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    【考研类试卷】考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷2及答案解析.doc

    • 资源ID:1395307       资源大小:176.50KB        全文页数:9页
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    【考研类试卷】考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷2及答案解析.doc

    1、考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-试卷 2及答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A为 n阶可逆矩阵, 是 A的一个特征值,则伴随矩阵 A * 的一个特征值是(分数:2.00)A. -1 A n-1 B. -1 AC.AD.A n-1 3.设 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值,则 的一个特征值是 (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 A是 3阶不可逆矩阵, 1 , 2 是 Ax=0的基础解系, 3 是属于特征值 =1 的特征向量,下列不

    2、是 A的特征向量的是(分数:2.00)A. 1 +3 2 B. 1 - 2 C. 1 + 3 D.2 3 5.设 0 是 A属于特征值 0 的特征向量,则 0 不一定是其特征向量的矩阵是(分数:2.00)A.(A+E) 2 B.-2AC.A T D.A * 6.下列矩阵中不能相似对角化的是 (分数:2.00)A.B.C.D.7.设 A是 n阶非零矩阵,A m =0,下列命题中不一定正确的是(分数:2.00)A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A m-1 必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量二、填空题(总题数:6,分数:12.00)8.设 A是 n阶矩阵,r(A)n,则

    3、 A必有特征值 1,且其重数至少是 2(分数:2.00)填空项 1:_9.一设 A是 n阶可逆矩阵,A 是 A的特征值,则(A * )2+E必有特征值 1(分数:2.00)填空项 1:_10.已知-2 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵,且 A 2 +5A=0,则 A的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_12.已知 =(1,1,-1) T 是矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_13.设 A是 3阶矩阵,且各行元素之和都是 5,则 A必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:19,分数:38.00)14.解

    4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_15.设矩阵 A= (分数:2.00)_16.已知 A i =i i (i=1,2,3),其中 1 =(1,2,2) T , 2 =(2,-2,1) T , 3 =(-2,-1,2) T 求矩阵 A(分数:2.00)_17.已知线性方程组 有无穷多解,而 A是 3阶矩阵,且 (分数:2.00)_18.设 A是 3阶实对称矩阵,A 的特征值是 6,-6,0,其中 =6 与 =0 的特征向量分别是(1,a,1) T 及(a,a+1,1) T ,求矩阵 A(分数:2.00)_19.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1,且(1,1,1

    5、) T ,(1,0,-1) T ,(1,-1,0) T 是 A的 3个特征向量,求 A(分数:2.00)_20.已知 A= (分数:2.00)_21.已知 (分数:2.00)_22.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ,记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式,并写成矩阵形式: n+1 =A n ; ()求矩阵 A的特征值与特征向量; ()若 0 = (分数:2.00)_23.已知

    6、矩阵 A= (分数:2.00)_24.设矩阵 A= (分数:2.00)_25.设 A= ,正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 (分数:2.00)_26.设 3阶实对称矩阵 A的特征值, 1 =1, 2 =2, 3 =-2,且 1 =(1,-1,1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E,其中 E为 3阶单位矩阵 ()验证 1 是矩阵 B的特征向量,并求 B的全部特征值与特征向量; ()求矩阵 B(分数:2.00)_27.已知 A是 3阶实对称矩阵,满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0,且秩 r(A)=2求矩阵 A的全部特征值,并

    7、求秩 r(A+E)(分数:2.00)_28.设 A是 n阶正交矩阵, 是 A的实特征值, 是相应的特征向量证明 只能是1,并且 也是A T 的特征向量(分数:2.00)_29.设 A,B 均是 n阶矩阵,证明 AB与 BA有相同的特征值(分数:2.00)_30.设 A,B 均是 n阶矩阵,且秩 r(A)+r(B)n,证明:A,B 有公共的特征向量(分数:2.00)_31.若任一 n维非零向量都是,;阶矩阵 A的特征向量,则 A是数量矩阵(分数:2.00)_32.设 A是 3阶矩阵,且有 3个互相正交的特征向量,证明 A是对称矩阵(分数:2.00)_考研数学三(矩阵的特征值与特征向量、二次型)-

