1、考研数学三（矩阵及其运算）-试卷 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则 C= 的伴随矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B，C 是 n 阶矩阵，且 ABC=E，则必有（分数：2.00）A.CBA=EB.BCA=EC.BAC=ED.ACB=E4.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C=（分数：2.00）A.EB.-EC.AD.-A二、填空题(总
2、题数：7，分数：14.00)5.已知 n 阶行列式A= （分数：2.00）填空项 1:_6.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_7.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=A-2B，B= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.如 A 3 =0，则(E+A+A 2 ) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 3 阶方阵 A，B 满足 A -1 BA=6A+BA且 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写
3、出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A（分数：2.00）_14.设 A 是 n 阶正交矩阵，证明 A * 也是正交矩阵（分数：2.00）_15.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且 a ij =A ij ( （分数：2.00）_16.求 A= （分数：2.00）_17.已知 A 是 n 阶对称矩阵，且 A 可逆，如(A-B) 2 =E，化简(E+A -1 B T ) T (E-BA -1 ) -1 （分数：2.00）_18.设 A 是 n 阶矩阵，若 A 2 =A，证明 A+E 可逆（分数：2.00）_19.设
4、 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，证明 A-E 可逆（分数：2.00）_20.已知 X，Y 是相互正交的 n 维列向量，证明 E+XY T 可逆（分数：2.00）_21.设 A，B 是 n 阶矩阵，E-AB 可逆，证明 E-BA 可逆（分数：2.00）_22.设 H= （分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.已知 （分数：2.00）_25.设 4 阶矩阵 （分数：2.00）_26.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_27.已知 A= （分数：2.00）_考研数学三（矩阵及其运算）-试卷 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、
5、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 是 n 阶矩阵，则 C= 的伴随矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 CC * =CE=ABE，因此 应选(D)另外，作为选择题不妨附加条件A，B 可逆，那么 3.设 A，B，C 是 n 阶矩阵，且 ABC=E，则必有（分数：2.00）A.CBA=EB.BCA=E C.BAC=ED.ACB=E解析：解析：由 ABC=E 知 A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立4
6、.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，则 B-C=（分数：2.00）A.E B.-EC.AD.-A解析：解析：由 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.已知 n 阶行列式A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦我们知道，代数余子式与伴随矩阵 A * 有密切的联系，而 A * 与 A -1 又密不可分对于 A 用分块技巧，很容易求出 A -1 由于 又因 A * =AA -1 ，那么 6.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）
7、解析：解析：由 AA * =AE，有 7.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A= =5B -1 ，求 B -1 可用公式(212) 8.设 A，B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=A-2B，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 AB=A-2B 有 AB+2B=A+2E-2E，得知 (A+2E)(E-B)=2E，即(A+2E). (E-B)=E故(A+2E) -1 = 9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 B+E=(E+A) -1 (E
8、-A)+E=(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 (E-A)+(E+A)=2(E+A) -1 ， 故 (B+E) -1 = 10.如 A 3 =0，则(E+A+A 2 ) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E-A）解析：解析：注意(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 3 =E11.设 3 阶方阵 A，B 满足 A -1 BA=6A+BA且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设知，A 可逆然后在题设关系式两端右乘 A -1 有：A -1 B=6E+B，在该式两端左乘 A，
9、得 B=6A+AB移项得(E-A)B=6A，则 B=6(E-A) -1 A于是由 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用伴随矩阵 A * 替换关系式 AA * =AE 中的矩阵 A，得到 A * (A * ) * =A * E 由于A * =A n-1 ，从 A 可逆知 A * 可逆又因(A * ) -1 = ，于是得到 (A * ) * =A * (A * ) -1 =A n-2 A. )解析
10、：14.设 A 是 n 阶正交矩阵，证明 A * 也是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA T =E，从行列式乘法公式知A 2 =A.A T =1又因 A -1 =A T ， 于是 A * =AA -1 =AA T ，那么 A * (A * ) T =AA T .AA=A 2 A T A=E 类似地(A * ) T A * =E所以，A * 是正交矩阵)解析：15.已知 A 是 3 阶非零矩阵，且 a ij =A ij ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是非零矩阵，不妨设 a 11 0，那么按第一行展开，并将 a ij =A ij 代入，即有 所以，
11、A 可逆 由于 A= )解析：16.求 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用伴随矩阵(210)，得 )解析：17.已知 A 是 n 阶对称矩阵，且 A 可逆，如(A-B) 2 =E，化简(E+A -1 B T ) T (E-BA -1 ) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式=E T +(A -1 B T ) T AA -1 -BA -1 -1 =E+B(A -1 ) T (A-B)A -1 -1 =E+B(A T ) -1 A(A-B) -1 =(E+BA -1 )A(A-B)=(A+B)(A-B)解析：18.设 A 是 n 阶矩阵，若 A 2 =A，证明 A+
12、E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 2 =A，故 A 2 -A-2E=-2E，那么(A+E)(A-2E)=-2E， 即 )解析：19.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，证明 A-E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=A+B 有 AB-B-A+E=E，于是(A-E)B-(A-E)=E 故(A-E)(B-E)=E所以按定义知 A-E 可逆)解析：20.已知 X，Y 是相互正交的 n 维列向量，证明 E+XY T 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A=XY T ，则 A 2 =(XY T )(XY T )=X(Y T X)Y
13、 T =0，于是 A 的特征值全是 0，那么 E+A 的特征值全是 1，所以 E+XY T 可逆)解析：21.设 A，B 是 n 阶矩阵，E-AB 可逆，证明 E-BA 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(反证法) 如E-BA=0，则齐次方程组(E-BA)x=0 有非零解，设 是其非零解，则 (E-BA)=0，即 BA=，且 0 (*) 对于齐次方程组(E-AB)x=0，由于 (E-AB)A=A-(AB)A-A-A(BA)=A-A=0， 从(*)式易见 A0这样(E-AB)x=0 有非零解 A，这与 E-AB 可逆相矛盾)解析：22.设 H= （分数：2.00）_正确答案：(正确答
14、案：因为 A，B 均可逆，由拉普拉斯展开式(16)有 所以矩阵 H 可逆 设 H -1 = 解得 X=A -1 ，Y=O，Z=-B -1 CA -1 ，W=B -1 故 )解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 )解析：24.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A= ，用初等行变换(214)，得 从增广矩阵的第一列解出 x 3 =2， x 2 =t， x 1 =-3t-1 同理 y 3 =0，y 2 =u，y 1 =4-3u， z 3 =5，z 2 =v， z 1 =-3v-11， 故X= )解析：25.设 4 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(
15、正确答案：由于 A(E-C -1 B) T C T =AC(E-C -1 B) T =A(C-B) T ，于是 A=(C-B) T -1 = )解析：26.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由A * =A n-1 ，有A 3 =8，得A=2 又因(A-E)BA -1 =3E，有(A-E)B=3A，左乘 A * ，得 (AE-A * )B=3AE，即(2E-A * )B=6E 故 B=6(2E-A * ) -1 )解析：解析：对矩阵方程化简，右乘 A 得 AB-B=3A 27.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于A=4，用矩阵 A 左乘方程两端，有 因为 AA * =AE=4E， AA=A，故 4BA=8B+12A，即 B(A-2E)=3A 那么 B=3A(A-2E) -1 )解析：解析：由于(kA) * =k n-1 A * ， (A * ) * =A n-2 A，可见
