1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 2及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n-1 B. -1 AC.AD.A n-1 3.设 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则 的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A是 3阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不
2、是 A的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 - 2 C. 1 + 3 D.2 3 5.设 0 是 A属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.-2AC.A T D.A * 6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A是 n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A m-1 必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 A是 n阶矩阵，r(A)n，则
3、 A必有特征值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_9.一设 A是 n阶可逆矩阵，A 是 A的特征值，则(A * )2+E必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知-2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 =(1，1，-1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A是 3阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解
4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设矩阵 A= （分数：2.00）_16.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T 求矩阵 A（分数：2.00）_17.已知线性方程组 有无穷多解，而 A是 3阶矩阵，且 （分数：2.00）_18.设 A是 3阶实对称矩阵，A 的特征值是 6，-6，0，其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1，a，1) T 及(a，a+1，1) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_19.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1，且(1，1，1
5、) T ，(1，0，-1) T ，(1，-1，0) T 是 A的 3个特征向量，求 A（分数：2.00）_20.已知 A= （分数：2.00）_21.已知 （分数：2.00）_22.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式： n+1 =A n ； ()求矩阵 A的特征值与特征向量； ()若 0 = （分数：2.00）_23.已知
6、矩阵 A= （分数：2.00）_24.设矩阵 A= （分数：2.00）_25.设 A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 （分数：2.00）_26.设 3阶实对称矩阵 A的特征值， 1 =1， 2 =2， 3 =-2，且 1 =(1，-1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E为 3阶单位矩阵 ()验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B（分数：2.00）_27.已知 A是 3阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，且秩 r(A)=2求矩阵 A的全部特征值，并
7、求秩 r(A+E)（分数：2.00）_28.设 A是 n阶正交矩阵， 是 A的实特征值， 是相应的特征向量证明 只能是1，并且 也是A T 的特征向量（分数：2.00）_29.设 A，B 均是 n阶矩阵，证明 AB与 BA有相同的特征值（分数：2.00）_30.设 A，B 均是 n阶矩阵，且秩 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_31.若任一 n维非零向量都是，；阶矩阵 A的特征向量，则 A是数量矩阵（分数：2.00）_32.设 A是 3阶矩阵，且有 3个互相正交的特征向量，证明 A是对称矩阵（分数：2.00）_考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-
8、试卷 2答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. -1 A n-1 B. -1 A C.AD.A n-1 解析：解析：如 A=a，则 A -1 = 3.设 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值，则 的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：如 A=，则4.设 A是 3阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系， 3 是属于特征
9、值 =1 的特征向量，下列不是 A的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 - 2 C. 1 + 3 D.2 3 解析：解析：如 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，则 A(k 1 1 +k 2 2 )=k 1 A 1 +k 2 A 2 =k 1 1 +k 2 2 =(k 1 1 +k 2 2 ) 因此 k 1 1 +k 2 2 是 A的特征向量，所以(A)、(B)、(D)均正确 设 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，若 A( 1 + 2 )=k( 1 + 2 )，则 1 + 2 =k 1 +k 2 即有 (-k) 1 +(-k) 2 =0 因为 -k，-k 不全为 0，
10、与 1 ， 2 是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾从而 1 + 3 不是 A的特征向量故应选(C)5.设 0 是 A属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.-2AC.A T D.A * 解析：解析：由E-A T =(E-A) T =E-A，知 A与 A T 有相同的特征值，但方程组(E-A)x=0与(E-A T )x=0不一定同解，故 A与 A T 特征向量不一定相同故应选(C)6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)是实对称矩阵，(C)有 3个不同的特征值，均可对角化 (B)和(
11、D)特征值都是0，0，3 在(B)中，n-r(0E-A)=2，说明 =0 有 2个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在(D)中，n-r(0E-A)=1，说明 =0 只有 1个线性无关的特征向量因此不能相似对角化 故应选(D)7.设 A是 n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A m-1 必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量 解析：解析：设 A=，0，则 A m = m 皇 0故 =0(A)正确 因为 A0，r(A)1，那么 Ax=0的基础解系有 n-r(a)个解，即 =0 有 n-r(A)个线性无关
12、的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(E-A)(E+A+A 2 +A m-1 )=E-A m =E，知(C)正确 故应选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.设 A是 n阶矩阵，r(A)n，则 A必有特征值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： j (j=1，2，n-r(A)；0）解析：解析：r(A)n =0 必是 A的特征值 由 r(A)n 9.一设 A是 n阶可逆矩阵，A 是 A的特征值，则(A * )2+E必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 的特征值为 的特征值为10.