    8、试卷 2答案解析(总分:64.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A为 n阶可逆矩阵, 是 A的一个特征值,则伴随矩阵 A * 的一个特征值是(分数:2.00)A. -1 A n-1 B. -1 A C.AD.A n-1 解析:解析:如 A=a,则 A -1 = 3.设 =2 是可逆矩阵 A的一个特征值,则 的一个特征值是 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:如 A=,则4.设 A是 3阶不可逆矩阵, 1 , 2 是 Ax=0的基础解系, 3 是属于特征

    9、值 =1 的特征向量,下列不是 A的特征向量的是(分数:2.00)A. 1 +3 2 B. 1 - 2 C. 1 + 3 D.2 3 解析:解析:如 A 1 = 1 ,A 2 = 2 ,则 A(k 1 1 +k 2 2 )=k 1 A 1 +k 2 A 2 =k 1 1 +k 2 2 =(k 1 1 +k 2 2 ) 因此 k 1 1 +k 2 2 是 A的特征向量,所以(A)、(B)、(D)均正确 设 A 1 = 1 ,A 2 = 2 ,若 A( 1 + 2 )=k( 1 + 2 ),则 1 + 2 =k 1 +k 2 即有 (-k) 1 +(-k) 2 =0 因为 -k,-k 不全为 0,

    10、与 1 , 2 是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾从而 1 + 3 不是 A的特征向量故应选(C)5.设 0 是 A属于特征值 0 的特征向量,则 0 不一定是其特征向量的矩阵是(分数:2.00)A.(A+E) 2 B.-2AC.A T D.A * 解析:解析:由E-A T =(E-A) T =E-A,知 A与 A T 有相同的特征值,但方程组(E-A)x=0与(E-A T )x=0不一定同解,故 A与 A T 特征向量不一定相同故应选(C)6.下列矩阵中不能相似对角化的是 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:(A)是实对称矩阵,(C)有 3个不同的特征值,均可对角化 (B)和(

    11、D)特征值都是0,0,3 在(B)中,n-r(0E-A)=2,说明 =0 有 2个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在(D)中,n-r(0E-A)=1,说明 =0 只有 1个线性无关的特征向量因此不能相似对角化 故应选(D)7.设 A是 n阶非零矩阵,A m =0,下列命题中不一定正确的是(分数:2.00)A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A m-1 必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量 解析:解析:设 A=,0,则 A m = m 皇 0故 =0(A)正确 因为 A0,r(A)1,那么 Ax=0的基础解系有 n-r(a)个解,即 =0 有 n-r(A)个线性无关

    12、的特征向量故(B)正确,而(D)不一定正确 由(E-A)(E+A+A 2 +A m-1 )=E-A m =E,知(C)正确 故应选(D)二、填空题(总题数:6,分数:12.00)8.设 A是 n阶矩阵,r(A)n,则 A必有特征值 1,且其重数至少是 2(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: j (j=1,2,n-r(A);0)解析:解析:r(A)n =0 必是 A的特征值 由 r(A)n 9.一设 A是 n阶可逆矩阵,A 是 A的特征值,则(A * )2+E必有特征值 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:A 的特征值为 的特征值为10.

    13、已知-2 是 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-4)解析:解析:因为-2 是矩阵 A的特征值,所以由11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵,且 A 2 +5A=0,则 A的特征值是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-5,-5,0)解析:解析:因为 A是实对称矩阵,故 A-A又 r(A)=2,所以 r(A)=2设 A=(0),由 A 2 +5A=0得 2 +5=0因此 A的特征值为 0或-5 从而 A- 12.已知 =(1,1,-1) T 是矩阵 A= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:设 A=,即1

