1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 71及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X n 为相互独立的随机变量，S n X 1 X n ，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X n（分数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布D.服从同一离散型分布3.设总体 XN(， 2 )，从中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 （分数：2.00）A.Y 1 、
2、Y 2 均与 B.Y 1 、Y 2 均与 C.Y 1 与 D.Y 2 与 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，YN(2，9)，ZN(2，2)，则 P0XYZ3 1( （分数：2.00）填空项 1:_5.对随机变量 X，Y，Z，已知 EXEY1，EZ1，DXDY1，DZ4， (X，Y) 0， (X，Z) ， (Y，Z) （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_6.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下)其中 ， 未知，但已知 EY ，则 1， 2，EX 3，E(XY) 4 （分数：2.00）填空项 1:_7.设
3、(X，Y)在 D 1 XYa(a0)上服从均匀分布则 E(X) 1，E(Y) 2，E(XY) 3（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_8.对随机变量 X，Y，已知 3X5Y11，则 X和 Y的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设总体 XN(， 2 )，从 X中抽得容量为 16的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 XF(n，n)且 P(XA)03，则 P(X （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00
4、）_12.(1)设系统由 100个相互独立的部件组成运行期间每个部件损坏的概率为 01至少有 85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率( （分数：2.00）_13.对随机变量 X，已知 Ee kX 存在(k0 为常数)，证明：PX) （分数：2.00）_14.当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于097 试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(1645)095)（分数：2.00）_15.利用中心极限定理证明： （分数：2.00）_16.设总体 X具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X
5、4 ，求 T （分数：2.00）_17.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为取自 X的简单样本，记 d （分数：2.00）_18.设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70的概率不小于 095，样本容量 n至少应取多大?(1645)095)（分数：2.00）_19.从一正态总体中抽取容量为 10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以上的概率为002，求总体的标准差(233)099)（分数：2.00）_20.设总体 XN(， 2 )，从 X中抽得样本 X 1 ，X n ，X n+1 ，记 试求 （分数：2.00）_21.设 k个总体 N( i ， 2 )(i1，K)
6、相互独立，从第 i个总体中抽得简单样本：X i1 ，X i2 ， ，记 ，(i：1，k)又记 n ，试求 T （分数：2.00）_22.设从一总体中抽得样本观测值为：5，3，4，5，6，2，5，3试写出其样本经验分布函数 F * ()（分数：2.00）_23.从总体 XN(0， 2 )中抽得简单样本 X 1 ，X n+m ，求 Y （分数：2.00）_24.设总体 XB(m，p)，其中 m已知，P 未知，从 X中抽得简单样本 X 1 ，X n ，试求 P的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_25.设总体的密度为：f() （分数：2.00）_26.设 YlnXN(， 2 )，而 X 1 ，X
7、 n 为取自总体 X的简单样本，试求 EX的最大似然估计（分数：2.00）_27.从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本，样本均值分别记为 和 试证对任意满足 ab1 的常数 a、b，Ta b （分数：2.00）_28.总体 XN(2， 2 )，从 X中抽得简单样本 X 1 ，X n 试推导 2 的置信度为 1 的置信区间若样本值为 18，21，20，19，2218求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2 (6)14449， 0025 2 (6)1237，下分位数)（分数：2.00）_29.随机地取某种炮弹 9发做试验，得炮口速度
8、的样本标准差 S11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间 0025 2 (8)2180， 0975 2 (8)17535，下侧分位数（分数：2.00）_30.一个罐子里装有黑球和自球，黑、白球之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X为所抽的白球数这样做了 n次以后，我们获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求R的最大似然估计（分数：2.00）_31.用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16 kgmm 2 为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，
9、51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平 005，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( 0975 2 (8)17535， 0025 2 (8)2180，下侧分位数)（分数：2.00）_32.一批矿砂的 4个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)58409，下侧分位数)（分数：2.00）_33.用两种方案进行某种产品的销售，得部分销售量为： A 方案：140，138，143，142，144，139； B 方案：135，140，142，136135，140 设两
