1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 64及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X与X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)F(x)B.F(x)F(x)C.f(x)f(x)D.f(x)f(x)3.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1) ，P(X1)P(Y1) ，则 Pmin(X，Y)1)( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设(X 1 ，X 2
2、，X n )(n2)为标准正态总体 X的简单随机样本，则( )（分数：2.00）A.nB.nS 2 2 (n)C.t(n1)D.F(1,n1)5.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 ABB 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY 0，则 X，Y 一定相互独立；X和 Y都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值与 样本方
3、差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.从 n阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a 11 的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 XN(0，1)，且 Y9X 2 ，则 Y的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 X表示 12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)E(Y)1，D(X)9，D(Y)1，且 XY （分数：2.00）填空项 1:_12.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X
4、 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Ya(X 1 2X 2 ) 2 b(3X 3 4X 4 ) 2 cX 5 2 ，且 Y 2 (n)，则 a 1，b 2，c 3，n 4（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_13.设 A，B 相互独立，只有 A发生和只有 B发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X和 Y相互独立，且分布函数为 F X (x) ，F Y (y) （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体 X， Y
5、的简单随机样本，则 U （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.一个盒子中 5个红球，5 个白球，现按照如下方式，求取到 2个红球和 2个白球的概率(1)一次性抽取 4个球； (2)逐个抽取，取后无放回； (3)逐个抽取，取后放回（分数：2.00）_18.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x) (1)求常数 A，B； (2)求 X的密度函数 f(x)； (3)求P(X （分数：2.00）_19.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布，首先开动其中一台，
6、当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度（分数：2.00）_20.设随机变量 XU(0，1)YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 ZXY 的概率密度（分数：2.00）_21.在长为 L的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_22.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率（分数：2.00）_23.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k次才拨通对方电话的概率
7、（分数：2.00）_24.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明：Y1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_25.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_26.设随机变量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）_27.设总体 XF(x，) （分数：2.00）_28.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为 来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统
8、计）模拟试卷 64答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设连续型随机变量 X的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X与X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)F(x)B.F(x)F(x)C.f(x)f(x) D.f(x)f(x)解析：解析：F X (x)P(Xx) x f(t)dt， F x (x)P(Xx)P(Xx)1P(Xx)1 x f(t)dt， 因为 X与X 有相同的分布函数，所以 1 f(t)dt1 x
9、f(t)dt， 两边求导数，得 f(x)f(x)，正确答案为(C)3.设 X，Y 为两个随机变量，P(X1，Y1) ，P(X1)P(Y1) ，则 Pmin(X，Y)1)( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 AX1，BY1，则 P(AB) ，P(A)P(B) ， Pmin(X，Y)1)1Pmin(X，Y)1)1P(X1，Y1)1P P(AB)P(A)P(B)P(AB)4.设(X 1 ，X 2 ，X n )(n2)为标准正态总体 X的简单随机样本，则( )（分数：2.00）A.nB.nS 2 2 (n)C.t(n1)D.F(1,n1) 解析：解析：由 X 1 2 2 (1)，
10、 X i 2 2 (n1)，得 5.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 ABB 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：ABB 等价于 ABA，ABA 等价于 AAB，则 A6.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY 0，则 X，Y 一定相互独立；X和 Y都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aXbY 服从一维 正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选(B)7.设总体 X
11、N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值与 样本方差，则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.从 n阶行列式的展开式中任取一项，此项不含 a 11 的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9）解析：解析：n 阶行列式有 n!项，不含 a 11 的项有(n1)(n1)!个，则 9.设随机变量 XN(0，1)，且 Y9X 2 ，则 Y的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f Y (y) ）解析：解析：F Y (y)P
12、(Yy)P(9X 2 y) 当 y0 时，F Y (Y)0； 当 y0 时，F 1 (y)P(Yy)P(9X 2 y)P 所以随机变量 Y的密度函数为 f Y (y) 10.设 X表示 12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：39）解析：解析：XB(12，05)， E(X)6，D(X)3，E(X 2 )D(X)E(X) 2 3363911.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)E(Y)1，D(X)9，D(Y)1，且 XY （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：25）解析：解析：E
