1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 4及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.矩阵 A= （分数：2.00）A.1，1，0B.1，-1，-2C.1，-1，2D.1，1，23.矩阵 A= （分数：2.00）A.(1，2，-1) T B.(1，-1，2) T C.(1，-2，3) T D.(-1，1，-2) T 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4.设 A是 n阶矩阵，=2 是 A的一个特征值，则 2A 2 -3A+5E必有特征值 1.（
2、分数：2.00）填空项 1:_5.已知 A，B 都是凡阶矩阵，且 P -1 AP=B，若 a是矩阵 A属于特征值 的特征向量，则矩阵 B必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_6.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.设 ， 均为 3维列向量，且满足 T =5，则矩阵 T 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 A是 3阶矩阵，如果矩阵 A的每行元素之和都为 2，则矩阵 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_9.已知 A是 3阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T 如果 A的另外两个特征值是 2和-1，又 =2 的特征向量是(2，0，
3、-1) T ，则 =-1 的特征向量是 1.（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 A是 3阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T 如果 A的另外两个特征值是 3(二重根)，则 =3 的特征向量是 1.（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.若 1 ， 2 是矩阵 A不同的特征值， 1 是对应于 1 的特征向量，则 1 不是 2 的特征向量（分数：2.00
4、）_15.已知 A= （分数：2.00）_16.求 A= （分数：2.00）_17.求 A= （分数：2.00）_18.已知 A是 n阶矩阵，满足 A 2 -2A-3E=0，求矩阵 A的特征值（分数：2.00）_19.设 A是 3阶矩阵 1 ， 2 ， 3 是 3维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 - 2 +3 3 ， A 2 =4 1 -3 2 +5 3 ， A 3 =0. 求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_20.设 A是 n阶矩阵，A=E+xy T ，x 与 y都是 n1矩阵，且 x T y=2，求 A的特征值、特征向量（分数：2.00）_21.已知 A，B 均是 3阶非
5、零矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，AB=BA=0，证明 0和 1必是 A与 B的特征值，并且若 是 A关于 =1 的特征向量，则 必是 B关于 =0 的特征向量（分数：2.00）_22.已知 A= （分数：2.00）_23.已知 =0 是 A= （分数：2.00）_24.设矩阵 A= （分数：2.00）_25.设 A是 n阶矩阵，A 2 =A， r(A)=r，证明 A能对角化，并求 A的相似标准形（分数：2.00）_26.已知 A= （分数：2.00）_27.已知 A= （分数：2.00）_28.设矩阵 A与 B相似，且 A= （分数：2.00）_29.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2
6、， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A的特征值；()求可逆矩阵 P使 P -1 AP=A（分数：2.00）_30.已知矩阵 A与 B相似，其中 A= （分数：2.00）_31.已知 = （分数：2.00）_32.已知 A= （分数：2.00）_考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 4答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.矩阵 A=
7、（分数：2.00）A.1，1，0B.1，-1，-2C.1，-1，2 D.1，1，2解析：解析：本题可以南特征方程E-A=0，即 3.矩阵 A= （分数：2.00）A.(1，2，-1) T B.(1，-1，2) T C.(1，-2，3) T D.(-1，1，-2) T 解析：解析：如果(1，-1，2) T 是矩阵 A的特征向量，则(-1，1，-2) T 亦是 A的特征向量所以(B)，(D)均错误 又 ，所以(A)不正确，故应选(C) 事实上由 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4.设 A是 n阶矩阵，=2 是 A的一个特征值，则 2A 2 -3A+5E必有特征值 1.（分数：2.00）填
