1、考研数学三（线性代数）-试卷 11 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.一 EC.ED.E+ T 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 A 一 B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00
2、）A.AB 为对称矩阵B.设 A，B 可逆，则 A 一 1 +B 一 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0D.若 AB0，则|A|0 或|B|06.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.lAl=1BlB.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0D.若|A|0 则|B|07.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC
3、，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定8.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.rmD.rm9.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=410.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(
4、A 一 B)D.|A|=011.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 113.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 一 1 AP 1D.B=P 1 一 1 AP 2 一 1二、填空题(总题数：5，分数：10.00)14.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A 一 1 BA 一 6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 43 阶矩阵且 r
5、(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.P 1 = （分数：2.00）填空项 1:_18.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 2A=0，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 （分数：4.00）(1).|一 2B|；（分数：2.00）_(2).AB 一 BA（分数：2.00）_20.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A
6、+B证明：AB=0（分数：2.00）_21.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.设四阶矩阵 B 满足 BA 一 1 =2AB+E，且 A= （分数：2.00）_24.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求：（分数：4.00）(1).(A+2E) 一 1 ；（分数：2.00）_(2).(A+4E) 一 1 （分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =0，求(E 一 A)
7、 一 1 （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 11 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.一 EC.E D.E+ T 解析：解析：由 T = 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 A 一 B 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：若
8、 A，B 可逆，则|A|0，|B|0，又|AB|=|A|B|，所以|AB|0，于是 AB 可逆，选(B)4.设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.AB 为对称矩阵 B.设 A，B 可逆，则 A 一 1 +B 一 1 为对称矩阵C.A+B 为对称矩阵D.kA 为对称矩阵解析：解析：由(A+B) T =A T +B T =A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A 一 1 +B 一 1 ) T =(A 一 1 ) T +(B 一 1 ) T =A 一 1 +B 一 1 ，得 A 一 1 +B 一 1 为对称矩阵；由(kA) T =kA T =kA，得 kA 为对
9、称矩阵，选(A)5.设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0 D.若 AB0，则|A|0 或|B|0解析：解析：取 显然 AB=0，故(A)、(B)都不对，取 A=6.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.lAl=1BlB.|A|B|C.若|A|=0 则|B|=0 D.若|A|0 则|B|0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P 5 ，Q 1 ，Q
10、 t ，使得 B=P s P 1 AQ 1 ，Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若|A|=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即|B|=0，选(C)7.设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.rr 1 D.r 与 r 1 的关系依矩阵 C 的情况而定解析：解析：因为 r 1 =r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选(C)8.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A
11、.rmB.r=mC.rm D.rm解析：解析：显然 AB 为 m 阶矩阵，r(A)n，r(B)n，而 r(AB)minr(A)，r(B)nm，所以选(C)9.设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A * )=1，则( )（分数：2.00）A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3 D.r(A)=4解析：解析：因为 r(A * )=1，所以 r(A)=4 一 1=3，选(C)10.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（分数：2.00）A.r(B)=nB.r(B)nC.A 2 一 B 2 =(A+B)(A 一 B)D.|A|=0 解析：解析：因为 AB=0，所
12、以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是|A|=0，选(D)11.设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A，B 都是可逆矩阵，因为 所以12.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选(D
13、)13.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 一 1 AP 1D.B=P 1 一 1 AP 2 一 1 解析：解析：显然 B= 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)14.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A 一 1 BA 一 6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 一 1 BA=6A+BA，得 A 一 1 B=6E+B，于是(A 一 1 一 E)B=6E，B=6(A 一 1 一 E) 一 1 = 15.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_
14、（正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为|B|=100，所以 r(AB)=r(A)=216.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又因为 B0，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=217.P 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P 1 = =E 23 ，因为 E ij 一 1 =E ij ，所以 E ij 2 =E，于是 P 1 2009 P 2 一 1 =P 1 P 2 一 1 = 18.f(x 1
15、，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 2A=0，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2 ）解析：解析：A 2 一 2A=0 r(A)+r(2E 一 A)=4 三、解答题(总题数：11，分数：24.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 （分数：4.00）(1).|一 2B|；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|一 28|=(一 2) 3 |B|=一 8；)解析：(2).AB 一 BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 A，B
16、为 n 阶矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，(A+B) 2 =A+B证明：AB=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 =A，B 2 =B 及(A+B) 2 =A+B=A 2 +B 2 +AB+BA 得 AB+BA=0 或 AB=一 BA，AB=一 BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A 得 ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0)解析：21.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=A+2X 得(A 一 2E)X=A，其中 A 一 2E= 因为|A 一 2E|=一 10，所以X=(A
17、 一 2E) 一 1 A， )解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX+|A|E 一 A * +X 得(A 一 E)X=A * 一|A|E 一 A * 一 AA * =(E 一 A)A * ，因为|E 一 A|=一 30，所以 E 一 A 可逆，于是 X=一 A * ，由|A|=6 得 X=一 6A 一 1 ， )解析：23.设四阶矩阵 B 满足 BA 一 1 =2AB+E，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|A|=4， BA 一 1 =2AB+ BA 一 1 =2AB+E ABA 一 1 =2AB+ B=2BA+E B=(E 一 2A) 一 1 =
18、 )解析：24.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * BA=2BA 一 8E 得 AA * BA=2ABA 一 8A， 即一 2BA=2ABA 一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E) 一 1 = )解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，C=(a n )，则 )解析：设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=0求：（分数：4.00）(1).(A+2E) 一 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
19、由 A 2 +2A 一 3E=0 得 A(A+2E)=3E， (A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 一 1 = )解析：(2).(A+4E) 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A 一 3E=0 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=0，则(A+4E) 一 1 = )解析：27.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =0，求(E 一 A) 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k 一 A k =(EA)(E+A+A 2 +A k 一 1 )，又 E k 一 A k =E，所以(EA) 一 1 =E+A+A 2 +A k 一 1 )解析：
