1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 70及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.对事件 A，B，已知 P( A) ，P(B ) ，P(AB) （分数：2.00）填空项 1:_2.对事件 A、B，已知 P( B)075，P( )08，P(B)03，则 P(A) 1，P(AB) 2，P( ) 3，P(AB) 4，P(BA) 5，P(A （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_3.某城市共有 N辆汽车，车牌号码从 1到 N有一人将他所遇到的该城市的行辆汽车的车牌号码(可能有重复
2、的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_4.设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件：ABC ，P(A)P(B)P(C) ，P(ABC)（分数：2.00）填空项 1:_5.设在 3次独立试验中，事件 A出现的概率均相等且 A至少出现一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_6.设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 P(A)P(B)P(C) ，P(AB)0，P(AC)P(BC) （分数：2.00）填空项
3、1:_二、解答题(总题数：24，分数：48.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_9.设 A，B，C 为事件，用它们来表示下列事件： (1)仅 A发生； (2)A，B，C 不都发生； (3)A，B，C 都不发生； (4)A，B，C 恰一个发生（分数：2.00）_10.从 6双不同的手套中任取 4只，求 (1)恰有一双配对的概率； (2)至少有 2只可配成一双的概率（分数：2.00）_11.一袋中装有 N1 只黑球及 1只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换人一只黑球，这样继续下去、问第 k次取出的是黑球的概率是多少?（分数：2.00）_12.将 n个同样的
4、盒子和 n只同样的小球分别编号为 1，2，n把这，n 只小球随机地投入 n个盒子中，每个盒子中投入一只小球问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?（分数：2.00）_13.对目标进行三次独立炮击第一次命中率为 04，第二次命中率为 05，第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02，中两弹被击毁的概率为 06，中三弹被击毁的概率为 08 (1)求目标被击毁的概率； (2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率（分数：2.00）_14.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5的结果出现在它们的点数和为7的结果之前的概率（分数：2.00）_15.乒乓球比赛采
5、用 5局 3胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为 06，且前 2局皆为甲胜求甲最终赢得比赛胜利的概率（分数：2.00）_16.设袋中有 7红 6白 13个球，现从中随机取 5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这 5个球为 3红 2白的概率(写出计算式即可)（分数：2.00）_17.乒乓球盒中有 15个球，其中有 9只新球和 6只旧球第一次比赛时任取 3只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)第二次比赛时也任取 3只球，求此 3只球均为新球的概率(写出计算式即可)（分数：2.00）_18.3架飞机(其中有 1架长机和 2架僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地各机通
6、过高炮阵地的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功求最终轰炸成功的概率（分数：2.00）_19.设 X和 Y独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求 （分数：2.00）_20.设区域 D 1 为以(0，0)，(1，1)，(0， )，( ，1)为顶点的四边形，D 2 为以( ，0)，(1，0)，(1， （分数：2.00）_21.设 X与 Y独立同分布，P(X1)P(0，1)，P(X0)1P，令 （分数：2.00）_22.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，都服从指数分布，参数分别为 1 ， 2 ， 3 (均为正)，求PXmi
7、n(X，Y，Z)（分数：2.00）_23.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_24.函数 F(，y) （分数：2.00）_25.设 XN(0，1)，当给定 X 时，YN(，1 2 )，(01)求(X，Y)的分布以及给定 Yy时，X 的条件分布（分数：2.00）_26.证明：(1)若随机变量 X只取一个值 a，则 X与任一随机变量 Y独立；(2)若随机变量 X与自己独立，则存在 C，使得 P(XC)1（分数：2.00）_27.设(X，Y)的分布函数为： F(，Y)A(Barctan )(Carctan （分数：2.00）_28.设 X的密度为 f() （分数：2.00）_29.
