1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 67及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（分数：2.00）A.X 2 B.XYC.X+YD.(X，Y)3.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是（分数：2.00）A.maxF X (x)，F Y (z)B.F X (z)
2、+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z)D.4.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 （分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.C.D.5.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 y)未必服从正态分布6.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不
3、同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布7.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PXY0=C.Pmax(X，Y)0=D.Pmin(X，Y)0=8.设随机变量 X和 Y的联合概率分布服从 G=(x，y)x 2 +y 2 r 2 上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（分数：2.00）A.随机变量 XB.随机变量 X+YC.随机变量 YD.Y关于 X=1的条件分布二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设随机变量 X与 Y相互独
4、立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_10.假设随机变量 X与 Y相互独立，且 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_11.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.袋中有大小相同的 10个球，其中 6个红
5、球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下： （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中 a，b，c 为常数，且 EXY=一 01，PX0Y2= （分数：6.00）(1).a，b，c 之值；（分数：2.00）_(2).Z的概率分布；（分数：2.00）_(3).PZ=X与 PZ=Y（分数：2.00）_假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布记 （分数：4.00）(1).求 U和 V的联合分布；（分数：2.00）_(2).求 U和 V的相关系数 （分数：2.00）_16.设二维随机变量(X，Y)在区域 D
6、=(x，y)0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性（分数：2.00）_设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：6.00）(1).试求 X的概率密度 f(x)；（分数：2.00）_(2).试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；（分数：2.00）_(3).求条件概率 PY1X05（分数：2.00）_17.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，其中 D=(x，y)x+y1，x 一 y1，求 X的边缘密度 f X (x)与在 X=0条件下，关于 Y的条件密度 f YX (y0)（分数：2.00）_18.已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=X
7、Y的概率分布； ()记 U 1 =XY，V 1 = （分数：2.00）_19.随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=XY的概率密度 f V (v)（分数：2.00）_设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为 （分数：6.00）(1).常数 k 1 ，k 2 的值；（分数：2.00）_(2).X i ，Y i (i=1，2)的边缘概率密度；（分数：2.00）_(3).PX i 2Y i (i=1，2)（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 67答案解析(总分：
8、58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（分数：2.00）A.X 2 B.XYC.X+YD.(X，Y) 解析：解析：从前面题的 Y 4 =X 2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y 与 XY都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知，(X，Y)的联合密度 F(x，y)= 3.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F
9、Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是（分数：2.00）A.maxF X (x)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z)C.F X (z)F Y (z) D.解析：解析：F Z (z)=Pmax(X，Y)z=PXz，Yz =PXzPyz=F X (z)F Y (z)， 应选C4.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 （分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.C.D. 解析：解析：由题意知 X 1 为离散型随机变量，其分布律为 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2
10、xX 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 xX 1 =1 = 5.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，一 y)未必服从正态分布 解析：解析：(A)不成立，例如，若 Y=一 X，则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立，因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价故应选 D虽然随机变量 X和一 Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，
11、故(X，一 Y)未必服从正态分布6.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =一 1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析：解析：由题设知 X 1 X 2 可取一 1，1，且 PX 1 X 2 =一 1=PX 1 =一 1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =一 1 =PX 1 =一 1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =一 1 = 又 PX 1 =
12、一 1，X 1 X 2 =一 1：PX 1 =一 1，X 2 =1= 。 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 7.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PXY0=C.Pmax(X，Y)0=D.Pmin(X，Y)0= 解析：解析：由题设知(X，Y)的概率密度函数为 由于 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0= f(x，y)dxdy， = 0 1 dx 0 1 ， 故选 D 因 Pmax(X，Y)0=1 一 Pmax(X，Y)0=1一 P；X0，Y0 8.设随机变量 X和 Y的联合概率分布服从 G=(x，
13、y)x 2 +y 2 r 2 上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（分数：2.00）A.随机变量 XB.随机变量 X+YC.随机变量 YD.Y关于 X=1的条件分布 解析：解析：排除法依题设，由于 X，Y 对称，A 和 C会同时成立，故应排除或利用计算，随机变量X和 Y的联合概率密度为 当xr 时，显然 f X (x)=0；当xr 时，有 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 Z也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，
