1、考研数学三（矩阵及其运算）-试卷 3 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.如 A 是 n 阶矩阵，则(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)B.如 A，B 均是 n1 矩阵，则 A T B=B T AC.如 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=0，则(A+B) 2 =A 2 +B 2 D.如 A 是 n 阶矩阵，则 A m A k =A k A m 3.已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3
2、 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的-2 倍加至第 3 列得 C，则满足 PA -1 =C -1 的矩阵 P 为 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 P T AP= ，若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则 Q T AQ= （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =（分数：2.00）A.kA * B.k n-1 A * C.k n A * D.k -1 A * 二、填空题(总题数：11
3、，分数：22.00)6.设 A，B 均是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 =(1，2，3) T ，= （分数：2.00）填空项 1:_9.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 PA=BP，其中 P= （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 A= （
4、分数：2.00）填空项 1:_15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 A= （分数：2.00）_19.设 A 是 3 阶正交矩阵，按定义 A T A （分数：2.00）_20.已知 A 是 n 阶对称矩阵B 是 n 阶反对称矩阵，证明 A-B 2 是对称矩阵（分数：2.00）_21.证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵（分数：2.00）_22.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，
5、而参加培训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职土各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_23.已知 A= （分数：2.00）_24.已知 A，B 及 A，C 都可交换，证明 A，B，C 是同阶矩阵，且 A 与 BC 可交换（分数：2.00）_25.求与 A= （分数：2.00）_26.已知 A= （分数：2.00）_27.已知矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学三（矩阵及其运算）-试卷 3 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给
6、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题中不正确的是（分数：2.00）A.如 A 是 n 阶矩阵，则(A-E)(A+E)=(A+E)(A-E)B.如 A，B 均是 n1 矩阵，则 A T B=B T AC.如 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=0，则(A+B) 2 =A 2 +B 2 D.如 A 是 n 阶矩阵，则 A m A k =A k A m 解析：解析：(A)中，由乘法有分配律，两个乘积均是 A 2 -E，而(D)是因乘法有结合律，两乘积都是 A m+k ，故(A)，(D)都正确 关于(B)，由于 A T B，B T A 都是 11 矩阵，而
7、1 阶矩阵的转置仍是其自身，故 A T B=(A T B) T =B T A 亦正确 唯(C)中，从 AB=0 还不能保证必有 BA=0，例如 A= 3.已知 3 阶矩阵 A 可逆，将 A 的第 2 列与第 3 列交换得 B，再把 B 的第 1 列的-2 倍加至第 3 列得 C，则满足 PA -1 =C -1 的矩阵 P 为 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对矩阵 A 作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘 A，故4.设 A，P 均为 3 阶矩阵，P T 为 P 的转置矩阵，且 P T AP= ，若 P=( 1 ， 2 ， 3 )，Q=( 1 + 2 ， 2 ， 3 )，则
8、 Q T AQ= （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：对矩阵 P 作一次初等列变换：把第 2 列加至第 1 列，便可得到矩阵 Q 若记 E 12 (1)= ，则 Q=PE 12 (1)那么 5.设 A 是任一 n(n3)阶方阵，A * 是其伴随矩阵，又 k 为常数，且 k0，1，则必有(kA) * =（分数：2.00）A.kA * B.k n-1 A * C.k n A * D.k -1 A * 解析：解析：由于 kA=(ka ij )，故行列式kA的代数余子式按定义为 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)6.设 A，B 均是 n 阶对称矩阵，则 AB 是对称矩阵的充要条件
9、是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：AB=BA）解析：解析：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵例如 而 AB 对称 7.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 8.设 =(1，2，3) T ，= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A= T = ，所以 A 3 =( T )( T )( T )=( T )( T ) T =4 T =4A= 9.已知
