1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 1及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 =0 与 =1 的特征向量分别是 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，-1，1) T ，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_2.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_3.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_4.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 )
2、 2 的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2 x 3 的矩阵 A= 1，规范形是 2（分数：2.00）填空项 1:_6.假设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2 +(2x 2 +3x 3 ) 2 +(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2 正定，则 a的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明
3、、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.已知 A= （分数：2.00）_9.已知 A= （分数：2.00）_10.已知 A= （分数：2.00）_11.已知 A暑 3阶不可可矩阵，-1 和 2是 A的特征值B=A 2 -A-2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_12.设 3阶矩阵 A的特征值 =1，=2，=3 对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ()将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表出： ()求 A n （分数：2.00）_13.设矩阵 A= （分数：2
4、.00）_14.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_15.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_16.已知 A 2 =0，A0，证明 A不能相似对角化（分数：2.00）_17.已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_18.设 A= （分数：2
5、.00）_19.设 A=(a ij )是秩为 n的 n阶实对称矩阵，A ij 是A中元素 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_20.求正交变换化二次型 2x 3 2 -2x 1 x 2 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 为标准形，并写出所用正交变换（分数：2.00）_21.已知 =(1，-2，2) T 是二次型 x T Ax=ax 1 2 +4x 2 2 +bx 3 2 -4x 1 x 2 +4x 1 x 3 -8x 2 x 3 矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换（分数：2.00）_
6、22.设二次犁 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +6y 3 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换（分数：2.00）_23.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 2 )=(1-a)x 1 2 +(1-a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2 的秩为 2. ()求a的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形； ()求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0的解（分数：2.00）_24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，
7、x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a-1)x 3 2 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 ， ()求二次型 f的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a的值（分数：2.00）_25.设三元二次型 x T Ax=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 -2x 2 x 3 -2ax 1 x 3 的正、负惯性指数都是1，()求 a的值，并用正交变换化二次型为标准形；()如 B=A 3 -5A+E，求二次型 x T Bx的规范形（分数：2.00）_26.已知三元二次型 x T Ax的秩为 2，且 （分数：2.00）_27.
8、用配方法把二次型 2x 3 2 -2x 1 x 2 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 化为标准形，并写出所用坐标变换（分数：2.00）_28.用配方法化二次型 x 1 x 2 +2x 2 x 3 为标准形，并写出所用满秩线性变换（分数：2.00）_29.判断 3元二次型 f=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 2 x 3 的正定性（分数：2.00）_30.判断 n元二次型 （分数：2.00）_考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷 1答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设 A是 3阶
9、实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 =0 与 =1 的特征向量分别是 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，-1，1) T ，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(-1，0，1) T ，t0）解析：解析：设 =2 的特征向量是 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交故有 2.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：由 AB，知 ，且-1 是 A的特征值，即3.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