    14、3.设 A是 3阶矩阵,且各行元素之和都是 5,则 A必有特征向量 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为各行元素之和都是 5,即三、解答题(总题数:19,分数:38.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:15.设矩阵 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:据已知有 AA * =AE=-E对于 A * = 0 ,用 A左乘两端,得 0 A=-,即 由此可得 -得 0 =1将 0 =1代入和得 b=-3,a=c 由A=-1和 a=c,有 )解析:16.已知 A i =i i (i=1,2,3),其中

    15、1 =(1,2,2) T , 2 =(2,-2,1) T , 3 =(-2,-1,2) T 求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 A i =i i 知,A 有 3个不同的特征值 1,2,3.所以 )解析:17.已知线性方程组 有无穷多解,而 A是 3阶矩阵,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对增广矩阵高斯消元,有 由于方程组有无穷多解,故 a=-1或 a=0 当 a=-1时,三个特征向量 线性相关,不合题意,舍去; 当 a=0时, 线性无关,是 A的特征向量,故 a=0 令 P= )解析:18.设 A是 3阶实对称矩阵,A 的特征值是 6,-6,0,其中 =6

    16、与 =0 的特征向量分别是(1,a,1) T 及(a,a+1,1) T ,求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A是实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量相互正交(512),所以 1a+a(a+1)+11=0 a=-1 设属于 =-6 的特征向量是(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,它与 =6,=0的特征向量均正交,于是 解得(1,2,1) T 是 =-6 的特征向量 那么, )解析:解析:现在 A的特征值已知,求矩阵 4就转为应求出 A的特征向量,一要确定 a,一要求出 =-6的特征向量已知条件中实对称矩阵能给什么信息呢?19.已知 3阶矩阵 A的第 1行元素全是 1,

    17、且(1,1,1) T ,(1,0,-1) T ,(1,-1,0) T 是 A的 3个特征向量,求 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设这些特征向量分别属于特征值 1 , 2 , 3 ,则 类似地, 2 = 3 =0于是 )解析:解析:A 的特征向量已知,现应求出 A的特征值,可用定义来处理20.已知 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A能对角化,所以 A必有 3个线性无关的特征向量.由于 E-A= =(-1)( 2 -), =1 是二重特征值,必有两个线性无关的特征向量,因此 r(E-A)=1,得 x=-2. 求出 =1 的特征向量 1 =(1,2,0) T ,

    18、2 =(0,0,1) T 及 =的特征向量 3 =(1,1,-2) T 令 P=( 1 , 2 , 3 )= 得 A=PAP -1 ,于是 )解析:21.已知 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 令 A= 则E-A= 2 -2于是有 1 =2, 1 =(5,2) T 和 2 =-1, 2 =(1,1) T 从而 P -1 AP=A= ,那么 )解析:解析:将关系式表示成矩阵形式,用递推来推导(x n ,y n ) T 与(x 0 ,y 0 ) T 的关系式本题是用特征值、特征向量计算 A n 的一个典型应用22.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将 熟练工

    19、支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ,记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式,并写成矩阵形式: n+1 =A n ; ()求矩阵 A的特征值与特征向量; ()若 0 = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()按题意有 ()由特征多项式 对 =1,由(E-A)x=0 得基础解系 1 = ,因此矩阵 A属于 =1 的特征向量是 k 1 1 (k 1 0) 对 的特征向量是 k 2 2 (k 2 0) ()设 x 1 1 +x 2 2 = 0 ,

    20、即 )解析:23.已知矩阵 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 =5 是矩阵 A的特征值,则由5E-A= =3(4-a 2 )=0,可得 a=2 当 a=2时,则由矩阵 A的特征多项式 E-A= =(-2)(-5)(-1)=0, 知矩阵 A的特征值是1,2,5 由(E-A)x=0 得基础解系 1 =(0,1,-1) T ; 由(2E-A)x=0 得基础解系 2 =(1,0,0) T ; 由(5E-A)x=0 得基础解系 3 =(0,1,1) T 即矩阵 A属于特征值 1,2,5 的特征向量分别是 1 , 2 , 3 由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交,故只需单位化,有 )

