1、考研数学三（线性代数）-试卷 13 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A= （分数：2.00）A.mB.8mC.2mD.2m3.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =0，则（ ）（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆D.EA 可逆，E+A 不可逆4.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，
2、B 的秩必为 1D.a1 时，B 的秩必为 25.现有四个向量组 （1，2，3） T ，（3，一 1，5） T ，（0，4，一 2） T ，（1，3，0） T ； （a，1，6，0，0） T ，（c，0，d，2，0） T ，（e，0，f，0，3） T ； （a，1，2，3） T ，（6，1，2，3） T ，（c，3，4，5） T ，（d，0，0，0） T ； （1，0，3，1） T ，（一1，3，0，一 2） T ，（2，1，7，2） T ，（4，2，14，5） T 。 则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组
3、为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有（ ）（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关7.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组（AB）x=0（ ）（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当
4、mn 时，必有非零解8.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量组，A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0 的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3C. 2 ， 3 ， 4D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 19.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ， A（ 1 + 2 ）线性无关的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A. 1
5、 0B. 2 0C. 1 =0D. 2 =010.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的特征向量C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量11.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A.（ 1 一 2 ， 3 ）B.（ 1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 ）C.（ 1 ， 3 ， 2 ）D.（ 1 + 2 ， 1 2 ， 3 ）12.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +5x
6、 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是（ ）（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2B.y 1 2 6y 2 2 +2y 3 2C.y 1 2 y 2 2D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 213.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是（ ）（分数：2.00）A.A 1 正定B.A 没有负的特征值C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位矩阵二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）是三阶矩阵，且|A|=4。若 B=（ 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ），则|B|=
7、 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.与矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 1 =（1，0，0） T ， 2 =（1，2，一 1） T ， 3 =（一 1，1，0） T ，且 A 1 =（2，1） T ，A 2 =（一 1，1） T ，A 3 =（3，一 4） T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_18.任意一个三维向量都可以由 1 =（1，0，1） T ， 2 =（1，2，3） T ， 3 =（a，1，2） T 线性表示，则 a 的取值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.已知线性方程组 （分数：2.
8、00）填空项 1:_20.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =（2，0，0，0） T ，3 1 + 2 =（2，4，6，8） T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.已知 =（1，3，2） T ，=（1，1，2） T ，A=E 一 T ，则 A 的最大的特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =（1，2，1） T ， 2 =（1，1，1） T ，则
9、特征值 2 对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_23.设 =（1，0，1） T ，A= T ，若 B=（kE +A） * 是正定矩阵，则 k 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.计算行列式 D n = （分数：2.00）_26.已知 AB=AB，证明：A，B 满足乘法交换律。（分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_28.设线性方
10、程组 （分数：2.00）_29.设四元齐次线性方程组 （分数：2.00）_30.已知 p= （分数：2.00）_31.设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =2， 1 =（1，1，1） T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 4A 3 +E，其中 E 为三阶单位矩阵。 （）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （）求矩阵 B。（分数：2.00）_32.证明：二次型 f（x）=x T Ax 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 13 答案解析(总分：64.00
