解；反之，若()与()同解，则 r(A T )= )解析：14.设 的一个基础解系为 写出 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则()可
16、写为 AX=0， 其中 1 = ， 2 = ， n = 则()可写为 BY=0，因为 1 ， 2 ， n 为()的基础解系，因此r(A)=n， 1 ， 2 ， n 线性无关，A 1 =A 2 一=A n =0 A( 1 ， 2 ， n )=0 AB T =0 BA T =0 )解析：15.设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)=r(AB)证明：方程组 B=0 与 ABX=0 是同解方程组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解，令 r(B)=r 且 1 ， 2 ， n 一 r 是方程组 BX=0 的基础解系，现设
17、方程组 ABX=0 有一个解 0 不是方程组 BX=0 的解，即B 0 0，显然 1 ， 2 ， n 一 r ， 0 线性无关，若 1 ， 2 ， n 一 r ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n 一 r ，k 0 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r +k 0 0 =0，若 k 0 =0，则 k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r =0，因为 1 ， 2 ， n 一 r 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k n 一 r =0，从而 1 ， 2 ， n 一 r ， 0 线性无关，所以 k 0 0，故 0 可由 1 ， 2
18、 ， n 一 r 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B 0 =0，矛盾，所以 1 ， 2 ， n 一 r ， 0 线性无关，且为方程组 ABX=0 的解，从而 n一 r(AB)n 一 r+1，r(AB)r 一 1，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 B=0 与 ABX=0 同解)解析：设 A，B，C，D 都是 n 阶矩阵，r(C4+DB)=n（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 n=r(CA+DB)= )解析：(2).设 1 ， 2 ， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 AX=0 与 BX=0 的基础解系，证明： 1 ， 2 ， r
19、 ， 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =n，所以方程组 )解析：16.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)n，从而|A|=0，于是 A * b=A * AX=|A|X=0反之，设 A * b=0，因为 b0，所以方程组 A * X=0 有非零解，从而 r(A * )n，又 A 11 0，所以 r(A * )=1，且 r(A)=n 一 1因为 r(A * )=1，所以方程组 A
20、* X=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的解向量，而 A * A=0，所以 A 的列向量组 1 ， 2 ， n 为方程组 A * X=0 的一组解向量，由 A 11 0，得 2 ， n 线性无关，所以 2 ， n 是方程组 A * X=0 的基础解系因为 A * b=0，所以 b 可由 2 ， n 线性表示，也可 1 ， 2 ， n 线性表示，故r(A)=r(A)=n 一 1n，即方程组 AX=b 有无穷多个解)解析：17.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r(B)=r，B=0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量，因为
21、BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 n 一 r(AB)n 一 r(B)，r(AB)r(B)；又因为 r(AB) T =r(AB)=r(B T A T )r(A T )=r(A)，所以 r(AB)minr(A)，r(B)解析：18.证明：r(A)=r(A T A)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只需证明 AX=0 与 A T AX=0 为同解方程组即可 若 AX 0 =0，则 A T AX 0 =0 反之，若 A T AX 0 =0，则 XO T A T AX 0
22、=0 (AX 0 ) T (AX 0 )=0 )解析：19.设 A 是 mn 阶矩阵，且非齐次线性方程组 AX=b 满足 r(A)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=rn，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有 n 一 r 个线性无关的解向量，设为 1 ， 2 ， n 一 r 设 0 为方程组 AX=b 的一个特解， 令 0 = 0 ， 1 = 1 + 0 ， 2 = 2 + 0 ， n 一 r = n 一 r + 0 ，显然 0 ， 1 ， 2 ， n一 r 为方程组 AX=b 的一组解 令 k 0 0 +k 1 1 +k n 一 r n 一 r =0，即 (
23、k 0 +k 1 +k n 一 r ) 0 +k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r =0， 上式两边左乘 A 得(k 0 +k 1 +k n 一 r )b=0，因为b 为非零列向量，所以 k 0 +k 1 +k n 一 r =0， 于是 k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r =0，注意到 1 ， 2 ， n 一 r 线性无关，所以 k 1 =k 2 =k n 一 r =0，故 0 ， 1 ， 2 ， n 一 r 线性无关，即方程组 AX=b 存在由 n 一 r+1 个线性无关的解向量构成的向量组，设 1 ， 2 ， n 一 r+2 为方程组 AX=b 的一组
24、线性无关解，令 1 = 2 一 1 ， 2 = 3 一 1 ， n 一 r+1 = n 一 r+2 一 1 ，根据定义，易证 1 ， 2 ， n 一 r+1 线性无关，又 1 ， 2 ， n 一 r+1 ，为齐次线性方程组 Ax=0 的一组解，即方程组 AX=0 含有 n 一 r+1 个线性无关的解，矛盾，所以 AX=b 的任意 n 一 r+2 个解向量都是线性相关的，所以 AX=b 的线性无关的解向量的个数最多为 n 一 r+1 个)解析：20.讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一(a+1)(b+2) (1)当 a一 1，b一 2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，
25、由克拉默法则得 (2)当 a=一 1，b一 2 时， 当 b一 1 时，方程组无解 当 b=一 1 时，方程组的通解为 (k 为任意常数) (3)当 a一 1，b=一 2 时， 方程组的通解为 (k为任意常数) 当 a1 时，显然 r(A)=2 )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 AX=B 等价于 则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A|B)， 由 r(A)=r(A|B)得 a=1，b=2，c=一 2，此时(A|B) AX 1 = 1 的通解为 X 1 =k 1 AX 2 =
26、 2 的通解为 X 2 =k 2 AX 3 = 3 的通解为 X 3 =k 3 则 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )= )解析：22.设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当|X|= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a 一 3)=0，即 a=一 1 或 a=0 或a=3因为 A 是正定矩阵，所以 a ij 0(i=1，2，3)，所以 a=3当 a=3 时，由 |E 一 A|= =(一 1)( 一 4)( 一 10)=0 得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得 f=X T AX y 1 2 +4y 2 2 +10y 3 2 10(y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 ) 而当|X|= 时， y 1 2 +y 2 2 +y 3 2 =Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=|X| 2 =2 所以当|X|= 时，X T AX 的最大值为20(最大值 20 可以取到，如 y 1 =y 2 =0，y 3 = )解析：
