1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 3及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不合同但相似D.既不合同也不相似3.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.与矩阵 A= 合同的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似C.不舍同但相似D.不合同也不相似6.设 A，B 均为 n阶实对称矩阵，则 A
2、与 B合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数7.二次型 x T Ax正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=EC.A的特征值全大于零D.存在 n阶矩阵 C，使 A=C T C二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.二次型 f(x 2 ，x 2 ，x 3 )=x 2 2 +2x 1 x
3、 3 的负惯性指数 q= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_12.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t 1（
4、分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 A，B 均是 n阶正定矩阵，判断 A+B的正定性（分数：2.00）_16.已知二次型 x T Ax是正定二次型，x=Cy 是坐标变换，证明二次型 y T By是正定二次型，其中 B=C T AC（分数：2.00）_17.证明二次型 x T Ax正定的充分必要条件是 A的特征值全大于 0（分数：2.00）_18.已知 A是 n阶可逆矩阵，证明 A T A是对称、正定矩阵（分数：2.00）_19
5、.已知 A，A-E 都是 n阶实对称正定矩阵，证明 E-A -1 是正定矩阵（分数：2.00）_20.设 A是 mn矩阵，B=E+A T A，证明当 0 时，B 是正定矩阵（分数：2.00）_21.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵 ()计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_22.设 A是 n阶正定矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n维非零列向量，且 i T A j =0(ij)，证明 1 ， 2 ， m 线性无关（分数：2.00）_23.设 A是 n阶实对称矩阵，AB+B T A是正定矩阵，证明 A可逆（分数：2.00）_24.已知
6、 A= （分数：2.00）_25.设矩阵 A= （分数：2.00）_26.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 2 x 3 -4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_27.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 -2x 1 x 2 -6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求 c及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换（分数：2.00）_28.设 A是 n阶实对称矩阵，若对任意的乃维列向量 恒有 T A=0，证明 A=0（分数：2.00）_29.若 A是 n阶正定矩阵，证明 A
7、-1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_30.设 A是 mn矩阵，r(A)=n，证明 A T A是正定矩阵（分数：2.00）_31.设 A是 n阶正定矩阵，证明A+2E2 n （分数：2.00）_32.已知 A= （分数：2.00）_考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 3答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设矩阵 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.合同但不相似 C.不合同但相似D.既不合同也不相似解析：解析：若存在
8、n阶可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B，称 n阶矩阵 A与 B相似 若存在 n阶可逆矩阵C，使得 C T AC=BE，称 n阶矩阵 A与 B合同 3.下列矩阵中，正定矩阵是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：正定的必要条件 ii 0，可排除(A)、(D)(B)中 2 =0与顺序主子式全大于 0相矛盾，排除(B)故应选(C)4.与矩阵 A= 合同的矩阵是 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由矩阵 A的特征多项式 E-A=5.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似 B.合同但不相似C.不舍同但相似D.不合同也不相似解析：解析：由E-A= 3 -3 2 ，知矩阵
9、A的特征值为 3，0，0 又因 A是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而二次型 x T Ax与 x T Bx有相同的标准形，进而有相同的正、负惯性指 数，所以 AB故应选(A)6.设 A，B 均为 n阶实对称矩阵，则 A与 B合同的充要条件是（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的行列式D.A，B 有相同的正负惯性指数 解析：解析：(A)是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 AB (B)是必要条件由 C T AC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不