13、已知-2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-4）解析：解析：因为-2 是矩阵 A的特征值，所以由11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-5，-5，0）解析：解析：因为 A是实对称矩阵，故 A-A又 r(A)=2，所以 r(A)=2设 A=(0)，由 A 2 +5A=0得 2 +5=0因此 A的特征值为 0或-5 从而 A- 12.已知 =(1，1，-1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A=，即1
14、3.设 A是 3阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为各行元素之和都是 5，即三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：据已知有 AA * =AE=-E对于 A * = 0 ，用 A左乘两端，得 0 A=-，即 由此可得 -得 0 =1将 0 =1代入和得 b=-3，a=c 由A=-1和 a=c，有 )解析：16.已知 A i =i i (i=1，2，3)，其中
15、1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，-2，1) T ， 3 =(-2，-1，2) T 求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A i =i i 知，A 有 3个不同的特征值 1，2，3.所以 )解析：17.已知线性方程组 有无穷多解，而 A是 3阶矩阵，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵高斯消元，有 由于方程组有无穷多解，故 a=-1或 a=0 当 a=-1时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去； 当 a=0时， 线性无关，是 A的特征向量，故 a=0 令 P= )解析：18.设 A是 3阶实对称矩阵，A 的特征值是 6，-6，0，其中 =6
16、与 =0 的特征向量分别是(1，a，1) T 及(a，a+1，1) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交(512)，所以 1a+a(a+1)+11=0 a=-1 设属于 =-6 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，它与 =6，=0的特征向量均正交，于是 解得(1，2，1) T 是 =-6 的特征向量 那么， )解析：解析：现在 A的特征值已知，求矩阵 4就转为应求出 A的特征向量，一要确定 a，一要求出 =-6的特征向量已知条件中实对称矩阵能给什么信息呢?19.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1，
17、且(1，1，1) T ，(1，0，-1) T ，(1，-1，0) T 是 A的 3个特征向量，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设这些特征向量分别属于特征值 1 ， 2 ， 3 ，则 类似地， 2 = 3 =0于是 )解析：解析：A 的特征向量已知，现应求出 A的特征值，可用定义来处理20.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A能对角化，所以 A必有 3个线性无关的特征向量.由于 E-A= =(-1)( 2 -)， =1 是二重特征值，必有两个线性无关的特征向量，因此 r(E-A)=1，得 x=-2. 求出 =1 的特征向量 1 =(1，2，0) T ，
18、2 =(0，0，1) T 及 =的特征向量 3 =(1，1，-2) T 令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= 得 A=PAP -1 ，于是 )解析：21.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 令 A= 则E-A= 2 -2于是有 1 =2， 1 =(5，2) T 和 2 =-1， 2 =(1，1) T 从而 P -1 AP=A= ，那么 )解析：解析：将关系式表示成矩阵形式，用递推来推导(x n ，y n ) T 与(x 0 ，y 0 ) T 的关系式本题是用特征值、特征向量计算 A n 的一个典型应用22.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工