10、种方案下的销售量均服从正态分布，试在 005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)2228，F 0975 (5，5)715，下侧分位数提示：先检验方差相等)（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 71答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X n 为相互独立的随机变量，S n X 1 X n ，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X n（分
11、数：2.00）A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布 D.服从同一离散型分布解析：解析：列维一林德贝格中心极限定理要求诸 X i 独立同分布，因此选项 A、B 不能选(无法保证同分布)，而选项 D却保证不了 EX i 及 DX i 存在，甚至排除不了 X i 为常数(即退化分布)的情形，而中心极限定理却要求 X i 非常数且 EX i 与 DX i 存在，故不选 D，只有 C符合要求，可选3.设总体 XN(， 2 )，从中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 （分数：2.00）A.Y 1 、Y 2 均与 B.Y 1 、Y 2 均与 C.Y 1 与 D.Y 2 与 解
12、析：解析：由 X i N(，)， N(0，1)， 且 X 1 ，X n 相互独立，故 2 (n)， 故 Y 1 2 (n)而由 2 (n1)， 故 Y 1 2 (n1)，且 Y 2 与 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，YN(2，9)，ZN(2，2)，则 P0XYZ3 1( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02734）解析：解析：E(XYZ)EXEYEZ4220，D(XYZ)DXDYDZ59216， XYZN(0，16)，故 P0XYZ35.对随机变量 X，Y，Z，已知 EXEY1，EZ1，DXDY1，D
13、Z4， (X，Y) 0， (X，Z) ， (Y，Z) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：6.设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下)其中 ， 未知，但已知 EY ，则 1， 2，EX 3，E(XY) 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：7.设(X，Y)在 D 1 XYa(a0)上服从均匀分布则 E(X) 1，E(Y) 2，E(XY) 3（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：
14、8.对随机变量 X，Y，已知 3X5Y11，则 X和 Y的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：Y9.设总体 XN(， 2 )，从 X中抽得容量为 16的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：10.设 XF(n，n)且 P(XA)03，则 P(X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：07）解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.(1)设系统由 100个相互
15、独立的部件组成运行期间每个部件损坏的概率为 01至少有 85个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设有 X个部件完好，则 XB(100，09)， EX90，DX9， P系统正常工作PX85 0952 2 (2)设有 Y个部件完好，YB(n，09)，EX09n，DX009n， PX08n 由题意，P(X08n)095，( )095，故 )解析：13.对随机变量 X，已知 Ee kX 存在(k0 为常数)，证明：PX) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 X为连续型随机变量，概率密度为 f()，则 Ee kX
16、e kX .f()d， 而 PX )解析：14.当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至 06 之间的概率不小于097 试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(1645)095)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设抛掷 n次硬币，正面出现 X次，则 XB(n，05)现要求P(04 06)09，即 P(04nX06n)09 (1)用切比雪夫不等式： P(04nX06n)P(X05n01n)1 ， 令 1 09，得 n250； (2)用中心极限定理： P(04nX06n) (02 )(02 )2(02 )1， 令 2(02 )109，得 (02 )095，
17、 02 )解析：15.利用中心极限定理证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引随机变量 X k (1)(参数为 1的泊松分布)，k1，2，且X k 相互独立由泊松分布的再生性知 X k (n)， 令 n，由中心极限定理即知： )解析：16.设总体 X具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，求 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T 的分布函数为 F T (t)P(Tt)P( X i t)P(X 1 t，X 4 t)P(X 1 t) 4 )解析：17.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为取自 X的简单样本，记 d （分数：2
18、.00）_正确答案：(正确答案： N(0，1)， 得 DX i (1 ) 2 于是 )解析：18.设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70的概率不小于 095，样本容量 n至少应取多大?(1645)095)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知： 09P( 70) 查表得 )解析：19.从一正态总体中抽取容量为 10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4以上的概率为002，求总体的标准差(233)099)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设总体 XN(， 2 )，则 ， 由题意得：002P 4 查表得 233， )解析：20.设总体 XN(， 2 )，从