10、A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A=E+J，其中10.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对 A 分块为 则 B=3E+J，由于 J 3 -j 4 =0，于是 11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由于 A 2013 -2A 2012 =(A-2E)A 2012 ，而 A-2E= 12.已知 PA=BP，其中 P= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E）解析：解析：因为矩阵 P 可逆，由 PA=BP 得 A=P -1 BP那
11、么 A 2 =(P -1 BP)(P -1 BP)=P -1 B(PP -1 )BP=P -1 B 2 P 归纳地 A 2012 =P -1 B 2012 P 因为 13.已知 2CA-2AB=C-B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA-2AB=C-B 得 2CA-C=2AB-B故有 C(2A-E)=(2A-E)B 因为 2A-E= 可逆，所以 C=(2A-E)B(2A-E) -1 那么 C 3 =(2A-E)B 3 (2A-E) -1 14.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先求 A
12、 的特征值与特征向量由 对 =0，由(0E-A)x=0，解出 1 = ；对=6，由(6E-A)x=0，解出 2 = 令 P= 而 A=PAP -1 ，于是 15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E 12 = 所得 E 12 A 是 A 作初等行变换(1，2 两行对换)，而 E 12 A 2011 表示 A 作了奇数次的 1，2 两行对换，相当于矩阵 A 作了一次 1，2 两行对换，故 而右乘 E 13 是作 1，3 两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变，即 16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
13、：因为 A -1 .(A -1 ) * =A -1 E，有(A -1 ) * =A -1 A= 本题A=6，所以(A -1 ) * = 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 A 是 3 阶正交矩阵，按定义 A T A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用矩阵乘法，易见 a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 =a 1 a 1 +b 1 b 1 +c 1 c 3 =a 2 a 3 +b 2 b 3 +c 2 c 3
14、=0 这说明矩阵 A 的每个列向量都是单位向量且互相正交(在求正交矩阵的问题中，读者应该用这两条性质进行验算) 类似地，AA T =E，可知 A 的行向量都是单位向量且互相正交显然 )解析：20.已知 A 是 n 阶对称矩阵B 是 n 阶反对称矩阵，证明 A-B 2 是对称矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A-B 2 =A-BB=A+B T B，则有 (A-B 2 ) T =(A+B T B) T =A T +(B T B) T =A+B T B=A-B 2 所以 A-B 2 是对称矩阵)解析：21.证明上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
15、设 A=(a ij )，B=(b ij )都是 n 阶上三角矩阵对 AB=C=(c ij )，按矩阵乘法定义，有 c ij =a i1 b 1j +a ii-1 b i-1j +a ii b ij +a ii+1 b i+1j +a in b nj 由于 A 是上三角矩阵，则 a i1 =a i2 =a i i-1 =0 因为 B 是上三角矩阵，当 ij 时，有 b ij =b i+1 j =b nj =0 因此，当ij 时，c ij 中的每一项都为 0，从而 c ij =0即 AB 是上三角矩阵)解析：22.某企业对其职工进行分批脱产技术培训，每年从在岗人员中抽调 30的人参加培训，而参加培
16、训的职工中有 60的人结业回岗，假设现有在岗职工 800 人，参加培训人员是 200 人，试问两年后在岗与脱产培训职土各有多少人(假设职工人数不变)?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 x i ，y i 分别表示 i 年后在岗与脱产职工的人数，x 0 ，y 0 为目前在岗与脱产的人数，则 )解析：23.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 中任两行、任两列都成比例，故可把 A 分解成两个矩阵相乘，即 那么，由矩阵乘法的结合律，有 由于(b 1 ，b 2 ，b 3 ) )解析：24.已知 A，B 及 A，C 都可交换，证明 A，B，C 是同阶矩阵，且 A 与
17、BC 可交换（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 是 mn 矩阵，由 AB 可乘，故可设曰是 ns 矩阵又因 BA 可乘，所以m=s那么 AB 是 m 阶矩阵，BA 是 n 阶矩阵从 A 和 B 可交换，即 AB=BA，得 m=n，即 A，B 是同阶矩阵，同理，C 与 A，B 也同阶，由结合律，有 A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A，所以，A 与 BC 可交换)解析：25.求与 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 高斯消元，解出 x 1 =2t+u， x 2 =2t， x 3 =t， x 4 =u所以 )解析：26.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 与 A 可交换，并对 A 分别按列(行)分块，记为 那么 a j a ij =a i a ij 又因 a i a j ，可见 a ij 0 )解析：27.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 作初等变换，有 )解析：
