1、考研数学三（矩阵及其运算）-试卷 2 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.0B.EC.-ED.E+ T 3.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)4.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =
2、（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1 C.A(A+B) -1 BD.(A+B) -1 5.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0D.AB06.设 A= （分数：2.00）A.AP 1 P 2B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_8.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 是
3、n 阶矩阵，满足 A 2 -2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.若 A -1 = （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 2 -BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)1
4、9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.设 A -1 = （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_22.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)E-B(E+AB) -1 A（分数：2.00）_23.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C -1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_24.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E-A 可逆（分数：2.00）_26.设 A 为 n
5、阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶反对称矩阵，证明(E-A)(E+A) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_考研数学三（矩阵及其运算）-试卷 2 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.0B.E C.-ED.E+ T 解析：解析：AB=(E- T )(E+2 T )=E+2 T - T -2 T T =E+ T -2 T ( T ) 注意
6、 T = 3.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * A=AA * B.A m A p =A p A m C.A T A=AA T D.(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)解析：解析：因为 AA * =A * A=AE， A m A p =A p A m =A m+p ， (A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)=A 2 -E， 所以(A)、(B)、(D)均正确 而 AA T = 4.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 =（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1 C.A(A+B
7、) -1 B D.(A+B) -1 解析：解析：(A -1 +B -1 ) -1 =(EA -1 +B -1 ) -1 =(B -1 BA -1 +B -1 ) -1 =B -1 (BA -1 +AA -1 ) -1 =B -1 (B+A)A -1 -1 =(A -1 ) -1 (B+A) -1 (B -1 ) -1 =A(A+B) -1 B 故应选(C)5.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB=0B.AB0C.AB=0 D.AB0解析：解析：A= 0，但 AB=0，所以(A)，(B)均不正确 又如 A=6.设 A= （分数：2.00）A.AP 1 P 2
8、B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 解析：解析：把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3 两列互换可得到矩阵 B， 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP 1 ，故应在(A)、(B)中选择而 P 3 = 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)7.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8.若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：用定义A 11 =-3，A 12 =6，A 13 =-3，A 21 =6，A 22 =-12
9、， A 23 =6，A 31 =-3，A 32 =6， A 33 =-3，故 9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因 B=(A+2E)(A+3E)，又 =5B -1 ，故 11.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 -2A+E=0，则(A+2E) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(A+2E)(A-4E)+9E=A 2 -2A+E=0 有 (A+2E). (4E-A)=E (A+2E) -1 = 12.
10、若 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(A * ) -1 = 13.若 A -1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为(kA) * =k n-1 A * ，故(3A) * =3 2 A * ，又 A * =AA -1 ， 而 从而(3A) * =9A * = 14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4 或-5）解析：解析：A 不可逆 A=0而15.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2
11、）解析：解析：由 AB-2A-B+2E=2E，有 A(B-2E)-(B-2E)=2E，则 (A-E)(B-2E)=2E 于是 A-E.B-2E=2E=8，而A-E=16.设 A 2 -BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 BA=A 2 -E，又 A 可逆，则有 B=(A 2 -E)A -1 =A-A -1 故 B= 17.设 XA=A T +X，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XA-X=A T 有 X(A-E)=A T ，因为 A 可逆，知 X 与 A-E 均可逆 故 X=A
12、T (A-E) -1 = 18.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘 A 并把 AA * =AE 代入得 AX=E+2AX， 移项得 (AE-2A)X=E故 X=(AE-2A) -1 由A=4 知 X=(4E-2A) -1 = 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 A -1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 分块，记 A= ，则由 r(B)=1，知 )解析：
13、22.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)E-B(E+AB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E+BA)E-B(E+AB) -1 A =E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A =E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E)解析：23.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABA=C -1 ，证明 BAC=CAB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因 ABAC=E，即 A -1 =BAC又CABA=E，得 A -1 =CAB 从而
14、 BAC=CAB)解析：24.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T =A，B T =-B，那么(AB) T =B T A T =-BA 若 AB 是反对称矩阵，则(AB) T =-AB，从而 AB=BA反之，若 AB=BA，则(AB) T =-BA=-AB，即 AB 是反对称矩阵)解析：25.设 A 是 n 阶矩阵，A m =0，证明 E-A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A m =0，有 E-A m =E于是 (E-A)(E+A+A 2 +A m-1 )=E-A m =E
15、 所以 E-A可逆，且(E-A) -1 =E+A+A 2 +A m-1 )解析：26.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 AA * =A * A=AE 及 A * =AA -1 有 ()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式，有 )解析：27.设 A 是 n 阶反对称矩阵，证明(E-A)(E+A) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E-A)(E+A) -1 (E-A)(E+A) -1 T =(E-A)(E+A) -1 (E+A) -1 T (E-A) T =(E-A)(E+A) -1 (E+A) T -1 (E+A) =(E-A)(E+A) -1 (E-A) -1 (E+A) =(E-A)(E-A)(E+A) -1 (E+A) =(E-A)(E+A)(E-A) -1 (E+A) =(E-A)(E-A) -1 (E+A) -1 (E+A)=E 同理 (E-A)(E+A) -1 T (E-A)(E+A) -1 =E 所以 (E-A)(E+A) -1 是正交矩阵)解析：