13、(X2Y3)E(X)2E(Y)32， D(X2Y3)D(X2Y)D(X)4D(Y)4Cov(X，Y)，由 Cov(X，Y) XY 12.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 为来自正态总体 XN(0，4)的简单随机样本，Ya(X 1 2X 2 ) 2 b(3X 3 4X 4 ) 2 cX 5 2 ，且 Y 2 (n)，则 a 1，b 2，c 3，n 4（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：因为 X 1 2X 2 N(0，20)，3X 3 4X 4 N(
14、0，100)，X 5 N(0，4)， 所以 N(0，1)， 于是 (X 1 2X 2 ) (3X 3 4X 4 ) X 5 2 2 (3)， 故a 13.设 A，B 相互独立，只有 A发生和只有 B发生的概率都是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意得 因为 P(A )P(A)P(AB)，P( B)P(B)P(AB)，所以 P(A)P(B)， 再由独立得 P(A)P 2 (A) 14.设随机变量 X和 Y相互独立，且分布函数为 F X (x) ，F Y (y) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F U (u) ）解析：解析：F
15、U (u)P(Uu)P(XYu)，当 u0 时，F U (u)0； 当 0u1 时，F U (u)P(Uu)P(XYu)P(X0，Yu) P(X0)P(Yu) 当 1u2 时，F U (u)P(X0,Yu)P(X1，Yu1) 当 u2 时，F U (u)1所以 F U (u) 15.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体 X， Y的简单随机样本，则 U （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(9)）解析：解析：由 X 1 X 2 X 9 N(0，81)，得 (X 1 X 2 X 9 )N(0，1)因为
16、Y 1 ，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 1 3) 2 (Y 2 3) 2 (Y 9 3) 2 2 (9)， 三、解答题(总题数：13，分数：26.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.一个盒子中 5个红球，5 个白球，现按照如下方式，求取到 2个红球和 2个白球的概率(1)一次性抽取 4个球； (2)逐个抽取，取后无放回； (3)逐个抽取，取后放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 1 一次性抽取 4个球，其中 2个红球 2个白球，则 (2)设 A 2 逐个抽取 4个球，取后不放回，其中 2个红球 2
17、个白球)，则 (3)设 A 3 逐个抽取 4个球，取后放回，其中 2个红球 2个白球)，则 )解析：18.设连续型随机变量 X的分布函数为 F(x) (1)求常数 A，B； (2)求 X的密度函数 f(x)； (3)求P(X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的， )解析：19.设两台同样的记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布，首先开动其中一台，当发生故障时停用而另一台自动开动求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 X，Y 分别表示两台记录仪先后开动无故障工作的时间，则 TXY，
18、由已知条件得 X，Y 的密度为 f X (x) 当 t0 时，F T (t)0；当 t0 时， F T (t)P(XYt) f(x，y)dxdy f X (x)f Y (y)dxdy 25 0 t e 5x dx 0 tx e 5y dy5 0 t e 5x 1e 5(tx) dx 5 0 t (e 5x e 5t )dx(1e 5t )5te 5t T的密度函数为 f(t) )解析：20.设随机变量 XU(0，1)YE(1)，且 X，Y 相互独立，求随机变量 ZXY 的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：XU(0，1)，YE(1) 因为 X，Y 相互独立，所以 f(x，y)f
19、X (x)f Y (y) 于是 F Z (z)PZzPXYz dxdy 当 z0 时，F Z (z)0； 当 0z1 时，F Z (z) f(x，y)dxdy 0 z dx 0 zx e y dyze z 1； 当 z1 时，F Z (z) f(x,y)dxdy 0 z dx 0 zx e y dye z e 1z 1 所以 F Z (z) )解析：21.在长为 L的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线段在数轴上的区间为0，L，设 X，Y 为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为 UXY，X，Y 的边缘密度为 因为 X，Y 独立，所以(X，Y
20、)的联合密度函数为 f(x，y) 于是 E(U)EXY dx xyf(x，y)dy 0 L dx x L (yx)dy 0 L dx 0 x (xy)dy E(U 2 )EXY 2 dx xy 2 f(x,y)dy ， 则 D(U)E(U 2 )E(U) 2 )解析：22.设总体 XN(，25)，X 1 ，X 2 ，X 100 为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过 15 的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： X i N(， )，总体均值为 E(X)， 则 P 15P )解析：23.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才
21、完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k 第 k次拨通对方电话(k1，2，10)， )解析：24.设随机变量 X服从参数为 2的指数分布，证明：Y1e 2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X服从参数为 2的指数分布，所以其分布函数为 F X (x) Y的分布函数为 F Y (y)P(Yy)P(1e 2X y)， 当 Y0 时，F Y (y)P(X0)0； 当 Y1 时，F Y (y)P(X)1： 当 0y1 时，F Y (y)P(1e 2X y)P(X ln(1y) F
22、X ln(1y)y 即 F Y (y) )解析：25.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Pmax(X，Y)01Pmax(X，Y)01P(X0，Y0) 1P(X0)P(Y0)1e 1 e 2 1e 3 Pmin(X，Y)01Pmin(X，Y)0， 令 AX0，BY0，则min(X，Y)0AB， 于是 Pmin(X，Y)0P(AB)P(A)P(B)P(AB) e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 e 3 故 Pmin(X，Y)01e 1 e 2 e 3 )解析：26.设随机变
23、量 X的密度函数为 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)E(X) xf(x)dx0， D(X)E(X 2 )E(X) 2 x 2 f(x)dx 0 x 2 e x dx(3)2 (2)因为 Cov(X，X)EXXEXEXEXX xxf(x)dx0， 所以 X，X不相关 (3)对任意的 a0，PXa，XaPXa， 而 0P(Xa)1，所以 PXa，XaPXaP(Xa)， 故X，X不相互独立)解析：27.设总体 XF(x，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X 为离散型随机变量，其分布律为 X ，E(X)33 2，令 332 得 的矩估计值为 (2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；)P(X1)P(X1)P(X3) 3 2 (12) 3 ， 得 的最大似然估计值为 )解析：28.设总体 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，(X 1 ，X 2 ，X m )与(Y 1 ，Y 2 ，Y n )分别为 来自总体 X，Y 的简单随机样本证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