8、空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如 A=，则 A 2 =A()=A= 2 因此(2A 2 -3A+5E)=2A 2 -3A+5=(2 2 -3+5) 所以 2.2 2 -3.2+5=7必是 A的特征值5.已知 A，B 都是凡阶矩阵，且 P -1 AP=B，若 a是矩阵 A属于特征值 的特征向量，则矩阵 B必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：P -1 ）解析：解析：因 P -1 AP=B 6.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：由公式(53)知 a+3+(-1)= i =3， 则 a=1
9、 又 7.设 ， 均为 3维列向量，且满足 T =5，则矩阵 T 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5，0，0）解析：解析：因为矩阵 A= T 的秩为 1，由公式(5.2)的特例知，矩阵 A的特征值为a ii ，0，0. 又因矩阵特征值之和等于矩阵的迹(即矩阵主对角线元素之和)，由于 T = T 正是矩阵的迹，所以矩阵 T 的特征值为 5，0，08.设 A是 3阶矩阵，如果矩阵 A的每行元素之和都为 2，则矩阵 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1) T）解析：解析：由于矩阵 A的每行元素之和都为 2，所以有
10、 9.已知 A是 3阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T 如果 A的另外两个特征值是 2和-1，又 =2 的特征向量是(2，0，-1) T ，则 =-1 的特征向量是 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，-5，2) T ，k0）解析：解析：对于实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交 设 =-1 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 2 ) T ，则 10.已知 A是 3阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T 如果 A的另外两个特征值是 3(二重根)，则 =3 的特征向量是 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k
11、1 (-1，1，0) T +k 2 (-2，0，1) T ，k 1 ，k 2 不全为 0）解析：解析：设 =3 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 +x 2 +2x 3 =0， 得基础解系(-1，1，0) T ，(-2，0，1) T 所以 =3 的特征向量是 k 1 (-1，1，0) T +k 2 (-2，0，1) T ，k 1 ，k 2 不全为 011.已知 =12 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由于 =12 是矩阵 A的特征值，故12E-A=0，即12.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
12、正确答案：0）解析：解析：由 A的特征方程 E-A= =(-1)( 2 -1)=0， 得到特征值 =1(二重)，=-1 因为 A有 3个线性无关的特征向量，故 =1 必须有两个线性无关的特征向量(59)那么，必有r(E-A)=3-2=1于是由 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.若 1 ， 2 是矩阵 A不同的特征值， 1 是对应于 1 的特征向量，则 1 不是 2 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(反证法) 若 1 是 2 所对应的特征向量，则 1 1 =A 1 = 2 1 于是(
13、 1 - 2 ) 1 =0 从 1 2 得到 1 =0，与特征向量非零相矛盾.)解析：15.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E-A= =(-3) 2 =0， 得矩阵 A的特征值 1 = 2 =3， 3 =0 当 =3 时，对(3E-A)x=0， 3E-A= 得特征向量 1 =(1，-2，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =0 时，对(OE-A)x=0， OE-A= 得特征向量 3 =(-1，-1，1) T 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：16.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A= =(-7)( 2 -5-14)=(-
14、7) 2 (+2)， 当 =7 时，7E-A= 当 =-2 时，-2E-A= )解析：17.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A= =(-1) 2 -(2a+1)A+4a-2=(-1)(-2)-(2a-1)， 当 =1 时，E-A= 当 =2 时，2E-A= 当 =2a-1 时， (2a-1)E-A= )解析：18.已知 A是 n阶矩阵，满足 A 2 -2A-3E=0，求矩阵 A的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A的任意一个特征值， 是 所对应的特征向量，即A=，0 那么(A 2 -2A-3E)= )解析：19.设 A是 3阶矩阵 1 ， 2