11、，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A= （分数：2.00）A.mB.8mC.2mD.2m 解析：解析：将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式|B|。由行列式的性质知|B|=2|A|=2m。3.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A 3 =0，则（ ）（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆 D.EA 可逆，E+A 不可逆解析：
12、解析：已知（EA）（E+A+A 2 ）=EA 3 =E，（E+A）（E 一 A+A 2 ）=E+A 3 =E。故 EA，E+A均可逆。故应选 C。4.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1 D.a1 时，B 的秩必为 2解析：解析：当 a=1 时，易见 r（A）=1；当 a1 时，则 5.现有四个向量组 （1，2，3） T ，（3，一 1，5） T ，（0，4，一 2） T ，（1，3，0） T ； （a，1，6，0，0） T ，（c，0，d，2，0） T ，（e，0，f，0，3） T ； （a，1，2，3） T ，
13、（6，1，2，3） T ，（c，3，4，5） T ，（d，0，0，0） T ； （1，0，3，1） T ，（一1，3，0，一 2） T ，（2，1，7，2） T ，（4，2，14，5） T 。 则下列结论正确的是（ ）（分数：2.00）A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 解析：解析：向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。由于（1，0，0） T ，（0，2，0） T ，（0，0，3） T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除
14、C。向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1 ， 2 ， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关。应排除 A。由排除法，所以应选 D。6.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，向量 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，向量 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则必有（ ）（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 1 线性无关B. 1 ， 2 ， 2 线性无关 C. 2 ， 3 ， 1 ， 2 线性相关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关解析：解析：由 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 2 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示知， 1 ， 2
15、 ， 3 ， 2 线性无关，从而部分组 1 ， 2 ， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1 =（1，0，0，0） T ， 2 =（0，1，0，0） T ， 3 =（0，0，1，0） T ， 2 =（0，0，0，1） T ， 1 = 1 ，知选项 A 与 C 错误。 对于选项 D，由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，若 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 2 线性相关，则 1 + 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，而 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，从而 2 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误。7.设 A 是 mn 矩阵，
16、B 是 nm 矩阵，则线性方程组（AB）x=0（ ）（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解 解析：解析：因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r（AB）minr（A），r（B）min m，n，所以当 mn 时，必有 r（AB）m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确。8.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量组，A=（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ），A * 为 A 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0 的基础解系为( )（
17、分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3C. 2 ， 3 ， 4 D. 1 + 2 , 2 + 3 , 3 + 4 , 4 + 1解析：解析：方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩 r（A）=41=3，则其伴随矩阵 A * 的秩 r（A * ）=1，于是方程组 A * x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A * （ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）=A * A=|A|E=0，所以向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是方程组 A * x=0 的解。将（1，0，2，0） T 代入方程组 Ax=0 可得 1 +2
18、 3 =0，这说明 1 可由向量组 2 ， 3 ， 4 线性表出，而向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩等于 3，所以向量组 2 ， 3 ， 4 必线性无关。所以选 C。 事实上，由 1 +2 3 =0 可知向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项 B 中的向量都能被 1 ， 2 ， 3 线性表出，说明向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 线性相关，选项 B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D 也不正确。9.设 1 ， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1 ， 2 ，则 1 ， A（ 1 +