    21、解析:24.设矩阵 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 的特征多项式 =(-2) 2 +(3-a)-(3a+20), 由于判别式(3-a) 2 +4(3a+20)=0没有实数根,即 2 +(3-a)-(3a+20)(-k) 2 ,所以只能 =2 是重根于是 2 +(3-a)-(3a+20)必有 -2 的因式,因此由 22+2(3-a)-(3a+20)=0,得 a=-2 从而得到矩阵 A的特征值是 1 = 2 =2, 3 =-7 对于 =2,由(2E-A)x=0,即 得到线性无关的特征向量 1 =(-2,1,0) T , 2 =(2,0,1) T 用 Schmidt正交化方法,先

    22、正交化,有 再将 1 , 2 单位化,得 对于 =-7,由(-7E-A)x=0,即 得特征向量 3 =(1,2,-2) T ,单位化为 那么,令 Q=( 1 , 2 , 3 )= )解析:解析:因为 Q是正交矩阵,有 Q T =Q -1 ,故 Q T AQ=A,即 Q -1 AQ=A为此,应当求矩阵 A的特征向量25.设 A= ,正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:按已知条件,(1,2,1) T 是矩阵 A的特征向量,设特征值是 1 ,那么 知矩阵 A的特征值是:2,5,-4 对 =5,由(5E-A)x=0, 得基础解系 2 =

    23、(1,-1,1) T 对 =-4,由(-4E-A)x=0, 得基础解系 1 =(-1,0,1) T 因为 A是实对称矩阵,特征值不同特征向量相互正交,故只需把 2 , 3 单位化,有 )解析:解析:因为 Q是正交矩阵 26.设 3阶实对称矩阵 A的特征值, 1 =1, 2 =2, 3 =-2,且 1 =(1,-1,1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 -4A 3 +E,其中 E为 3阶单位矩阵 ()验证 1 是矩阵 B的特征向量,并求 B的全部特征值与特征向量; ()求矩阵 B(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()由 A= 有 A n = n 那么,对于 A 1 =

    24、 1 1 = 1 ,有 B 1 =(A 5 -4A 32 +E) 1 =A 5 1 -4A 3 1 + 1 =( 1 5 -4 1 3 +1) 1 =-2 1 因此,向量 1 是矩阵 B属于特征值 =-2 的特征向量 类似地,对 2 =2, 3 =-2有:若 A= 2 ,则 B=( 2 5 -4 2 3 +1)=; 若 A= 3 ,则 B=( 3 5 -4 3 3 +1)=,那么, 是矩阵 B属于特征值 =1 的特征向量因 , 是矩阵 A不同特征值的特征向量,因此它们线性无关从而矩阵 B的特征值是:-2,1,1,且矩阵 B属于特征值 =-2 的特征向量是 k 1 1 (k 1 0) 又由 A是

    25、实对称矩阵知,B 是实对称矩阵那么 B的属于特征值 =1 与 =-2 的特征向量应当相互正交设矩阵 B属于 =1 的特征向量 =(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,则 x 1 -x 2 +x 3 =0. 解此方程组得基础解系 2 =(1,1,0) T , 3 =(-1,0,1) T 故矩阵 B属于 =1 的特征向量是 k 2 2 +k 3 3 (k 2 ,k 3 不全为 0) ()令 P=( 1 , 2 , 3 ),有 P -1 BP= )解析:27.已知 A是 3阶实对称矩阵,满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0,且秩 r(A)=2求矩阵 A的全部特征值,并求秩 r(A+E)(

    26、分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A是矩阵 A的任一特征值,口是属于特征值 A的特征向量,则 A=(0),于是 A n = n 那么用 右乘 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0得( 4 +2 3 + 2 +2)=0 因为特征向量 0,故 4 +2 3 + 2 +2=A( 3 +2 2 +2)=(+2)( 2 +1)=0 由于实对称矩阵的特征值必是实数,从而矩阵 A的特征值是 0或-2 由于实对称矩阵必可相似对角化,且秩 r(A)=r(A)=2,所以 A的特征值是 0,-2,-2 因 A-A,则有 A+EA+E= )解析:28.设 A是 n阶正交矩阵, 是 A的实特征值, 是相应