8、某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现其中有次品，则作一次记录(否则不记录)设 X为一天中作记录的次数，写出 X的分布列（分数：2.00）_30.设 X与 Y独立且 XN(， 2 )，Y 服从 IX间，上的均匀分布，求 ZXY 的密度 f Z (z)（分数：2.00）_31.设在时间 t(分钟)内，通过某路口的汽车数服从参数为 t 的泊松分布已知 1分钟内没有汽车通过的概率为 02，求在 2分钟内有至少 1辆汽车通过的概率（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 70答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一
9、、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.对事件 A，B，已知 P( A) ，P(B ) ，P(AB) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 得 P(A) ，又由 得 P(B)2.对事件 A、B，已知 P( B)075，P( )08，P(B)03，则 P(A) 1，P(AB) 2，P( ) 3，P(AB) 4，P(BA) 5，P(A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：045）填空项 1:_ （正确答案：02）填空项 1:_ （正确答案：045）填空项 1:_ （正确答案：025）填空项 1:_ （正确答案：01）填空项 1:_ （正
10、确答案：09）解析：解析：08P( )1P(AB)，P(AB)02， 又075P( B)1P( )1P(A )1P(A)P(AB)1P(A)02， 得 P(A)045， 可得 P( )1P(AB)1P(A)P(B)P(AB)1(0450302)045， P(AB)P(A)P(AB)025，P(BA)P(B)P(AB)01， P(A )1P(3.某城市共有 N辆汽车，车牌号码从 1到 N有一人将他所遇到的该城市的行辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*
11、）解析：4.设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件：ABC ，P(A)P(B)P(C) ，P(ABC)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 P(A)，则 P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)33 2 ，解得 5.设在 3次独立试验中，事件 A出现的概率均相等且 A至少出现一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 1次试验中 A出现的概率为 p，则 PA 至少出现 1次1PA 出现 0次1C 3 0 .p 0 .(1P) 3-0 1(1p 3 )，故 p 6.设甲、乙
12、两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A甲击中目标，B乙击中目标，C目标被击中，则 P(C)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0605060508，所求概率为 P(AC) ，注意 A C，P(AC)P(A)06，故 P(AC)7.设 P(A)P(B)P(C) ，P(AB)0，P(AC)P(BC) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P( )1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)1二、解答
13、题(总题数：24，分数：48.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：9.设 A，B，C 为事件，用它们来表示下列事件： (1)仅 A发生； (2)A，B，C 不都发生； (3)A，B，C 都不发生； (4)A，B，C 恰一个发生（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.从 6双不同的手套中任取 4只，求 (1)恰有一双配对的概率； (2)至少有 2只可配成一双的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.一袋中装有 N1 只黑球及 1只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换人一只黑球，这样继续下去、问第 k次取出的是黑
14、球的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i 第 i次取得黑球，i1，2，k，则 A 1 A 2 A k-1 ， 故 A 1 A 2 A k-1 ， P( )P(A 1 A 1 )P( A 1 A k1 )P(A k-1 A 1 A k-2 )P(A 2 A 1 )P(A 1 ) ， 得 P(A k )1P( )1 )解析：12.将 n个同样的盒子和 n只同样的小球分别编号为 1，2，n把这，n 只小球随机地投入 n个盒子中，每个盒子中投入一只小球问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i i 号小球投人到