14、Y)=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= ， PZ=1=1 一 PZ=0= 于是 Z的分布律为10.假设随机变量 X与 Y相互独立，且 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： Z=X+Y的可能取值为一 2，一 1，0，1，2由于 PZ=一 2=PX+Y=一 2=PX=1，Y=一 3=PX=1PY=一 3 = 类似地，PZ=一 1=PX+Y=一 1=PX=1，Y=一 2+PX=2，Y=一 3 = ， PZ=0=PX+Y=0 =PX=1，Y=一 1+PX=2，Y=一 2+PX=3，Y=一 3 = ， PZ=1=PX=2PY=一 1+PX=3PY=
15、一 2 = ， PZ=2=PX=3PY=1= ， 于是 Z的分布律为11.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且 PX=i= ，i=1，2，3，4条件概率 PY=2X=1=0，PY=2X=i= ，i=2，3，4根据全概率公式12.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数：F(x)=F(x
16、，+)=F(x，1)，因此13.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：10，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.袋中有大小相同的 10个球，其中 6个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) ()有放回抽取，由于 X与 Y相互独立，则 PX=i，Y=j=PX=i
17、PY=j，i，j=0，1， PX=0，Y=0=PX=0PY=0=04 2 =016， PX=0，Y=1=PX=0PY=1=0406=024， PX=1，Y=0=PX=1PY=0=0604=024， PX=1，Y=1=PX=1PY=1=06 2 =036 ()不放回抽取， PX=i，Y=j=PX=iPY=jX=i，i，j=0，1， PX=0，Y=0=PX=0PY=0X=0= ， P(X=0，Y=1=P(X=0PY=1X=0= ， PX=1，Y=0=PX=1PY=0X=1= ， PX=1，Y=1=PX=1PY=1X=1= ， )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中 a，b，c 为常数，
18、且 EXY=一 01，PX0Y2= （分数：6.00）(1).a，b，c 之值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由联合分布性质，有 01+a+02+b+02+01+c=1，即 a+b+c=04 由EXY=一 012a 一 06+02+3c=一 013c 一 2a=04 由 PX0Y2= ，得 3a 一5c=一 07 联立，解方程组 )解析：(2).Z的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的联合分布 及 Z=X+Y，可知 Z的取值为 0，1，2，3，4由于 PZ=0=PX=一 1，Y=1=01， PZ=1=PX=0，Y=1+PX=一 1，Y=2=01+01=
19、02 PZ=2=PX=0，Y=2+Px=一 1，Y=3+PX=1，Y=1=02+02=04 PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1，Y=2=01， PZ=4=PX=1，Y=3=02， 从而得 Z的概率分布为 )解析：(3).PZ=X与 PZ=Y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X，Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03 PZ=X=PX+Y=X=PY=0=P( )解析：假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布记 （分数：4.00）(1).求 U和 V的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(U，V)是二维离散型随
20、机变量，只取(0，0)，(1，0)(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXY，X2Y=PXY= ， PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= ， PU=1，V=PXY，X2Y=PX2Y= 于是(X，Y)的联合分布为 )解析：(2).求 U和 V的相关系数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从()中分布表看出 )解析：16.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意， )解析：设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：6.00）(1).试求 X的概率密度
21、f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易见，当 x (0，1)时 f(x)=0；对于 0x1，有 f(x)= - + f(x)= )解析：(2).试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：事件“X 大于 Y”的概率 )解析：(3).求条件概率 PY1X05（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件概率 )解析：17.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，其中 D=(x，y)x+y1，x 一 y1，求 X的边缘密度 f X (x)与在 X=0条件下，关于 Y的条件密度 f YX (y0)（分数：2.00）_正确答案：(正
22、确答案：从图 32 可知，区域 D是以(一 1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一 1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积 S D =2，因此(X，Y)的联合密度是 根据公式 f YX (yx)= (f(x)0)，当 x=0时，有 f YX (yx)=f YX (y0)= )解析：18.已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY的概率分布； ()记 U 1 =XY，V 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()应用矩阵法求解，由题设得 由此即得：()Z=XY 的概率分布 ()(U 1 ，V 1 )的概率分布为 ()(U 2 ，V 2 )的概率分布为 U 2 V 2 的概率分
23、布为 )解析：19.随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=XY的概率密度 f V (v)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X与 Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度 ()分布函数法由题设知(X，Y)联合概率密度 f(x，y)=f X (x)f Y (y)=所以 U=XY的分布函数为(如图 33) F U (u)=PXYu= f(x，y)dxdy 当 u0 时，F U (u)=0；当 u1 时，F U (u)=1；当 0u1 时， F U (u)=
24、0 u dx 0 1 dy+ u 1 dx dx=uulnu 综上得 ()分布函数法由题设知 所以 V=XY的分布函数 F V (v)=PXYv 当 v0 时，F V (v)=0；当 v0 时， F V (v)=PXYv=P一 vXYv = f(x，y)dxdy 由图 34 知，当 v1 时，F V (v)=1；当 0v1 时， F V (v)= f(x，y)dxdy=D的面积 =12 (1v) 2 =1一(1v) 2 ， 其中 D=(x，y)0x1，0y1，x一 yv 综上得 )解析：设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为 （分数：6.00）(1).
25、常数 k 1 ，k 2 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1= - + - + f 1 (x，y)dxdy = 0 + dy 0 + k 1 e(x+y)dx=k 1 ， 得 k 1 =1； 又由 1= - + - + f 2 (x，y)dxdy= 0 + dy y + k 2 e -(x+y) dx = 0 + k 2 edy= ， 得 k 2 =2因此(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的概率密度分别为 )解析：解析：(X i ，Y i )是二维连续型随机变量，在确定其联合概率密度中的未知参数时，应首先考虑用概率密度的性质 - + - + f(x，y)dxdy=1(2).X i ，Y i (i=1，2)的边缘概率密度；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).PX i 2Y i (i=1，2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX 1 2Y 1 = f(x，y)dxdy= 0 + dy 2y + e -(x+y) dx= 0 + e -3y dy= ； PX 2 2Y 2 = f 2 (x，y)dxdy= 0 + dy 2y + 2e -(x+y) dx=2 0 + e -3y dy= )解析：