19、 2 ）线性无关的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A. 1 0B. 2 0 C. 1 =0D. 2 =0解析：解析：令 k 1 1 +k 2 A（ 1 + 2 ）=0，则（k 1 +k 2 1 ） 1 +k 2 2 2 =0。 因为 1 ， 2 线性无关，所以 k 1 +k 2 1 =0，且 k 2 2 =0。 当 2 0 时，显然有 k 1 =0，k 2 =0，此时 1 ，A（ 1 + 2 ）线性无关；反过来，若 1 ，A（ 1 + 2 ）线性无关，则必然有 2 0（否则， 1 与 A（ 1 + 2 ）= 1 1 线性相关），故应选 B。10.设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是
20、（ ）（分数：2.00）A.若 是 A T 的特征向量，那么 是 A 的特征向量B.若 是 A * 的特征向量，那么 是 A 的特征向量C.若 是 A 2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量D.若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量 解析：解析：如果 是 2A 的特征向量，即（2A）=，那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。 由于（EA）x=0 与（EA T ）x=0 不一定同解，所以 不一定是 A T 的特征向量。 例如 11.已知 P 1 AP= （分数：2.00）A.（ 1 一 2 ， 3 ）B.（ 1 ， 2 + 3 ， 2 2 3 ）C.（ 1 ， 3
21、 ， 2 ）D.（ 1 + 2 ， 1 2 ， 3 ） 解析：解析：若 P 1 AP= 12.二次型 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 4x 1 x 2 +2x 2 x 3 的标准形可以是（ ）（分数：2.00）A.y 1 2 +4y 2 2 B.y 1 2 6y 2 2 +2y 3 2C.y 1 2 y 2 2D.y 1 2 +4y 2 2 +y 3 2解析：解析：用配方法，有 f=x 1 2 4x 1 x 2 +4x 2 2 +x 2 2 + 2x 2 x 3 +x 3 2 =（x 1 2x 2 ） 2 +（x 2 +x 3 ） 2 ，可见二次型
22、的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。13.下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是（ ）（分数：2.00）A.A 1 正定B.A 没有负的特征值 C.A 的正惯性指数等于 nD.A 合同于单位矩阵解析：解析：A 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 C T A 1 C=E，两边求逆得到 C 1 A（C T ） 1 =C 1 A（C 1 ） T =E，即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义，也不是正确的选择。C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正
23、定阵的特征值必须全是正数。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)14.设 A=（ 1 ， 2 ， 3 ）是三阶矩阵，且|A|=4。若 B=（ 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ），则|B|= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质 |B|=| 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，5 3 |=5| 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ， 3 | =5 | 1 3 2 ， 2 ， 3 |=5| 1 ， 2 ， 3 |=5|A|=20。15.与矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
24、 ）解析：解析：设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得 即 x 3 =2x 2 ，x 1 =4x 2 +x 4 ，所以 B= 16.已知 1 =（1，0，0） T ， 2 =（1，2，一 1） T ， 3 =（一 1，1，0） T ，且 A 1 =（2，1） T ，A 2 =（一 1，1） T ，A 3 =（3，一 4） T ，则 A= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分块矩阵，得 A（ 1 ， 2 ， 3 ）=（A 1 ，A 2 ，A 3 ）= 那么 17.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解
25、析：根据 BA T =0 可知，r（B）+r（A T ）3，即 r（A）+r（B）3。又因为 B0，因此r（B）1，从而有 r（A）3，即|A|=0，因此 于是可得 a= 18.任意一个三维向量都可以由 1 =（1，0，1） T ， 2 =（1，2，3） T ， 3 =（a，1，2） T 线性表示，则 a 的取值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a3）解析：解析：任意一个三维向量都可以用 1 =（1，0，1） T ， 2 =（1，2，3） T ， 3 =（a，1，2） T 线性表示，即对于任意的向量 ，方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解，也就
26、是对于任意的 ，r（ 1 ， 2 ， 3 ）=r（ 1 ， 2 ， 3 ，）=3，因此 1 ， 2 ， 3 = 19.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得20.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =（2，0，0，0） T ，3 1 + 2 =（2，4，6，8） T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（ ）解析：解析：由于 r（A）=3，所以齐次方程组 Ax
27、=0 的基础解系只含有 4r（A）=1 个解向量。又因为 （ 1 + 2 +2 3 ）一（3 1 + 2 ）=2（ 3 1 ）=（0，4，6，8） T 是 Ax=0 的解，所以其基础解系为（0，2，3，4） T ，由 A（ 1 + 2 +2 3 ）=A 1 +A 2 +2A 3 =4b， 可知 21.已知 =（1，3，2） T ，=（1，1，2） T ，A=E 一 T ，则 A 的最大的特征值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是 T 的特征值为 0，0，tr（ T ），其中 tr（ T
28、 ）= T =6。所以 A=E T 的特征值为 1，1，7，则A 的最大的特征值为 7。22.设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1，2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1 =（1，2，1） T ， 2 =（1，1，1） T ，则特征值 2 对应的特征向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t（1，0，1） T ，t0）解析：解析：设所求的特征向量为 =（x 1 ，x 2 ，x 3 ） T ，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 23.设 =（1，0，1） T ，A= T ，若 B=（kE +A） * 是正定矩阵，则 k 的取