19、支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式： n+1 =A n ； ()求矩阵 A的特征值与特征向量； ()若 0 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按题意有 ()由特征多项式 对 =1，由(E-A)x=0 得基础解系 1 = ，因此矩阵 A属于 =1 的特征向量是 k 1 1 (k 1 0) 对 的特征向量是 k 2 2 (k 2 0) ()设 x 1 1 +x 2 2 = 0 ，
20、即 )解析：23.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 =5 是矩阵 A的特征值，则由5E-A= =3(4-a 2 )=0，可得 a=2 当 a=2时，则由矩阵 A的特征多项式 E-A= =(-2)(-5)(-1)=0， 知矩阵 A的特征值是1，2，5 由(E-A)x=0 得基础解系 1 =(0，1，-1) T ； 由(2E-A)x=0 得基础解系 2 =(1，0，0) T ； 由(5E-A)x=0 得基础解系 3 =(0，1，1) T 即矩阵 A属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有 )
21、解析：24.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式 =(-2) 2 +(3-a)-(3a+20)， 由于判别式(3-a) 2 +4(3a+20)=0没有实数根，即 2 +(3-a)-(3a+20)(-k) 2 ，所以只能 =2 是重根于是 2 +(3-a)-(3a+20)必有 -2 的因式，因此由 22+2(3-a)-(3a+20)=0，得 a=-2 从而得到矩阵 A的特征值是 1 = 2 =2， 3 =-7 对于 =2，由(2E-A)x=0，即 得到线性无关的特征向量 1 =(-2，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 用 Schmidt正交化方法，先
22、正交化，有 再将 1 ， 2 单位化，得 对于 =-7，由(-7E-A)x=0，即 得特征向量 3 =(1，2，-2) T ，单位化为 那么，令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：解析：因为 Q是正交矩阵，有 Q T =Q -1 ，故 Q T AQ=A，即 Q -1 AQ=A为此，应当求矩阵 A的特征向量25.设 A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A的特征向量，设特征值是 1 ，那么 知矩阵 A的特征值是：2，5，-4 对 =5，由(5E-A)x=0， 得基础解系 2 =
23、(1，-1，1) T 对 =-4，由(-4E-A)x=0， 得基础解系 1 =(-1，0，1) T 因为 A是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，故只需把 2 ， 3 单位化，有 )解析：解析：因为 Q是正交矩阵 26.设 3阶实对称矩阵 A的特征值， 1 =1， 2 =2， 3 =-2，且 1 =(1，-1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E，其中 E为 3阶单位矩阵 ()验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A= 有 A n = n 那么，对于 A 1 =
24、 1 1 = 1 ，有 B 1 =(A 5 -4A 32 +E) 1 =A 5 1 -4A 3 1 + 1 =( 1 5 -4 1 3 +1) 1 =-2 1 因此，向量 1 是矩阵 B属于特征值 =-2 的特征向量 类似地，对 2 =2， 3 =-2有：若 A= 2 ，则 B=( 2 5 -4 2 3 +1)=； 若 A= 3 ，则 B=( 3 5 -4 3 3 +1)=，那么， 是矩阵 B属于特征值 =1 的特征向量因 ， 是矩阵 A不同特征值的特征向量，因此它们线性无关从而矩阵 B的特征值是：-2，1，1，且矩阵 B属于特征值 =-2 的特征向量是 k 1 1 (k 1 0) 又由 A是
25、实对称矩阵知，B 是实对称矩阵那么 B的属于特征值 =1 与 =-2 的特征向量应当相互正交设矩阵 B属于 =1 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 -x 2 +x 3 =0. 解此方程组得基础解系 2 =(1，1，0) T ， 3 =(-1，0，1) T 故矩阵 B属于 =1 的特征向量是 k 2 2 +k 3 3 (k 2 ，k 3 不全为 0) ()令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，有 P -1 BP= )解析：27.已知 A是 3阶实对称矩阵，满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，且秩 r(A)=2求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(A+E)（
