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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷66及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷66及答案解析.doc

    1、考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 66及答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.0B.C.D.1一 e -1 3.设离散型随机变量 X的概率分布为 PX=i=cp i ,i=1,2,其中 c0 是常数,则(分数:2.00)A.p=B.p=C.p=c+1D.0p1 的任意实数4.假设随机变量 X服从指数分布,则随机变量 Y=minX,2的分布函数(分数:2.00)A.是连续函数B.至少有两个间

    2、断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点5.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度,则 f(x)一定是(分数:2.00)A.可积函数B.单调函数C.连续函数D.可导函数6.设随机变量 X的概率分布为 PX=k= ,k=0,1,2,则常数 a= (分数:2.00)A.B.C.D.7.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),则随 的增大,概率 PX 一 应该(分数:2.00)A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定8.设随机变量 X服从正态分布 N(,4 2 ),YN(,5 2 ),记 p 1 =PX 一 4,p 2 =PY+5,则(分数:2.00)A.p 1 =p 2 B.p 1

    3、p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知,无法比较 p 1 与 p 2 的大小9.设随机变量 X的密度函数为 f X (x),Y=一 2X+3,则 Y的密度函数为 (分数:2.00)A.B.C.D.10.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数,为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:8,分数:16.00)11.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+1 ,i=0,1,则 p= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设离

    4、散型随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)填空项 1:_13.假设 X是在区间(0,1)内取值的连续型随机变量,而 Y=1X已知 PX029=075,则满足PYk=025 的常数 k= 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_15.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 若 k满足概率等式 PXk= (分数:2.00)填空项 1:_16.设随机变量 X服从正态分布 N(,1),已知 PX3=0975,则 PX一 092= 1(分数:2.00)填空项 1:_17.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 )(0),且二次方程 y 2

    5、+4y+X=0无实根的概率为 05,则 = 1(分数:2.00)填空项 1:_18.设 F(x)是连续型随机变量 X的分布函数,常数 a0,则 - + F(x+a)一 F(x)dz= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:26.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_20.袋中装有大小相同的 10只球,编号为 0,1,2,9从中任取一只,观察其号码,按“大于 5”,“等于 5”,“小于 5”三种情况定义一个随机变量 X,并写出 X的分布律和分布函数(分数:2.00)_21.设随机变量 X在(0,1)上服从均匀分布,现有一常数 a

    6、,任取 X的四个值,已知至少有一个大于 a的概率为 09,问 a是多少?(分数:2.00)_22.将三封信随机地投入编号为 1,2,3,4 的四个邮箱,求没有信的邮箱数 X的概率函数(分数:2.00)_23.向直线上掷一随机点,假设随机点落入区间(一,0,(0,1和(1,+)的概率分别为 02,05和 03,并且随机点在区间(0,1上分布均匀设随机点落入(一,0得 0分,落入(1,+)得 1分,而落入(0,1坐标为 x的点得 x分试求得分 X的分布函数 F(x)(分数:2.00)_24.设随机变量 X服从a,a+2上的均匀分布,对 X进行 3次独立观测,求最多有一次观测值小于 a+1的概率(分

    7、数:2.00)_25.设某一设备由三大部件构成,设备运转时,各部件需调整的概率分别为 01,02,03,若各部件的状态相互独立,求同时需调整的部件数 X的分布函数(分数:2.00)_26.设随机变量 X服从(0,1)上的均匀分布,求下列函数的密度函数: ()Y 1 =ex; ()Y 2 =一2lnX; ()Y 3 = (分数:2.00)_27.设 f(x)是非负随机变量的概率密度,求 Y= (分数:2.00)_28.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0,1),令 Y=X,求 Y的概率密度(分数:2.00)_29.某个人参加跳高项目的及格选拔赛,规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选,但是限