10、案：-1）解析：解析：由 A的特征多项式 E-A= =(+1) 3 ， 知矩阵 A的特征值是 =-1(三重根)，因为 A只有 2个线性无关的特征向量，故 4.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2 的正、负惯性指数分别为p= 1，q= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析： 由于二次型的标准形是5.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax=2x 2 2 +2x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +8x 2
11、x 3 的矩阵 A= 1，规范形是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，6，-4；x 1 2 +x 2 2 -x 3 2）解析：解析：按定义，二次型矩阵 A= 由特征多项式E-A= 6.假设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x+ax 2 -2x 3 ) 2 +(2x 2 +3x 3 ) 2 +(x 1 +3x 2 +ax 3 ) 2 正定，则 a的取值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： (x 1 ，x 2 ，x 3 )恒有平方和 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0，其中等号成立的充分必要条件是 按正定定义，f
12、正定 =(x 1 ，x 2 ， 3 ) T 0，恒有 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )0 因此，本题中二次型 f正定 方程组(*)只有零解 二、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 E-A= )解析：9.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= )解析：10.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 E-A= =(-1) 2 (+2)， 知矩阵 A的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-2 因为
13、矩阵 A可以相似对角化，故 r(E-A)=1而 所以 x=6 当 =1 时，由(E-A)x=0得基础解系 1 =(-2，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =-2 时，由(-2E-A)x=0 得基础解系 3 =(-5，1，3) T 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：11.已知 A暑 3阶不可可矩阵，-1 和 2是 A的特征值B=A 2 -A-2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A不可逆，有A=0，从而 =0 是 A的特征值 由于矩阵 A有 3个不同的特征值，则 AA= 于是 P -1 AP=A
14、那么 P -1 A 2 P=A 2 因此 P -1 BP=P -1 A 2 P-P -1 AP-2E= )解析：12.设 3阶矩阵 A的特征值 =1，=2，=3 对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ()将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表出： ()求 A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 故 =2 1 -2 2 + 3 ()A=2A 1 -2A 2 +A 3 ，则 A n =2A n 1 -2A n 2 +A n 3 =2 1 -2
15、.2 n 2 +3 n 3 = )解析：13.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A * =，由 AA * =AE，有A=A，即 )解析：14.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(-1，2，-3) T 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 r(A)=2知A=0，所以 A=0是 A的另一特征值 因为 1 = 2 =6是实对称矩阵的二重特征值，故 A属于 =6 的线性无关的特征向量有 2个，因此 1 ， 2 ， 3 必
16、线性相关，显然 1 ， 2 线性无关 设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(-1，1，1) T 那么A( 1 ， 2 ，)=(6 1 ，6 2 ，0)，从而 A=(6 1 ，6 2 ，0)( 1 ， 2 ，) -1 = )解析：15.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 AB，有 P -1 AP=B，那么 B 2 =P -1 A 2 P=P -1 AP=B)解析：16.已知 A 2 =0，A0，证明 A不能相似对角化（分数：2
17、.00）_正确答案：(正确答案：设 A=，0，那么 A 2 = 2 =0从而 =0 又因 A0，r(A)1，所以 Ax=0的基础解系有 n-r(A)个向量，即 =0 有 n-r(A)个线性无关的特征向量 又 n-r(A)n，所以 A不能相似对角化)解析：17.已知 1 ， 2 ， 3 是 A的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A属于特征值 A的特征向量，即 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 ) 又 A( 1 +
18、 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是 (- 1 ) 1 +(- 2 ) 2 +(- 3 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 - 1 =0，- 2 =0，- 3 =0 即 1 = 2 = 3 )解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为有可逆矩阵 或者，由二次型 x T Ax=x 1 2 +2x 2 2 与 x T Bx=3x 1 2 +4x 2 2 有相同的正惯性指数 p=2及相同的负惯性指数 q=0而知 A )解析：19.设 A=(a ij )是秩为 n的 n阶实对称矩阵，A ij 是A中元素 a
19、 ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 r(A)=n，故 A是可逆的实对称矩阵，于是(A -1 ) T =(A T ) -1 =A -1 ，即 A -1 是实对称矩阵，那么 是对称的，因而 A * 是实对称矩阵，可见 A ij =A ji (i，j=1，2，n)，于是 )解析：解析：按定义，若 f(X)=X T BX，其中 B是实对称矩阵，则 X T BX就是二次型 f的矩阵表示，而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致20.求正交变换化二次型 2x 3 2 -2x 1 x 2