    27、的特征向量证明 只能是1,并且 也是A T 的特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:按特征值定义,对于 A=,经转置得 T A T =(A) T =(A) T = T , 因为 A T A=E,从而 T = T A T A=( T )()= 2 T , 则 (1- 2 ) T =0 因为 是实特征向量, T =x 1 2 +x 2 2 +x n 2 0,可知 2 =1,由于 是实数,故只能是 1或-1 若 =1,从 A=,两边左乘 A T ,得到 A T =A T A=,即 是 A T 关于 =1的特征向量)解析:29.设 A,B 均是 n阶矩阵,证明 AB与 BA有相同的特征值(

    28、分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 0 是 AB的非零特征值, 0 是 AB对应于 0 的特征向量,即 (AB) 0 = 0 0 ( 0 0) 用 B左乘上式,得 BA(B 0 )= 0 B 0 下面需证 B 0 0(这样 B 0 就是矩阵 BA对应于 0 的特征向量) (反证法) 如 B 0 =0,那么(AB) 0 =A(B 0 )=0,这与(AB) 0 = 0 0 0 相矛盾 所以, 0 是 BA的特征值 如 0 =0是 AB的特征值,则因 0E-BA=-BA=(-1) n B.A=(-1) n A.B=0E-AB,所以, 0 =0也是 BA的特征值 同样可证 BA的特征值必是 A

    29、B的特征值,所以 AB与 BA特征值相同)解析:30.设 A,B 均是 n阶矩阵,且秩 r(A)+r(B)n,证明:A,B 有公共的特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 r(A)=r,r(B)=s,且 1 , 2 , n-r 是齐次方程组 Ax=0的基础解系,即矩阵 A关于 =0 的特征向量, 1 , 2 , n-s 是 B关于 =0 的特征向量那么,向量组 1 , 2 , n-r , 1 , 2 , n-s 必线性相关(由于 n-r+n-s=n+(n-r-s)n 于是存在不全为零的实数 k 1 ,k 2 ,k n-r ,l 1 ,l 2 ,l n-s ,使 k 1 1 +k

    30、2 2 +k n-r n-r +l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s =0 因为 1 , 2 , n-r 线性无关, 1 , 2 , n-s 线性无关,所以 k 1 ,k 2 ,k n-r 与 l 1 ,l 2 ,l n-s 必分别不全为零令 =k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r =-(l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s ), 则 0,从特征向量性质 1知, 既是 A关于 =0 的特征向量,也是 B关于 =0 的特征向量,因而 A,B 有公共的特征向量)解析:31.若任一 n维非零向量都是,;阶矩阵 A的特征向量,则 A是数量矩阵(分数:2.00)_正确答案:

    31、(正确答案:因为任一 n维非零向量都是 A的特征向量,所以 A有 n个线性无关的特征向量,从而 A可以对角化 特别地,n 维单位向量 i =(0,1,0) T ,i=1,2,n,是 A的特征向量 令 P=(e 1 ,e 2 ,e n ),则有 P=E,且 A=P -1 AP=A= )解析:32.设 A是 3阶矩阵,且有 3个互相正交的特征向量,证明 A是对称矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 A的特征值是 1 , 2 , 3 ,相应的特征向量是 1 , 2 , 3 因为 1 , 2 , 3 已两两正交,将其单位化为 1 , 2 , 3 ,则 1 , 2 , 3 仍是 A的特征向量,且 P=( 1 , 2 , 3 )是正交矩阵,并有 )解析:解析:非零正交向量组是线性无关的,故 A有 3个线性无关的特征向量,即 A可以对角化,并且可以用正交变换化为对角形


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