15、i号盒中，i1，2，n则 所求概率为 )解析：13.对目标进行三次独立炮击第一次命中率为 04，第二次命中率为 05，第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02，中两弹被击毁的概率为 06，中三弹被击毁的概率为 08 (1)求目标被击毁的概率； (2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记 A i 第 i次射击时击中目标(i1，2，3)，B目标被击毁，则 02(040503060503060507)06(040503040507060507)08040507043； (2)P(A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 B) )解析：
16、14.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5的结果出现在它们的点数和为7的结果之前的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i 第 i次抛时点数之和为 5，B i 第 i次抛时点数之和为 7， 则P(A i ) ，P(B i ) ， 而 A 1 B 1 ，P( )1P(A i B i )1P(A i )P(B i ) ，i1，2， 又记 C 1 A 1 ，C k A k ，(k2，3，) 而诸 A i ，A j ，B k ，B l (在 i，j，k，l 互不相等时)相互独立， 故 P(C k ) ，(k1，2，) 注意诸 C k 两两不相容，故所求概率为
17、 )解析：15.乒乓球比赛采用 5局 3胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为 06，且前 2局皆为甲胜求甲最终赢得比赛胜利的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i 第 i局甲胜，i3，4，5所求概率为 P(A 3 A 4 A 5 )1P( )1 )解析：16.设袋中有 7红 6白 13个球，现从中随机取 5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这 5个球为 3红 2白的概率(写出计算式即可)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.乒乓球盒中有 15个球，其中有 9只新球和 6只旧球第一次比赛时任取 3只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)第
18、二次比赛时也任取 3只球，求此 3只球均为新球的概率(写出计算式即可)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i 第 1次取的 3只球中有 i只新球， B第 2次取的 3只球均为新球，则 P(A i ) ， P(BA i ) ，i0，1，2，3 则 P(B) P(BA i )P(A i ) )解析：18.3架飞机(其中有 1架长机和 2架僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地各机通过高炮阵地的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功求最终轰炸成功的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设长机为 A，另 2
19、架僚机分别为 B、C，记 A 1 A 通过高炮阵地，B 1 B 通过高炮阵地，C 1 C 通过高炮阵地，A 2 A 轰炸成功，D最终轰炸成功，由题意 ，得 0208P( A 1 )， 又 P( A 1 P( A 2 A 1 )P( A 1 )0 07P( )，又 )解析：19.设 X和 Y独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，(X，Y)的概率密度为 则 F(u)P(u)P( u) U0 时，F(u)0； U0 时，F(u)1； 0u 时，F(u) 其中 G见图 1中阴影部分； 其中 D见图 2中阴影部分 )解析：20.设区域 D
20、1 为以(0，0)，(1，1)，(0， )，( ，1)为顶点的四边形，D 2 为以( ，0)，(1，0)，(1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易算得 D 1 的面积为 ，D 2 的面积为 ，故 D的面积为 ， (X，Y)的概率密度为 f X () f(，y)dy 当 0 或 1 时，f ()0； 当 0 时，f X () 2dy1 当 1 时，f X () 2dy 1 2dy1 而 f Y (y) f(，y)d 当 y0 或 y1 时，f Y (y)0； 当 0y 时，f Y (y) 0 y 2d 2d1； 当 y1 时，f Y (y) 2d1故 )解析：21.设 X与 Y独立同
21、分布，P(X1)P(0，1)，P(X0)1P，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(Z0)P(XY1)P(X0，Y1)P(X1，Y0)2p(1p) P(Z1)P(XY0)P(XY1)P(X0，Y0)P(X1，Y1)(1p) 2 P 2 而 P(X0，Z0)P(X0，Y1)P(X0)P(Y1)P(1p) 如果 P(X0，Z0)P(X0)P(Z0)，则须 p(1P)(1p).2p(1p) 解得 p 不难验算出，p 时，P(X0，Z1)P(X0)P(Z1) ，P(X1，Z0)P(X1)P(Z0) ，P(X1，Z1)P(X1)P(Z1) 故知当且仅当 P )解析：22.设随机变量 X，Y，
