1、考研数学三（线性代数）-试卷 10 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（ ）（分数：2.00）A.0B.a 2C.a 2D.na 23.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足（AB） 2 =E，则（BA） 2 =E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则
2、AB 必不可逆。 正确的是（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A= 那么（P 1 ） 2010 A（Q 2011 ） 1 =（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关6
3、.设 A= （分数：2.00）A.1B.2C.l 或2D.17.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）A n x=0 和（2）A n+1 x=0，现有四个命题： （1）的解必是（2）的解； （2）的解必是（1）的解； （1）的解不是（2）的解； （2）的解不是（1）的解。 以上命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵（P 1 AP） T 属于特征值 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.P 1 B.P T C.PD.（P 1 ） T 9.已知 A 是
4、n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（ ）（分数：2.00）A.A TB.A 2C.A 1D.AE10.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 2A 2 ，则 r（B）=（ ）（分数：2.00）A.1B.2C.3D.不能确定11.n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP=EC.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 1 CD.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 =(1,
5、2,3) T ，=(1, （分数：2.00）填空项 1:_14.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_16.向量组 1 =（1，2，0，3） T ， 2 =（2，5，3，6） T ， 3 =（0，1，3，0） T ， 4 =（2，1，4，7） T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_19.设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=（3 3 ，
6、 1 ，2 2 ），则 P 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 f=x 1 2 +x 2 2 + 5x 3 2 + 2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.证明： （分数：2.00）_23.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_24.设 A 为 n 阶矩阵（n2），A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_25. * 是非齐次线性
7、方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： （） * ， 1 ， nr 线性无关； （） * ， * + 1 ， * + nr 线性无关。（分数：2.00）_26.设 A= （分数：2.00）_27.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_28.设矩阵 A= （分数：2.0
8、0）_29.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =（1，2，1） T ， 2 =（0，1，1） T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 （）求 A 的特征值与特征向量； （）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分数：2.00）_30.已知 A= （分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 10 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（
9、）（分数：2.00）A.0 B.a 2C.a 2D.na 2解析：解析：按这一列展开，D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +a 2nj A 2nj =aA 1j +aA 2j +aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为a，从而行列式的值为零。所以应选 A。3.下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 1 =B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足（AB） 2 =E，则（BA） 2 =E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是（ ）（分数：2.0
10、0）A.B.C.D. 解析：解析：如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。 若 A、B 为 n 阶矩阵，（AB） 2 =E，即（AB）（AB）=E，则可知 A、B 均可逆，于是 ABA=B 1 ，从 而 BABA=E，即（BA） 2 =E。因此正确。 若设 显然 A、B 都不可逆，但A+B= 4.设 A= 那么（P 1 ） 2010 A（Q 2011 ） 1 =（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：P、Q 均为初等矩阵，因为 P 1 =P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A 的第一、三两行，所以 P
11、2010 A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而（P 1 ） 2010 A=P 2010 A=A。 又（Q 2011 ） 1 =（Q 1 ） 2011 ，且 Q 1 = 5.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（ ）（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线
12、性无关解析：解析：记 B=（ 1 ， 2 ， s ），则（A 1 ，A 2 ，A s ）=AB。若向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，则 r（B）s，从而 r（AB）r（B）s，向量组 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关，故应选 A。6.设 A= （分数：2.00）A.1B.2 C.l 或2D.1解析：解析：由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r（A）=2。由方程组 Ax=0 有非零解可得，|A|=（a1） 2 （n+2）=0，即a=1 或2。当 a=1 时，r（A）=1，舍去；当 a=2 时，r（A