19、 X中抽得样本 X 1 ，X n ，X n+1 ，记 试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 2 (n1)，且 S n 2 与 X n+1 相互独立，故 )解析：21.设 k个总体 N( i ， 2 )(i1，K)相互独立，从第 i个总体中抽得简单样本：X i1 ，X i2 ， ，记 ，(i：1，k)又记 n ，试求 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 i 2 2 (，n i 1)，i1，2，k 且 1 2 ， k 2 相互独立， )解析：22.设从一总体中抽得样本观测值为：5，3，4，5，6，2，5，3试写出其样本经验分布函数 F * ()（分数：2.00）_正确
20、答案：(正确答案：重排为 2，3，3，4，5，5，5，6n8，则 )解析：23.从总体 XN(0， 2 )中抽得简单样本 X 1 ，X n+m ，求 Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： N(0，1)，i1，nm，且诸 X i 相互独立，故： 又 X i 2 与 X i 2 相互独立，故 )解析：24.设总体 XB(m，p)，其中 m已知，P 未知，从 X中抽得简单样本 X 1 ，X n ，试求 P的矩估计和最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计：EXmp， ，故 ；最大似然估计：似然函数为： 令0，解得 p 故 P的最大似然估计为 )解析：25.设总体的密度为
21、：f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计： 最大似然估计：似然函数为 当 1 ， n 0 时，lnL2nln0ln( 1 n ) 解得 ，故 的最大似然估计为： )解析：26.设 YlnXN(， 2 )，而 X 1 ，X n 为取自总体 X的简单样本，试求 EX的最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EXEe Y 令 YlnX i ，i1，2，nY 1 ，Y n 相当于取自总体 Y中的样本 似然函数 故 和 2 的最大似然估计分别为 故 EX的最大似然估计为 )解析：27.从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 和 n 2 的两个独立样本，
22、样本均值分别记为 和 试证对任意满足 ab1 的常数 a、b，Ta b （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(T)aE bE (ab)，T 为 的无偏估计而 令(DT) a 0，解得 a ， 而(DT) aa 2 0，可见 D(T)在 a 处取得唯一极值且为极小值， 故 a ，b )解析：28.总体 XN(2， 2 )，从 X中抽得简单样本 X 1 ，X n 试推导 2 的置信度为 1 的置信区间若样本值为 18，21，20，19，2218求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2 (6)14449， 0025 2 (6)1237，下分位数)（分数：2.00）_正确答案：
23、(正确答案： 2 (X i 2) 2 2 (n)， 1 故 2 的置信区间为： 对 1095，n6，可算得 ( i 2) 2 014， 故 2 的置信区间为 )解析：29.随机地取某种炮弹 9发做试验，得炮口速度的样本标准差 S11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间 0025 2 (8)2180， 0975 2 (8)17535，下侧分位数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设炮口速度为总体 X，XN(， 2 )，而 n9，005， 的置信下限为 74299， 的置信上限为 )解析：30.一个罐子里装有黑球和自球，黑、白球之比为 R：1，现
24、有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X为所抽的白球数这样做了 n次以后，我们获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求R的最大似然估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，总体 X的分布律为：PXk ，k0，1，2，似然函数为 lnL i ln(R1)nlnRln(R1) 令 0，解得 R ，故R的最大似然估计 为 )解析：31.用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16 kgmm 2 为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平 005，问改变方法后零件
25、强度的方差是否发生了变化?( 0975 2 (8)17535， 0025 2 (8)2180，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设零件强度为总体 X，则 XN(， 2 )，检验 H 0 ： 2 16 2 拒绝域为 并 2 (n1)，这里 0 2 16 2 ，n9，算得 53， 2 390625， 故 (n1)2180 2 17535 )解析：32.一批矿砂的 4个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)58409，下侧分位数)（分数：2.00）_正确答案
26、：(正确答案：设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2 )，检验 H 0 ： 0 这儿 0 326，n4，拒绝域为： 可算得 325，S001， 故 0 001， 58409 002920， 可见 )解析：33.用两种方案进行某种产品的销售，得部分销售量为： A 方案：140，138，143，142，144，139； B 方案：135，140，142，136135，140 设两种方案下的销售量均服从正态分布，试在 005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)2228，F 0975 (5，5)715，下侧分位数提示：先检验方差相等)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A、B 方案下的销售量分别为总体 X和 Y，则 XN( 1 ， 1 2 )，YN( 2 ， 2 2 ) 先检验 H 0 ： 1 2 2 2 ， 拒绝域为 F (n1，m1)，并 F (n1，m1) 这里算得 S 2 56，S y 2 92，F0608 7， 故 (n1，m1)F (n1，m1)，接受 H 0 ； 又检验 H 0 ： 1 2 ，拒绝域为 而 nm6， 141， 138，故 3，而 )解析：