10、是充分条件例如 A= ，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A与 B不合同 (C)既不必要也不充分例如 A= 7.二次型 x T Ax正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P -1 AP=EC.A的特征值全大于零 D.存在 n阶矩阵 C，使 A=C T C解析：解析：(A)是正定的必要条件若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= ，虽 q=0，但 f不正定 (B)是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵层相似，但二次型 x T Ax正定 (D)中没有矩阵 C可逆的条件，也就推导不出 A与 E合同，例如 C= 二、填空题(总题数
11、：6，分数：12.00)8.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 ) 2 的矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.二次型 f(x 2 ，x 2 ，x 3 )=x 2 2 +2x 1 x 3 的负惯性指数 q= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 故()是坐标变换，那么经此坐标变换二次型化为10.若二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 +2tx 2 x 3 的秩为 2，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正
12、确答案：正确答案：*）解析：解析：r(f)=2即 r(A)=2因A中有 2阶子式11.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +cx 3 2 +2ax 1 x 2 +2x 1 x 3 经正交变换化为标准形y 1 2 +2y 3 2 ，则 a= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 在正交变换下二次型矩阵 A和标准形矩阵 A不仅合同，而且相似于是由12.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t
13、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1 =1， 2 = =1-t 2 0， 3 =A=-5t 2 -4t0， 所以 t 13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k0）解析：解析：由矩阵 A的特征值为 3，0，0，知矩阵 B的特征值为 k+3，k，k又 B正定三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 A，B 均是 n阶正定矩阵，判断 A+B的正定性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(用定义) 因
14、为 A，B 均是正定矩阵，故 A，B 都是对称矩阵，那么(A+B) T =A T +B T =A+B即 A+B是对称矩阵又因 )解析：16.已知二次型 x T Ax是正定二次型，x=Cy 是坐标变换，证明二次型 y T By是正定二次型，其中 B=C T AC（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.证明二次型 x T Ax正定的充分必要条件是 A的特征值全大于 0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对二次型 x T Ax，存在正交变换 x=Qy化其为标准形 1 y 1 2 + 2 y 2 2 +y n n 2 ， 其中 1 ， 2 ， n 是矩阵 A的特征值x T Ax
15、正定 1 y 1 2 + 2 y 2 2 + n y n 2 正定 )解析：18.已知 A是 n阶可逆矩阵，证明 A T A是对称、正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(与 E合同) 因为(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，所以 A T A是对称矩阵 由于 A T A=A T EA，且 A是可逆矩阵，所以 A T A与 E是合同矩阵，从而 A T A是正定矩阵)解析：19.已知 A，A-E 都是 n阶实对称正定矩阵，证明 E-A -1 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(特征值法) 由(E-A -1 ) T =E T -(A -1 )
16、T =E-(A T ) -1 =E-A -1 知，E-A -1 是对称矩阵设 1 ， 2 ， n 是 A的特征值，则 A-E与 E-A -1 的特征值分别是 1 -1， 2 -1， n -1与 由于 A-E正定，其特征值 i -1全大于 0，那么 )解析：20.设 A是 mn矩阵，B=E+A T A，证明当 0 时，B 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(定义法) 因为 B T =(AE+A T A) T =AE+A T A=B，故 B是 n阶实对称矩阵， 维实向量 x0，有 x T Bx=x T x+x T A T Ax=x T x+(Ax) T (Ax)=x 2 +Ax
17、2 由于 x0，0，恒有 x 2 0，而Ax 2 0，因此 x T Bx0( )解析：21.设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵 ()计算 P T DP，其中 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 P T = ()由()知矩阵 D与矩阵 M= 合同，又因 D是正定矩阵，所以矩阵 M为正定矩阵，从而可知 M是对称矩阵，那么 B-C T A -1 C是对称矩阵 对 m维向量X=(0，0，0) T 和任意 n维非 0向量 Y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T 0，有 )解析：22.设 A是 n阶正定矩阵， 1 ， 2 ， n 是
