1、考研数学三（线性代数）-试卷 12 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.2B.2C.3D.33.设 （分数：2.00）A.c 2 mB.mC.cmD.c 3 m4.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.(m+n)C.nmD
2、.mn5.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式A =0B.若方程组有解，则必有系数行列式A 0C.系数行列式A =0，则方程组必无解D.系数行列式A 0 是方程组有唯一解的充分非必要条件6.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解7.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.AB=OA=O 且 B=OB.A=0A=OC.AB =0A=0 或B=0D.A=EA=18.设 A 是 n 阶方阵，X 是任意的 n 维
3、列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AB=O=A=OB.B T AB=O=A=OC.AX=0=A=OD.X T AX=0=A=O9.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.EC.ED.E+ T 10.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) 1 =(A 1 ) 2B.(A+B) 1 =A 1 +B 1C.(A+B)(AB)=A 2 B 2D.(kA) 1 =kA 1 (k0)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 a，b，a+b 均非 0，则行
4、列式 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，A=4，若 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 a=1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则aEA n = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
5、算步骤。（分数：2.00）_18.计算行列式 （分数：2.00）_19.计算行列式 （分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_21.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_22.A是 n 阶行列式，其中有一行(或一则)元素全是 1证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_23.计算 D 5 = （分数：2.00）_24.计算行列式 （分数：2.00）_25.设 f(x)= ，试证明： （分数：2.
6、00）_26.计算 D n = （分数：2.00）_27.设 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，证明下列结论： (1)a ij =A ij A T A=E 且A=1； (2)a ij =A ij A T A=E 且A=1（分数：2.00）_28.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.00）_29.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_30.设 B=2AE证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_3
7、1.设 A 是 n 阶矩阵证明：A=O 的充要条件是 AA T =O（分数：2.00）_32.设 A= （分数：2.00）_33.设 A= （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 12 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.2B.2 C.3D.3解析：解析：由行列式展开定理，只有 a 12 A 12 这一项有可能得到 x 3 项，又 a 12 A 12 =(x) 3.设 （分数：2.00）A.c 2 mB.m C.
8、cmD.c 3 m解析：解析：由4.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.(m+n)C.nm D.mn解析：解析：因 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 = 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 3 ， 2 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =nm， 应选(C)5.线性方程组 （分数：2.0
9、0）A.若方程组无解，则必有系数行列式A =0 B.若方程组有解，则必有系数行列式A 0C.系数行列式A =0，则方程组必无解D.系数行列式A 0 是方程组有唯一解的充分非必要条件解析：解析：方程组无解=A=0(反证，若A0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，A可能为零，也可能不为零；(C)A=0，方程组也可能有解；(D)A0=方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一解=A一定不为零6.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解 B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解解析：解析：因 a=0 或 b=
10、0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式7.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.AB=OA=O 且 B=OB.A=0A=OC.AB =0A=0 或B=0 D.A=EA=1解析：解析：因AB=AB=0A=0 或B=0，故(C)正确； (A)不正确，例：A= O，但 AB=O； (B)不正确，例： O； (D)不正确，例：A= 8.设 A 是 n 阶方阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AB=O=A=OB.B T AB=O=A=OC.AX=0=A=OD.X T AX=0=A=O 解析
11、：解析：对任意的 X，有 X T AX=0，可推出 A T =A，不能推出 A=O例 ，对任意的x 1 ，x 2 T ，均有 但 A= 9.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.EC.E D.E+ T 解析：解析：AB=(E T )(E+2 T )=E+ T 2 T T =E+ T 2 T ( T )， 其中 故 AB=E+ T 2 10.A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（分数：2.00）A.(A 2 ) 1 =(A 1 ) 2 B.(A+B) 1 =A 1 +B 1C.(A+B)(AB)=A 2 B 2D.(kA) 1 =kA 1 (k0)解析：解析：(A 2