    8、制每人最多只能跳 6次若 6次均未过竿,则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06,求他在测试中所跳次数的概率分布(分数:2.00)_30.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,G(x)是区间0,1上均匀分布的分布函数,证明随机变量Y=G(x)的概率分布不是区间0,1上的均匀分布(分数:2.00)_31.已知随机变量 X的概率密度 (分数:2.00)_考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷 66答案解析(总分:62.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:10,分数:20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设

    9、随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)A.0B.C. D.1一 e -1 解析:解析:由 PX=x=F(x)一 F(x一 0),可知 PX=1=F(1)一 F(1一 0)=1e -1 一 3.设离散型随机变量 X的概率分布为 PX=i=cp i ,i=1,2,其中 c0 是常数,则(分数:2.00)A.p=B.p= C.p=c+1D.0p1 的任意实数解析:解析:排除法:若 0c1,则 p= 0,A 不对因 p=c+11,故 C不对若 c=1,p=4.假设随机变量 X服从指数分布,则随机变量 Y=minX,2的分布函数(分数:2.00)A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶

    10、梯函数D.恰好有一个间断点 解析:解析:由于 Y=minX,2= 所以 Y的分布函数为 5.设 f(x)是连续型随机变量 X的概率密度,则 f(x)一定是(分数:2.00)A.可积函数 B.单调函数C.连续函数D.可导函数解析:解析:根据概率密度的定义,f(x)满足对任何实数 x,F(x)=P(Xx= - 0 f(t)dt,因此 f(x)一定是可积函数,但是 f(x)可以是分段函数,比如:a,b上的均匀分布随机变量 X属连续型,而其概率密度 f(x)在(一,+)内不是单调函数,且在 x=a,b 两点不连续,当然亦不可导,因此不能选B、C、D,应选 A6.设随机变量 X的概率分布为 PX=k=

    11、,k=0,1,2,则常数 a= (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由泊松分布知,PX=k= 当 a(e+1)=1即 a=7.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 ),则随 的增大,概率 PX 一 应该(分数:2.00)A.单调增大B.单调减少C.保持不变 D.增减不定解析:解析:若 XN(, 2 ),则 N(0,1),因此 PX=P 8.设随机变量 X服从正态分布 N(,4 2 ),YN(,5 2 ),记 p 1 =PX 一 4,p 2 =PY+5,则(分数:2.00)A.p 1 =p 2 B.p 1 p 2 C.p 1 p 2 D.因 未知,无法比较 p 1 与 p 2 的大

    12、小解析:解析:p 1 =PX 一 4= =(一 1)=1一 (1), p 2 =PY+5=1PY+5=1 一 9.设随机变量 X的密度函数为 f X (x),Y=一 2X+3,则 Y的密度函数为 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:y=2x+3 是 x的单调可导函数,其反函数 x=h(y)=10.设 F 1 (x)与 F 2 (x)分别是随机变量 X 1 与 X 2 的分布函数,为使 F(x)=aF 1 (x)一 bF 2 (x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:对任何 x,为保证 F(x)a,a 与一 b均应大于

    13、 0,又 F(+)=aF 1 (+)一 bF 2 (+)=a一 b=1,应选 A二、填空题(总题数:8,分数:16.00)11.设离散型随机变量 X的概率函数为 PX=i=p i+1 ,i=0,1,则 p= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于 PX=0+PX=1=p+p 2 =1,所以 p 2 +p一 1=0解得 12.设离散型随机变量 X的分布函数 F(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于分布函数 F(x)只在 x=一 1,0,1 处有 3个间断点,因此离散型随机变量 X与X的概率分布分别为 X的分布

    14、函数 F X (x)为 13.假设 X是在区间(0,1)内取值的连续型随机变量,而 Y=1X已知 PX029=075,则满足PYk=025 的常数 k= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:071)解析:解析:由于 PYk=P1 一 Xk=PX1 一 k=1一 PX1 一 k=025, 可见 PX1 一 k=1025=075 由 PX029=075,得 1 一 k=029,k=07114.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:将 f(x)= 作变换,得 将其与正态分布 N(1,12)的密度比较,可得15.设随机变量 X的概