18、n维非零列向量，且 i T A j =0(ij)，证明 1 ， 2 ， m 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如 k 1 1 +k 2 2 +k m 2 =0，两边左乘 1 T A，有 k 1 1 T A 1 +k 2 1 T A 2 +k m 1 T A m =0 由于 A正定， 1 T A 1 0 及 1 T A j =0(j1)，得 k 1 =0类似可证 k 2 =k 3 =k m =0，即 1 ， 2 ， m 线性无关)解析：23.设 A是 n阶实对称矩阵，AB+B T A是正定矩阵，证明 A可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0，由于 AB+B T A正定
19、，故总有 x T (AB+B T A)x=(Ax) T (Bx)+(Bx) T (Ax)0 因此， )解析：24.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造二次型 x T Ax=a 1 x 1 2 +a 2 x 2 2 +a 3 x 3 2 和 y T By=a 3 y 1 2 +a 1 y 2 2 +a 2 y 3 2 ，经坐标变换 )解析：25.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3是 A的特征值，故3E-A=8(3-y-1)=0，解出 y=2那么 由于 A T =A，要(Ap) T (AP)=P T A 2 P=A，而 A 2 = ，故可构造二次
20、型 x T A 2 x，再化其为标准形由配方法，有 x T A 2 x=x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +5x 4 2 +8x 3 x 4 =y 1 2 +y 2 2 +5y 3 2 + 其中 y 1 =x 1 ，y 2 =x 2 ，y 3 =x 3 + y 4 =x 4 ，即 )解析：26.求正交变换化二次型 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 2 x 3 -4x 1 x 3 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= ，由特征多项式 E-A= =(+3)(-3) 2 ， 得特征值为 1 = 2 =3， 3 =-3 由(3E-
21、A)x=0 得基础解系 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T ，即 =3 的特征向量是 1 ， 2 由(-3E-A)x=0 得基础解系 3 =(1，1，1) T 对 1 ， 2 经 Schmidt正交化，有 那么，令 x=Qy，其中 Q=( 1 ， 2 ， 3 )，则 有 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=y T Ay= )解析：27.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 -2x 1 x 2 -6x 2 x 3 +6x 1 x 3 的秩为 2，求 c及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换（分数：2.00
22、）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A的秩 r(A)=2，则有 A=24(c-3)=0 c=3 由特征多项式 可知矩阵 A的特征值是 0，4，9 由(0E-A)x=0 得A=0的特征向量 1 =(-1，1，2) T 由(4E-A)x=0 得 A=4的特征向量 2 =(1，1，0) T 由(9E-A)x=0得 A=9的特征向量 3 =(1，-1，1) T 令 P 1 =( 1 ， 2 ， 3 )，经 x=P 1 y有 x T Ax=y T Ay= 而所用坐标变换是 x=Cz，其中 )解析：28.设 A是 n阶实对称矩阵，若对任意的乃维列向量 恒有 T A=0
23、，证明 A=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 维向量口恒有 T A=0，那么令 1 =(1，0，0，0) T ，有 类似地，令 i =(0，0，0，1，0，0) T (第 i个分量为 1)，由 =a ii =0 (i=1，2，n) 令 12 =(1，1，0，0) T ，则有 )解析：29.若 A是 n阶正定矩阵，证明 A -1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A正定，所以 A T =A那么(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，即 A -1 是对称矩阵 设 A的特征值是 1 ， 2 ， n ，那么 A -1 的特征值是 ，由 A正
24、定知 i 0(i=1，2，n)因此 A -1 的特征值 0(i=1，2，n)从而 A -1 正定 由(A * ) T =(A T ) * =A * ，知 A * 是对称矩阵因为 A T A * A=AA，由矩阵 A可逆，知 A * 与AA 合同又由 A正定，知 A与 E合同，即 C T AC=E 由 A正定，知行列式A0，那么令 D= )解析：30.设 A是 mn矩阵，r(A)=n，证明 A T A是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A T A) T =A T (A T ) T =A T A，知 A T A是对称矩阵 又 r(A)=n， )解析：31.设 A是 n阶正定矩阵，证明A+2E2 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设矩阵 A的特征值是 1 ， 2 ， n 因为 A正定，故特征值 i 0(i=1，2，n)又 A+2E的特征值是 1 +2， 2 +2， n +2，所以 A+2E=( 1 +2)( 2 +2)( n +2)2 n )解析：32.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C 1 = ，C=C 1 C 2 ，则 C是可逆矩阵，且 )解析：