12、) 1 =(AA) 1 =A 1 A 1 =(A 1 ) 2 ；(B)不成立，例：B=A，A+B 不可逆；(C)中，ABBA，BAABO；(D)中，(kA) 1 = 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 2 y 2 )(b 2 c 2 )）解析：解析： 12.设 a，b，a+b 均非 0，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(a 3 +b 3 )）解析：解析：将第 2,3 行加到第 1 行，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的1 倍加到第 23 列，得到 13.已知 A，B 为 3
13、 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，A=B=2，且 1 2 3 =A=2，可见 3 =1，从而 A，B 有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =1于是有 A+E=( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)=12， (2B) * =2 2 B * =4 3 B * =4 3 B 2 =256， 故 14.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1) n1 (n1)）解析：解析： 15.设 A=
14、1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，A=4，若 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，2 2 + 3 ，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质 B= 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ，5 3 =5 1 3 2 +2 3 ， 2 2 3 ， 3 =5 1 3 2 ， 2 ， 3 =5 1 ， 2 ， 3 =2016.设 a=1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则aEA n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 (a2 n )）解析：解析：A= T = T =1，0，1 =2， A n
15、 =( T ) n = T T T =( T )( T )( T ) T =2 n1 A， 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一列展开，得 )解析：19.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把原行列式表示成如下形式 )解析：21.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a
16、 ij 的代数余子式；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 a ij =A ij ，所以 A * =A T ，且 AA * =AA T =AE 两边取行列式得 AA T =A 2 =AE=A n 从而 A=1 或A=0 由于 a 11 0，可知 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n =a 11 2 +a 12 2 +a 1n 2 0 于是A=1)解析：22.A是 n 阶行列式，其中有一行(或一则)元素全是 1证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 )解析：23.
17、计算 D 5 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一行展开 D 5 =(1x)D 4 x =(1x)D 4 +xD 3 ， 得到递推公式， D 5 D 4 =x(D 4 D 3 )=x 3 (D 2 D 1 ) 由于 D 2 = =1x+x 2 ，D 1 =1x，于是得 )解析：24.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)= ，试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)显然在0，1上连续，在(0，1)上可导而 可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 )解析：26.计算 D n = （分数：2.00）_正确答案：
18、(正确答案：把第 1 行的(x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 当 x0 时，再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 D n 化成了上三角行列式 D n = )解析：27.设 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，证明下列结论： (1)a ij =A ij A T A=E 且A=1； (2)a ij =A ij A T A=E 且A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a ij =A ij 时，有 A T =A * ，则 A T A=AA * =AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 不全为 0，所以 t
19、r(AA T )= a ij 2 0而 tr(AA T )=tr(AE)=nA，这说明A0在 AA T =AE 两边取行列式，得A n2 =1，A=1 反之，若 A T A=E且A=1，则 A * A=AE=E 且 A 可逆，于是，A T A=A * A，A T =A * ，即 a ij =A ij (2)当 a ij =A ij 时，有 A T =A * ，则 A T A=A * A=AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 不全为0，所以A= )解析：28.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.
20、00）_正确答案：(正确答案：由A+E=A+AA T =A(E+A T )=A.(A+E) T =A .A+E， 故 (1A)A+E=0 )解析：29.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 a 1 ，a 2 ，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 x i = )解析：30.设 B=2AE证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 B=2AE，B 2 =(2AE)(2AE)=4A 2 4A+E，所以 4A 2 4A+E=E4A
21、 2 4A=OA 2 =A)解析：31.设 A 是 n 阶矩阵证明：A=O 的充要条件是 AA T =O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，则若 AA T = =O 应有 )解析：32.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用归纳法 n=3 时，因 ，验证得 A 3 =A+A 2 E，上式成立； 假设n=k1 时(n3)成立，即 A k1 =A k3 +A 2 E 成立，则 A k =A.A k1 =A(A k3 +A 2 E)=A k2 +A 3 A =A k2 +(A+A 2 E)A=A k2 +A 2 E 即 n=k 时成立故 A n =A n2 +A 2 E 对任意 n(n3)成立 (2)由上述递推关系可得 A 100 =A 98 +A 2 E=(A 96 +A 2 E)+A 2 E =A 96 +2(A 2 E)=A 2 +49(A 2 E) )解析：33.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 = 令 得 )解析：