15、， 3 是 3维线性无关的列向量，且 A 1 = 1 - 2 +3 3 ， A 2 =4 1 -3 2 +5 3 ， A 3 =0. 求矩阵 A的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 3 =0=0 3 ，知 =0 是 A的特征值， 3 是 =0 的特征向量 由已知条件，有 A( 1 ， 2 ， 32 )=( 1 - 2 +3 3 ，4 1 -3 2 +5 3 ，0) =( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P=( 1 ， 2 ， 3 )，由 1 ， 2 ， 3 线性无关，知矩阵 P可逆，进而 P -1 AP=B， 其中 B= 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵 B的特征多
16、项式 E-B= =(+1) 2 ， 所以矩阵 A的特征值是：-1，-1，0 对于矩阵 B， 所以矩阵 B关于特征值=-1 的特征向量是 =(-2，1，1) T 若 B=，即(P -1 AP)=，亦即 (P)=(P)，那么矩阵 A关于特征值 -1 的特征向量是 P=( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：20.设 A是 n阶矩阵，A=E+xy T ，x 与 y都是 n1矩阵，且 x T y=2，求 A的特征值、特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=xy T = (y 1 ，y 2 ，y n )，则 B 2 =(xy T )(xy T )=x(y T x)y T =2xy T =2
17、B， 可见 B的特征值只能是 0或 2 因为 r(B)=1，故齐次方程组 Bx=0的基础解系由 n-1个向量组成，则 )解析：解析：令 B=xy T ，则 A=E+B，如 是 B的特征值， 是对应的特征向量，那么 Aa=(B+E)=+=(+1) 可见 +1 就是 A的特征值， 是 A关于 +1 的特征向量反之，若A=，则有 B=(-1) 所以，为求 A的特征值、特征向量就可转化为求 B的特征值、特征向量21.已知 A，B 均是 3阶非零矩阵，且 A 2 =A，B 2 =B，AB=BA=0，证明 0和 1必是 A与 B的特征值，并且若 是 A关于 =1 的特征向量，则 必是 B关于 =0 的特征
18、向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 2 =A，则 A的特征值只能是 0或 1，又因(A-E)A=0，A0，知齐次方程组(A-E)x=0有非零解，故A-E=0，即 =1 必是 A的特征值据 AB=0，B0，得 Ax=0有非零解，那么0E-A=A=0，故 0必是 A的特征值 由于已知条件的对称性，0 与 1必是 B的特征值对于A=，同时左乘矩阵 B，得 B=B(A)=(BA)=0=0=0， 所以 是矩阵 B关于 =0 的特征向量)解析：22.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于1 是 A的特征值，将其代入特征方程，有 据(53)， )解析：23.已知 =0
19、 是 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0 是特征值，故由 由特征多项式E-A= = 2 (-1)，知 =0 是 A的二重特征值 由于 r(0E-A)=r(A)= )解析：24.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A的特征多项式为 E-A= =(-2)( 2 -8+18+3a)， ()如果 =2 是单根，则 2 -8+18+3a 是完全平方，那么有 18+3a=16，即 a= 由于矩阵 A的特征值是2，4，4，而秩 r(4E-A)= =2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A不能相似对角化 ()如果 =2 是二重特征值，则 2 -8+1
20、8+3a=(-2)(-6)，那么有 18+3a=12，即 a=-2 由于矩阵 A的特征值是 2，2，6，而秩 r(2E-A)= )解析：25.设 A是 n阶矩阵，A 2 =A， r(A)=r，证明 A能对角化，并求 A的相似标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A按列分块，记 A=( 1 ， 2 ， n )由 r(A)=r，知 A中有 r个列向量线性无关，不妨设为 1 ， 2 ， n ，因为 A 2 =A，即 A( 1 ， 2 ， n )=( 1 ， 2 ， n )，所以 A 1 = 1 =1. ， ， A r = 2r =1. r 那么 =1 是 A的特征值， 1 ， 2 ，
21、r 是其线性无关的特征向量 对于齐次线性方程组 Ax=0，其基础解系由 n-r(A)=n-r个向量组成因此，0 是 A的特征值，基础解系是 =0 的特征向量从而 A有 n个线性无关的特征向量，A 可以对角化(=1 是 r重根，=0 是，n-r 重根)，且有 )解析：26.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 A的特征值、特征向量由特征多项式，有 E-A= =(+1)( 2 +)， 于是 A的特征值是-1(二重)，0 对 =-1，解齐次方程组(-E-A)x=0， 得到特征向量 1 =(-2，1，0) T ， 2 =(1，0，1) T 对 =0，解方程组 Ax=0， ，得特征