    15、率密度为 f(x)= 若 k满足概率等式 PXk= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1,3)解析:解析:当 x0 时,PXx=0,PXx=1; 当 x6 时,PXx=1,PXx=0 因此满足 PXk=16.设随机变量 X服从正态分布 N(,1),已知 PX3=0975,则 PX一 092= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0025)解析:解析:由 PX3=17.设随机变量 X服从正态分布 N(, 2 )(0),且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05,则 = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析

    16、:设事件 A表示方程 y 2 +4y+X=0无实根,依题意 P(A)=e164X0=PX4=1 一 =05, 即 18.设 F(x)是连续型随机变量 X的分布函数,常数 a0,则 - + F(x+a)一 F(x)dz= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a)解析:解析: - + F(x+a)一 F(x)dx= - + x x+a f(y)dydx 三、解答题(总题数:13,分数:26.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:20.袋中装有大小相同的 10只球,编号为 0,1,2,9从中任取一只,观察其号码,按“大于 5”,“等

    17、于 5”,“小于 5”三种情况定义一个随机变量 X,并写出 X的分布律和分布函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设随机变量 Y表示从 10个球中任取一只,其球上的号码数,令 则有 PY=i=01,i=0,1,9,PX=0=05,PX=1=01,PX=2=04于是 X的分布函数为 )解析:21.设随机变量 X在(0,1)上服从均匀分布,现有一常数 a,任取 X的四个值,已知至少有一个大于 a的概率为 09,问 a是多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:依题意 0a1 且 PXa=1a,PXa=a,且 a 4 =1一 09=01,a= )解析:22.将三封信随机地投入编号为 1

    18、,2,3,4 的四个邮箱,求没有信的邮箱数 X的概率函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:易见 X是离散型随机变量,其可能取值为 1,2,3,则相应概率分别为 )解析:23.向直线上掷一随机点,假设随机点落入区间(一,0,(0,1和(1,+)的概率分别为 02,05和 03,并且随机点在区间(0,1上分布均匀设随机点落入(一,0得 0分,落入(1,+)得 1分,而落入(0,1坐标为 x的点得 x分试求得分 X的分布函数 F(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:以 H 1 ,H 2 ,H 3 分别表示事件:随机点落入(一,0,(0,1和(1,+),它们构成完备事件组由条件知 P

    19、(H 1 )=02,P(H 2 )=05,P(H 3 )=03 易见 PXxH 1 = PXxH 1 = 于是,由全概率公式即得 F(x)=PXx= P(J k )PXxH k = )解析:24.设随机变量 X服从a,a+2上的均匀分布,对 X进行 3次独立观测,求最多有一次观测值小于 a+1的概率(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 Y表示对 X进行 3次独立观测,其观测值小于 a+1的次数=PXa+1=05, 则 YB(3,05)所求概率为 PY=0+PY=1=05 3 +C 3 1 0505 2 =05)解析:25.设某一设备由三大部件构成,设备运转时,各部件需调整的概率分别为

    20、01,02,03,若各部件的状态相互独立,求同时需调整的部件数 X的分布函数(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X 只取 0,1,2,3 各值,为计算概率 PX=i,i=0,1,2,3,设 A i =第 i个部件需要调整i=1,2,3依题意,A 1 ,A 2 ,A 3 相互独立,且 P(A 1 )=01,P(A 2 )=02,P(A 3 )=03 PX=0= =090807=0504, PX=3=P(A 1 ,A 2 ,A 3 )= P(A 1 ) P(A 2 ) P(A 3 )=010203=0006, PX=1= =010807+090207+090803=0398 PX=2=1 一