29、值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0 或 k2）解析：解析：矩阵 A= T 的秩为 1，且 tr（A）= T =2，故矩阵 A 的特征值是 2，0，0，从而矩阵kE +A 的 特征值是 k+2，k，k。矩阵 B=（kE+A） * =|kE+A|（kE+A） 1 的特征值是 k 2 ，k（k +2），k（k +2）。 矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k 2 0 且 k（k +2）0，解得 k0 或k2。三、解答题(总题数：9，分数：18.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.计算行列式 D n
30、 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用行列式的性质，得 =nD n1 +（n1）！a n 2 ， 同理可得 D n1 =（n1）D n2 +（n2）!a n1 2 ，所以 D n =n（n1）D n2 +（n2）！a n1 2 +（n1）！a n 2 =n（n1）D n2 + 依次递推可得 )解析：26.已知 AB=AB，证明：A，B 满足乘法交换律。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即（E+A）（EB）=E，这说明 E+A 与 EB 互为逆矩阵，所以（EB）（E+A）=E，将括号展开得 B=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B
31、满足乘法交换律。)解析：27.设 1 ， 2 ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：a 1 ，a 2 ，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此 r（a 1 ，a 2 ，a n ）=n。对任一 n 维向 量 b，因为 a 1 ，a 2 ，a n ，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a 1 ，a 2 ，a n ，b 线性相关。 综上所述 r（a 1 ，a 2 ，a n ，b）=n。 又因为 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a 1 ，a 2 ，a
32、 n 线性表示。 充分性：已知任一 n 维向量b 都可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，则单位向量组: 1 ， 2 ， n 可由 a 1 ，a 2 ，a n 线性表示，即 r（ 1 ， 2 ， n ）=nr（a 1 ，a 2 ，a n ）， 又 a 1 ，a 2 ，a n 是一组 n 维向量，有 r（a 1 ，a 2 ，a n ）n。 综上，r（a 1 ，a 2 ，a n ）=n。所以 a 1 ，a 2 ，a n 线性无关。)解析：28.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将（1，1，1，1） T 代入方程组可得 = 0 。对增广矩阵作初等行变换，可得 =2 4，所
33、以方程组有无穷多解，其通解为 （ )解析：29.设四元齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）求方程组（1）的基础解系： 对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换 求方程（2）的基础解系： 对方程组（2）的系数矩阵作初等行变换 （）设 x=（x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ） T 为（1）与（2）的公共解，用两种方法求 z 的一般表达式： x 是（1）与（2）的公共解，因此 x 是方程组（3）的解，方程组（3）为（1）与（2）合并的方程组，即 )解析：30.已知 p= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有
34、（AE）p=0，即 从而有方程组 解得 a=3，b=0，且 p 所对应的特征值 =1。 （）A 的特征多项式 |AE|= =一（+1）3，得 A 的特征值为 =1（三重）。 若 A 能相似对角化，则特征值=1 有三个线性无关的特征向量，而 )解析：31.设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =2， 1 =（1，1，1） T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A 5 4A 3 +E，其中 E 为三阶单位矩阵。 （）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （）求矩阵 B。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由 A 1 =
35、 1 得 A 2 1 =A 1 = 1 ，依次递推，则有 A 3 1 = 1 ，A 5 1 = 1 ，故 B 1 =（A 5 4A 3 +E） 1 =A 5 1 一 4A 3 1 + 1 =2 1 ， 即 1 是矩阵 B 的属于特征值2 的特征向量。 由关系式 B=A 5 4A 3 +E 及 A 的三个特征值 1 =1， 2 =2， 3 =2 得 B 的三个特征值为 1 =2， 3 =1， 3 =1。 设 2 ， 3 为 B 的属于 2 = 3 =1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2 ， 3 正交，即 1 T 2 =0， 1 T 3 =0。
36、 因此 2 ， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为 B 的全部特征向量为 其中 k 1 0，k 2 ，k 3 不同时为零。（）令 P=（ 1 ， 2 ， 3 ） )解析：32.证明：二次型 f（x）=x T Ax 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QAQ 1 =diag（ 1 ， 2 ， n ）=，其中 1 ， 2 ， n 为 A 的特征值，不妨设 1 最大。 作正交变换y=Qx，即 x=Q 1 y=Q T y，则 f=x T Ax=y T QAQ T y=y T Ay= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + n y n 2 ， 因为 y=Qx，所以当|x|=1 时，有 |x|=x T x=y T QQ T y=|y | 2 =1， 即 y 1 2 +y 2 2 +y n 2 =1 。 因此 f= 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + n y n 2 1 （y 1 2 +y 2 2 +y n 2 ）= 1 。 又当 y 1 =1，y 2 =y 3 3=y n =0 时，f= 1 ，所以 f max = 1 。)解析：