13、）=2。所以选 B。7.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）A n x=0 和（2）A n+1 x=0，现有四个命题： （1）的解必是（2）的解； （2）的解必是（1）的解； （1）的解不是（2）的解； （2）的解不是（1）的解。 以上命题中正确的是（ ）（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：若 A n =0，则 A n+1 =A（A n ）=A0=0，即若 是（1）的解，则 必是（2）的解，可见命题正确。 如果 A n+1 a=0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A，A 2 ，A n ，一方面有： 若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n A n a=0，用 A
14、n 左乘上式的两边得 kA n a=0。由 A n 0可知必有 k=0。类似地可得 k 1 =k 2 =k n =0。因此，A，A 2 ，A n 线性无关。 但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 A n+1 =0 时，必有 A n a=0，即（2）的解必是（1）的解。因此命题正确。 所以应选 A。8.设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵（P 1 AP） T 属于特征值 的特征向量是（ ）（分数：2.00）A.P 1 B.P T C.PD.（P 1 ） T 解析：解析：设 是矩阵（P
15、 T AP） T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 A T =A，有（P 1 AP） T =，即 P T A（P 1 ） T =。把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即左端=P T A（P 1 ） T （P T ）=P T A=P T A=AP T =右端。所以应选 B。9.已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（ ）（分数：2.00）A.A T B.A 2C.A 1D.AE解析：解析：由于|EA T |=|（EA） T |=|AEA|，A 与 A T 有相同的特征多项式，所以 A 与 A T 有相同的特征值。 由 A
16、=，0 可得到 A 2 = 2 a，A 1 ，=A 1 ，（AE）=（1），说明 A 2 、A 1 、AE 与 A 的特征值是不一样的（但 A 的特征向量也是它们的特征向量）。所以应选 A。10.已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A 3 2A 2 ，则 r（B）=（ ）（分数：2.00）A.1 B.2C.3D.不能确定解析：解析：因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP= 于是 P 1 BP=P 1 （A 3 2A 2 ）P=P 1 A 3 P2P 1 A 2 P=（P 1 AP） 3 2 （P 1 AP） 2 11.n
17、 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.二次型 x T Ax 的负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP=EC.存在 n 阶矩阵 C 使 A=C 1 CD.A 的伴随矩阵 A * 与 E 合同 解析：解析：选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r（A）=p+qn，当 q=0 时，有 r（A）=pn。此时有可能 pn，故二次型 x T Ax 不一定是正定二次型。因此矩阵 A 不一定是正定矩阵。例如 f（x 1 ，x 2 ，x 3 ）=x 1 2 +5x 3 2 。 选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P 1 AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特
18、征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。 选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=C T C 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 A 1 正定 A * 正定 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：120）解析：解析：将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即13.设 =(1,2,3) T ，=(1, （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
19、*）解析：解析：A= T = =2，且矩阵的乘法满足结合律，所以 A 3 =（ T ）（ T ）（ T ）=（ T ）（ T ） T =4 T =4A= 14.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 AA * =|A|E 可得 A=|A|（A * ） 1 ，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得|A * |=8=|A| 3 ，因此|A|=2，又 15.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A * 也是可逆的，因此 r（AXA * ）=r（X）=2=r（
20、B），因此可得|B|=0，则 16.向量组 1 =（1，2，0，3） T ， 2 =（2，5，3，6） T ， 3 =（0，1，3，0） T ， 4 =（2，1，4，7） T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 ， 2 ， 4）解析：解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有（ 1 ， 2 ， 3 ， 4 ）= 17.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 （1，2，1） T +k 2 （1，0，1） T ，k 1 ，k 2 是任意常数）解析：解析：|A|=0，且 r（A）=2，所以 r（A
21、* ）=1，则由 nr（A * ）=2 可知，A * x=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k 1 1 +k 2 2 。又因为 A * A=|A|E=0，所以矩阵 A 的列向量是 A * x=0 的解，故通解是 k 1 （1，2，一 1） T +k 2 （1，0，1） T ，k 1 ，k 2 是任意常数。18.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，2）解析：解析：因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特
22、征值的和可知1 +2 +3=3，故 1 = 2 = 3 =2。19.设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=（3 3 ， 1 ，2 2 ），则 P 1 AP= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 3 3 ， 1 ，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以 20.设 f=x 1 2 +x 2 2 + 5x 3 2 + 2ax 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
23、： ）解析：解析：二次型的矩阵为 其各阶主子式为 a 11 =1， =a（5a +4）。 因为 f 为正定二次型，所以必有 1a 2 0 且a（5a +4）0，因此 a 0。 故当 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可利用递推法证明。 左边=xD n +（一 1） n+2 a 0 )解析：23.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=|A|E，知|A * |=|A| n1 ，因此有