26、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A是矩阵 A的任一特征值，口是属于特征值 A的特征向量，则 A=(0)，于是 A n = n 那么用 右乘 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0得( 4 +2 3 + 2 +2)=0 因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=A( 3 +2 2 +2)=(+2)( 2 +1)=0 由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A的特征值是 0或-2 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A的特征值是 0，-2，-2 因 A-A，则有 A+EA+E= )解析：28.设 A是 n阶正交矩阵， 是 A的实特征值， 是相应
27、的特征向量证明 只能是1，并且 也是A T 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按特征值定义，对于 A=，经转置得 T A T =(A) T =(A) T = T ， 因为 A T A=E，从而 T = T A T A=( T )()= 2 T ， 则 (1- 2 ) T =0 因为 是实特征向量， T =x 1 2 +x 2 2 +x n 2 0，可知 2 =1，由于 是实数，故只能是 1或-1 若 =1，从 A=，两边左乘 A T ，得到 A T =A T A=，即 是 A T 关于 =1的特征向量)解析：29.设 A，B 均是 n阶矩阵，证明 AB与 BA有相同的特征值（
28、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 0 是 AB的非零特征值， 0 是 AB对应于 0 的特征向量，即 (AB) 0 = 0 0 ( 0 0) 用 B左乘上式，得 BA(B 0 )= 0 B 0 下面需证 B 0 0(这样 B 0 就是矩阵 BA对应于 0 的特征向量) (反证法) 如 B 0 =0，那么(AB) 0 =A(B 0 )=0，这与(AB) 0 = 0 0 0 相矛盾 所以， 0 是 BA的特征值 如 0 =0是 AB的特征值，则因 0E-BA=-BA=(-1) n B.A=(-1) n A.B=0E-AB，所以， 0 =0也是 BA的特征值 同样可证 BA的特征值必是 A
29、B的特征值，所以 AB与 BA特征值相同)解析：30.设 A，B 均是 n阶矩阵，且秩 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=r，r(B)=s，且 1 ， 2 ， n-r 是齐次方程组 Ax=0的基础解系，即矩阵 A关于 =0 的特征向量， 1 ， 2 ， n-s 是 B关于 =0 的特征向量那么，向量组 1 ， 2 ， n-r ， 1 ， 2 ， n-s 必线性相关(由于 n-r+n-s=n+(n-r-s)n 于是存在不全为零的实数 k 1 ，k 2 ，k n-r ，l 1 ，l 2 ，l n-s ，使 k 1 1 +k
30、2 2 +k n-r n-r +l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s =0 因为 1 ， 2 ， n-r 线性无关， 1 ， 2 ， n-s 线性无关，所以 k 1 ，k 2 ，k n-r 与 l 1 ，l 2 ，l n-s 必分别不全为零令 =k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =-(l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s )， 则 0，从特征向量性质 1知， 既是 A关于 =0 的特征向量，也是 B关于 =0 的特征向量，因而 A，B 有公共的特征向量)解析：31.若任一 n维非零向量都是，；阶矩阵 A的特征向量，则 A是数量矩阵（分数：2.00）_正确答案：
31、(正确答案：因为任一 n维非零向量都是 A的特征向量，所以 A有 n个线性无关的特征向量，从而 A可以对角化 特别地，n 维单位向量 i =(0，1，0) T ，i=1，2，n，是 A的特征向量 令 P=(e 1 ，e 2 ，e n )，则有 P=E，且 A=P -1 AP=A= )解析：32.设 A是 3阶矩阵，且有 3个互相正交的特征向量，证明 A是对称矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的特征值是 1 ， 2 ， 3 ，相应的特征向量是 1 ， 2 ， 3 因为 1 ， 2 ， 3 已两两正交，将其单位化为 1 ， 2 ， 3 ，则 1 ， 2 ， 3 仍是 A的特征向量，且 P=( 1 ， 2 ， 3 )是正交矩阵，并有 )解析：解析：非零正交向量组是线性无关的，故 A有 3个线性无关的特征向量，即 A可以对角化，并且可以用正交变换化为对角形