20、 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 为标准形，并写出所用正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵是 A= 由特征多项式 E-A= =(+1)( 2 -3)， 得到 A的特征值是 3，-1，0 对 =3，由(3E-A)x=0，即 ，解得 1 =(1，-1，2) T 类似地，对 =-1， 2 =(1，1，0) T ； =0 时， 3 =(-1，1，1) T 特征值无重根，仅需单位化： )解析：21.已知 =(1，-2，2) T 是二次型 x T Ax=ax 1 2 +4x 2 2 +bx 3 2 -4x 1 x 2 +4x 1 x 3 -8x 2 x 3 矩阵A的特征向量
21、，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型矩阵 A= 设 =(1，-2，2) T 是矩阵 A属于特征值 的特征向量，则 可知矩阵 A的特征值为 0，0，9 对 =0，由(0E-A)x=0 得基础解系 1 =(2，1，0) T ， 2 =(-2，0，1) T 因为 1 ， 2 不正交，故需 Sehmidt正交化，即 把 1 ， 2 ， 单位化，得 那么经正交变换 )解析：22.设二次犁 x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 -4x 1 x 2 -4x 1 x 3 +2ax 2 x 3 经正交变换化为 3y 1 2 +3y 2 2 +6y 3
22、 2 ，求 a，b 的值及所用正交变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 由于是用正交变换化为标准形，故 A与 B不仅合同而且相似那么 对 =3，由(3E-A)x=0 得特征向量 1 =(1，-1，0) T ， 2 =(1，0，-1) T ； 对 =-3，由(-3E-A)x=0 得特征向量 3 =(1，1，1) T 因为 =3 是二重根，对 1 ， 2 正交化有 1 = 1 =(1，-1，0) T ， )解析：23.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 2 )=(1-a)x 1 2 +(1-a)x 2 2 +2x 3 2 +2(1+a)x 1 x 2
23、 的秩为 2. ()求a的值； ()求正交变换 x=Qy，把 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )化成标准形； ()求方程 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=0的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型矩阵 A= 二次型的秩为 2，即二次型矩阵 A的秩为 2， 从而 A= =-8a=0，解得 a=0 ()当 a=0时，A= ，由特征多项式 E-A= =(-2)(-1) 2 -1=(-2) 2 ， 得矩阵 A的特征值 1 = 2 =2， 3 =0 当 =2 时，由(2E-A)x=0， 得特征向量 1 =(110) T 2 =(0，0，1) T 当 =0 时，由(0E-A)x=0，
24、，得特征向量 3 =(1，-1，0) T 容易看出， 1 ， 2 ， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： ()由 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +2x 3 2 +2x 1 x 2 =(x 1 +x 2 ) 2 +2x 3 2 =0，得 )解析：24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=ax 1 2 +ax 2 2 +(a-1)x 3 2 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 ， ()求二次型 f的矩阵的所有特征值； ()若二次型 f的规范形为 y 1 2 +y 2 2 ，求 a的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型 f的矩阵为 A
25、= ，其特征多项式为 E-A= )解析：25.设三元二次型 x T Ax=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 +2x 1 x 2 -2x 2 x 3 -2ax 1 x 3 的正、负惯性指数都是1，()求 a的值，并用正交变换化二次型为标准形；()如 B=A 3 -5A+E，求二次型 x T Bx的规范形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()二次型矩阵是 A= 由于 r(A)=p+q=2，所以A=-(a-1) 2 (a+2)=0 若 a=1，则 r(A)=1不合题意，舍去若 a=-2，由特征多项式 E-A= =(-3)(+3)， 得出 A的特征值为3 与 0p=q=1 合于所求故
26、a=-2 当 =3 时，由(3E-A)x=0，得特征向量 1 =(1，0，1) T ； 当 =-3 时，由(-3E-A)x=0，得特征向量 2 =(1，-2，-1) T ； 当 =0 时，由(0E-A)x=0，得特征向量 3 =(-1，-1，1) T 由于特征值不同特征向量已正交，单位化得 )解析：26.已知三元二次型 x T Ax的秩为 2，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型 x T Ax的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A的特征值 又 所以 3是 A的特征值，(1，2，1) T 是 3的特征向量；-1 也是 A的特征值，(1，-1，1) T 是-1 的特征向量
27、 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 )解析：27.用配方法把二次型 2x 3 2 -2x 1 x 2 +2x 1 x 3 -2x 2 x 3 化为标准形，并写出所用坐标变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.用配方法化二次型 x 1 x 2 +2x 2 x 3 为标准形，并写出所用满秩线性变换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：解析：二次型中不含平方项，故应先作一次坐标变换构造出平方项，再按前例实施配方29.判断 3元二次型 f=x 1 2 +5x 2 2 +x 3 2 +4x 1 x 2 -4x 2 x 3 的正定性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用配方法化 f为标准形 f=(x 1 +2x 2 ) 2 +(x 2 -2x 3 ) 2 -3x 3 2 由于正惯性指数 p=23，所以 f不是正定二次型)解析：30.判断 n元二次型 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(顺序主子式) 二次型矩阵 其顺序主子式 )解析：