24、8=|A * |=|A| 3 ，于是|A|=2。 在等式 ABA 1 =BA 1 +3E 两边先右乘 A，再左乘 A * ，得 2B=A * B+3A * A，即 （2EA * ）B=6E。 于是 B=6（2EA * ） 1 = )解析：24.设 A 为 n 阶矩阵（n2），A * 为 A 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（1）当 r（A）=n 时，|A|0，则有|A * |=|A| n1 0，从而 A * 可逆，即r（A * ）=n。 （2）当 r（A）=n1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n1 阶子式不为零，即 A * 中至少有一个元素不为零，故 r（
25、A * ）1。 又因 r（A）=n1 时，有|A|=0，且由 AA * =|A|E 知 AA * =0。根据矩阵秩的性质得 r（A）+r（A * ）n，把 r（A）=n1 代入上式，得 r（A * ）1。综上所述，有 r（A * ）=1。 （3）当 r（A）n2 时，A 的所有 n1 阶子式都为零，也就是 A * 的任一元素均为零，即 A * =0，从而 r（A * ）=0。)解析：25. * 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1 ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： （） * ， 1 ， nr 线性无关； （） * ， * + 1 ， * + nr 线性无关。（分数
26、：2.00）_正确答案：(正确答案：（）假设 * ， 1 ， nr 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c nr ，使得 c 0 * + c 1 1 +c nr nr =0， （1） 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A（c 0 * + c 1 1 +c nr nr ）=c 0 A * + c 1 A 1 +c nr A nr =c 0 b， 其中 b0，则 c 0 =0，于是（1）式变为 c 1 1 +c nr nr =0， 1 ， nr ，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， nr 线性无关，因此 c 1 =c 2 =c nr =0，与假设矛盾。 所以 * ， 1
27、 ， nr 线性无关。 （）假设 * ， * + 1 ， * + nr 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c nr ，使 c 0 * + c 1 （ * + 1 ）+c nr （ * + nr ）=0， 即 （c 0 +c 1 +c nr ） * + c 1 1 +c nr nr =0。 （2） 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A（c 0 +c 1 +c nr ） * +c 1 1 +c nr nr =（c 0 + c 1 +c nr ）A * +c 1 A 1 +c nr nr =（c 0 +c 1 +c nr ）b， 因为 b0，故 c 0 +c 1 +c nr =0，代
28、入（2）式，有 c 1 1 +c nr nr =0， 1 ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， nr 线性无关，因此 c 1 =c 2 =c nr =0，则 c 0 =0。与假设矛盾。 综上，向量组 * ， * + 1 ， * + nr 线性无关。)解析：26.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： （）对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 要使原线性方程组有无穷多解，则有 1a 4 =0 且aa 2 =0，即 a=1。 当 a=1 时， )解析：27.设 1 ， 2 ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ，
29、 2 =t 1 2 +t 2 3 ， s =t 1 s +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数。试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 ， 2 ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i （i=1，2，s）是 1 ， 2 ， s 的线性组合，且 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知 i （i=1，2，s）均为Ax=0 的解。 从 1 ， 2 ， s 是 Ax=0 的基础解系知 s=nr（A）。 以下分析 1 ， 2 ， s 线性无关的条件： 设 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，即
30、（t 1 k 1 +t 2 k 1 ） 1 +（t 2 k 1 +t 1 k 2 ） 2 +（t 2 k 2 +t 1 k 3 ） 3 +（t 2 k s1 +t 1 k s ） s =0， 由于 1 ， 2 ， s 线性无关，所以 又因系数矩阵的行列式 )解析：28.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式为 |EA|= =（2）（ 2 8+18 +3a）。 如果 =2 是单根，则 2 8 +18 +3a 是完全平方，必有 18 +3a=16，即 a= )解析：29.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =（1，2，1） T ， 2 =
31、（0，1，1） T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 （）求 A 的特征值与特征向量； （）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 Q T AQ=A。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有 则 =3 是矩阵 A 的特征值，=（1，1，1） T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k=k（1，1，1） T ，其中 k是不为零的常数。 又由题设知 A 1 =0，A 2 =0，即 A 1 =0 1 ，A 2 =0 2 ，而且 1 ， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1 ， 2 是其对应的特征向量，因此对应 =0的全
32、部特征向量为 k 1 1 +k 2 2 =k 1 （1，2，1） T +k 2 （0，1，1） T ，其中 k 1 ，k 2 是不全为零的常数。 （）因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1 ， 2 正交，只需将 1 与 2 正交化。 由施密特正交化法，取 1 = 1 ， 2 = 2 再将 ， 1 ， 2 单位化，得 令 Q=（ 1 ， 2 ， 3 ），则 Q 1 =Q T ，且 )解析：30.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）A T A= 由 r（A T A）=2 可得 |A T A|= =（a+1） 2 （a 2 +3）=0， 所以 a=1。 （）由（）中结果，令矩阵 解得矩阵 B 的特征值为 1 =0， 2 =2， 3 =6。 由（ i EB）x=0，得对应特征值 1 =0， 2 =2， 3 =6 的特征向量分别为 1 =（1，1，1） T ， 2 =（1，1，0） T ， 3 =（1，1，2） T 。 将 1 ， 2 ， 3 单位化可得： )解析：