22、Z 相互独立，都服从指数分布，参数分别为 1 ， 2 ， 3 (均为正)，求PXmin(X，Y，Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为 PXmin(X，Y，Z)PXY，XZ (，y，z)ddydz )解析：23.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 X的边缘密度为 f X () f(，y)dy 若1，则 f X ()0；若1，则 f X () 关于 Y的边缘密度为 f Y (y) f(，y)d 若y1，则 f Y (y)0；若y1，则 f Y (y) 即 X与 Y不独立 而(X，Y)的分布函数为 F(，y
23、)PX，yy 当 0 或 y0 时，F(，y)0； 当 0，y0 时，F(，y)PX，yYy du y y f(u，v)dv 当1，y1 时，F(，y) 1 1 du 1 1 dv1： 当 01，y1 时，F(，y) du dv； 当 1，0y1 时，F(，y) 1 1 du y y dvy； 当 01，0y1 时，F(，y) du y y dvy故 于是，关于X的(边缘)分布函数为： 而关于y的(边缘)分布函数为： 可见 F X ().F y (y)F(，y) )解析：24.函数 F(，y) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ac0，bd2，则 ab，cd，但 F(b，d)F(a
24、，d)F(b，f)F(a，c)111010，可见 F(，y)不是随机变量的分布函数)解析：25.设 XN(0，1)，当给定 X 时，YN(，1 2 )，(01)求(X，Y)的分布以及给定 Yy时，X 的条件分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 的概率密度为 () ， 而已知 X 条件下，Y 的条件概率密度为 f YX (y) ， 故(X，Y)的概率密度为 f(，y)()f YX (y) ， 可见(X，Y)服从二维正态分布，且 EXEY0，DXDY1，(X，Y)的相关系数为 故 YN(0，1)，Y的概率密度为 (y)， 故 Yy 的条件下 X的条件概率密度为 f XY (y)
25、 )解析：26.证明：(1)若随机变量 X只取一个值 a，则 X与任一随机变量 Y独立；(2)若随机变量 X与自己独立，则存在 C，使得 P(XC)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)a 时，P(X)0， 故 P(X，Yy)P(X)P(Yy)0；a时，P(X)1， 故 P(X，Yy)P(Yy)P(X)P(Yy) yR 1 即 y(，y)R 1 ，有 P(X，Yy)P(X)P(Yy)，即 X与 Y独立； (2)由已知得： (，y)R 2 ，有 P(X，Yy)P(X)P(Yy)，记 X的分布函数为 F()，则 F()P(X) 前式中令 y即得 F()F() 2 ，可见 F(z)只能取
26、 0或 1，又由 F()0，F()1，知必存在 C(常数)，使得 )解析：27.设(X，Y)的分布函数为： F(，Y)A(Barctan )(Carctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)0F(，y)A(B )(Carctan )， yR 1 ，0F(，)A(Barctan )(C )， R 1 ，1F(，)A(B )(C ) 上边 3式联立可解得 A ，BC ； (2)(X，Y)的概率密度为 f(，y) (3)关于 X的边缘分布函数为 F X ()F(，) ，R 1 ， 关于 Y的边缘分布函数为 F Y (y)F(，y) ，yR 1 ， 故关于 X的边缘概率密度为 f X
27、()F X () ，R 1 ， 关于 Y的边缘概率密度为 f Y (y)F Y (y) )解析：28.设 X的密度为 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： Y的分布函数为 F Y (y)PYyPe X y 显然，y0 时，F Y (y)0，y1 时，F Y (y)1，这时 f Y (y)F Y (y)0； 当 0y1 时，F Y (y)PXlnyPXlny1P(lnyXlny1 lny -lny f()d， 则 f Y (y)F Y (y)f(lny)( f(lny). f(lny)f(lny)， 注意到 f()是一偶函数， 故 f Y (y) f(lny) 即 f Y (y)
28、)解析：29.某种产品的次品率为 01，检验员每天独立地检验 6次，每次有放回地取 10件产品进行检验，若发现其中有次品，则作一次记录(否则不记录)设 X为一天中作记录的次数，写出 X的分布列（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设检验员取出的 10件产品中有 Y件次品，则 YB(10，01)(即 Y服从参数为(10，01)的二项分布)，而 XB(6，P)。 其中 PPY11PY0PY11C 10 0 .01 0 .09 10-0 C 10 1 .01 1 .09 10-1 02639，故 P(Xk)C 6 k 02639 k 07361 6-k ，k0，1，2，6)解析：30.设 X与
29、Y独立且 XN(， 2 )，Y 服从 IX间，上的均匀分布，求 ZXY 的密度 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 的概率密度为 f X () ，Y 的概翠密度为 故 f Z (z) f X (zy)f Y (y)dy 作代换， (这是 y与 t的变换)，则 )解析：31.设在时间 t(分钟)内，通过某路口的汽车数服从参数为 t 的泊松分布已知 1分钟内没有汽车通过的概率为 02，求在 2分钟内有至少 1辆汽车通过的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t分钟内通过该路口的汽车数为 X(t)， 则由题意知 02P(X(1)0) e ，ln5， 故 PX(2)11PX(2)01 e .2 1e 2ln5 1 )解析：