22、向量 3 =(2，0，1) t 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：27.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A的特征多项式，得 =(-2n+1)(-+1) N-1 ， 所以 A的特征值为 1 =2n-1，A2=N-1(n-1 重根) 对于 1 =2n-1，解齐次方程组( 1 E-A)x=0， 得到基础解系 1 =(1，1，1) T 对于 2 =n-1，齐次方程组( 2 E-A)x=0等价于 x 1 +x 2 +x n =0，得到基础解系 2 =(-1，1，0，0) T ， 3 =(-1，0，1，0) T ， n =(-1，0，0，1) T ， 所以 A的特征向
23、量是：k 1 1 及 k 2 2 +k 3 3 +k n n 令 P= )解析：28.设矩阵 A与 B相似，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB，据(55)及(57)有 由 AB，知 A与 B有相同的特征值，于是 A的特征值是 1 = 2 =2， 3 =6 当 =2 时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0 得到基础解系为 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ，即 =2 的线性无关的特征向量 当 =6 时，解齐次线性方程组(6E-A)x=0 得到基础解系是(1，-2，3) T ，即 =6 的特征向量 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解
24、析：解析：A 与对角矩阵 B相似，为求矩阵 P应当用相似的性质先求出 a，b，然后再求 A的特征值与特征向量可逆矩阵 P即为特征值 2和 b对应的线性无关特征向量构成的矩阵29.设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 ()求矩阵 A的特征值；()求可逆矩阵 P使 P -1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由已知条件有 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 +3 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 记 P
25、1 =( 1 ， 2 ， 3 )，B= ，则有 AP 1 =P 1 B 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，矩阵 P可逆，所以 P 1 -1 AP 1 =B，即矩阵 A与 B相似由 E-B= =(-1) 2 (-4)， 知矩阵 B的特征值是 1，1，4，故矩阵 A的特征值是1，1，4 ()对矩阵 B，由(E-B)x=0，得 =1 的特征向量 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T ；由(4E-B)x=0，得 =4 的特征向量 3 =(0，1，1) T 那么令 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 )= 故当 P=P 1 P 2 =( 1 ， 2 ， 3 ) =(- 1 + 12
26、 ，-2 1 + 3 ， 2 + 3 )时， P -1 AP=A= )解析：30.已知矩阵 A与 B相似，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB，知 a=7，b=-2 从矩阵 A的特征多项式E-A= = 2 -4-5，得到 A的特征值是 1 =5， 2 =-1它亦是 B的特征值 解齐次线性方程组(5E-A)x=0，(-E-A)x=0可得到矩阵 A的属于 1 =5， 2 =-1的特征向量 1 =(1，1) T 与 2 =(-2，1) T 解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0 得到 B的特征向量分别是 1 =(-7，1) T ， 2 =(-1，1) T 那
27、么，令 P 1 = 即 P 2 P 1 -1 AP 1 P 2 -1 =B可见，取 P=P 1 P 2 -1 = )解析：解析：由A= 1 2 =-50，知 AA，因而可求可逆矩阵 P 1 和 P 2 ，使 P 1 -1 AP 1 =P 2 -1 BP 2 =A，那么 P=P 1 P 2 -1 31.已知 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按特征向量的定义，设 是 A所对应的特征向量，则 A=，即 由 E-A= 3 -2+(-3)+(-2)+(-1+6-2) 2 -(-1)=(+1) 3 ，知 =-1 是 A的三重特征值又因r(-E-A)= )解析：32.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB，它们有相同的特征值，相同的迹，又因 B是上三角矩阵，故 0，-1，-1是 B的特征值，于是由 )解析：解析：由于相似矩阵有相同的特征值(54)，B 是上三角矩阵，故 0，-1，-1 就是 B的特征值，因而也就是 A的特征值，故A=0，-E-A=0，再利用(53)就可得到以 a，b，c 为未知数的方程组