    21、 PX=0一 PX=1一 PX=3=0092 于是 X的分布函数 F(x)为 F(x)=PXx= )解析:解析:显然 X是离散型随机变量,为求 X的分布函数 F(x),我们应首先求出 X的分布律,即 X的所有可能取值与相应概率26.设随机变量 X服从(0,1)上的均匀分布,求下列函数的密度函数: ()Y 1 =ex; ()Y 2 =一2lnX; ()Y 3 = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:依题意,X 的概率密度为 f X (x)= ()y=e x 在(0,1)内是 x的单调可导函数,其反函数 x=h(y)=lny的定义域为(1,e),x=h(y)= 0,用公式(216)即得 Y的

    22、概率密度为 ()y=一 2lnx在(0,1)内单调可导,其反函数 x=h(y)= 的定义域为(0,+),h(y)=一1691*0,根据公式(216),Y 3 的概率密度为 ()y= 在(0,1)内单调可导,其反函数x=h(y)= 的定义域为(1,+),当 y1 时,其导数 h(y)= ,应用公式(216),Y 3 的概率密度为 ()y=x 2 在(0,1)内单调可导,其反函数 x=h(y)= 的定义域亦为(0,1),且 h(y)= 0应用公式(216),Y 4 的概率密度为 )解析:27.设 f(x)是非负随机变量的概率密度,求 Y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 X是只取非

    23、负值的随机变量,所以在(0,+)内 y= 是 x的单调可导函数,其反函数 x=h(y)=y 2 的定义域为(0,+),h(y)=2y0,根据公式(216),y= 的概率密度f Y (y)为 )解析:28.设随机变量 X服从标准正态分布 N(0,1),令 Y=X,求 Y的概率密度(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 y0 时,PYy=0;当 y0 时, PYy=PXy=P一 yXy=(y)一 (一 y) 于是 Y的分布函数 F Y (y)为 当 y0 时,F Y (y)=(y)+(一 y)=2(y) Y 的概率密度 f Y (y)为 )解析:29.某个人参加跳高项目的及格选拔赛,规定一旦

    24、跳过指定高度就被认为及格而被入选,但是限制每人最多只能跳 6次若 6次均未过竿,则认定其为落选如果一位参试者在该指定高度的过竿率为 06,求他在测试中所跳次数的概率分布(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设该人在选拔赛中跳的次数为 X,显然 X是一个离散型随机变量,其全部可能取值为 1,2,3,4,5,6,由于各次跳跃过竿与否互不影响,因此有 PX=1=06, PX=2=0406, PX=3=04 2 06,PX=4=04 3 06, PX=5=04 4 06,PX=6=04 5 即 X的概率分布为 )解析:30.设随机变量 X服从参数为 的指数分布,G(x)是区间0,1上均匀分布的分布

    25、函数,证明随机变量Y=G(x)的概率分布不是区间0,1上的均匀分布(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:指数分布的分布函数与区间0,1上均匀分布的分布函数分别为 设 Y=G(x)的分布函数为 H(x),对于分布函数 G(x)易见,当 y0 时, H(y)=PYy=PG(x)y=0; 当 y1 时,H(y)=PYy=PG(x)y=1; 当 0y1 时,H(y)=PYy=PG(x)y=PXy=1e -y 于是,Y=G(x)的分布函数 )解析:31.已知随机变量 X的概率密度 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:直接应用 F(x)=PXx,F Y (y)=PF(x)y求解 ()F(x)=PXx= - x f(t)dt= = ()令 Y=F(x),则由 0F(x)1 及 F(x)为 x的单调不减连续函数知(如图 21),当 y0 时,F Y (y)=0;当 y1 时,F Y (y)=1;当 0y 时, F Y (y)=PF(x)Y=PF(x)0+P0F(x)y 当 y1 时, F Y (Y)=PF(x)y =PF(x)0+P0F(x) F(x)y =0+P0X1+P1XF(y) = 0 1 xdx+ =y, 综上得 F Y (y)= )解析:


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