1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 63及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X和 Y为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)F 2 (z)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为
2、某一随机变量的分布函数3.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( )（分数：2.00）A.Pmax(X，Y)0)B.Pmin(X，Y)0)C.P(XY)0)D.P(XY)0)4.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 (1k)X 2 2 X 3 2C.X 1 2 2X 2 2 X 3 2D.5.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)0，则事件 A与任意事件 B独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)1，则事件 A与任意事件 B独立D.若 P(AB)P(A)P(B)，
3、则事件 A，B 互不相容6.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.XY 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X与 Y不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X与 Y相互独立，则 XY 服从正态分布二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设口袋中有 10只红球和 15只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_9.随机变量 X的密度函数为 f(x)ke x (x)，则 E(X 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 x，y
4、 为两个随机变量，D(X)4，D(Y)9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_11.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9的简单随机样本，则 Y （分数：2.00）填空项 1:_12.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 AXY10，BXY，则 P(AB) 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Zmin(X，Y)，则 P(0Z1) 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00
5、）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.袋中有 12只球，其中红球 4个，白球 8个，从中一次抽取 2个球，求下列事件发生的概率：(1)2 个球中 1个是红球 1个是白球；(2)2 个球颜色相同（分数：2.00）_17.有三个盒子，第一个盒子有 4个红球 1个黑球，第二个盒子有 3个红球 2个黑球，第三个盒子有 2个红球 3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3个球，以 X表示红球个数(1)写出 X的分布律； (2)求所取到的红球数不少于 2个的概率（分数：2.00）_18.随机变量(X，Y)的联
6、合密度函数为 f(x,y) (1)求常数 A； (2)求(X，Y)落在区域 x 2 y 2 （分数：2.00）_19.设 X，Y 相互独立，且 XB(3， （分数：2.00）_20.设某箱装有 100件产品，其中一、二、三等品分别为 80件、10 件和 10件，现从中随机抽取一件，记X i （分数：2.00）_21.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 P( （分数：2.00）_22.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00
7、）_23.设随机变量 X的概率密度为 f X (x) （分数：2.00）_24.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_25.设有 20人在某 11层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_26.电话公司有 300台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095？（分数：2.00）_27.设总体 X的概率分布为 (0 （分数：2.00）_28.设总体 X在区间(0，)内服
8、从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 63答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X和 Y为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密
9、度函数C.F 1 (x)F 2 (z)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某一随机变量的分布函数 解析：解析：可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 f(x)dx1，显然(A)不 对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为 分布函数必须满足：(1)0F(x)1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F()0， F()1，显然选择(D)3.设 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布，则( )（分数：2.00）A.Pmax(X，Y)0)B.Pmin(X，Y)0) C.P(XY)0)D.P(XY
10、)0)解析：解析：N 为 X，Y 相互独立且都服从 N(0，4)分布， 所以 XYN(0，8)，从而 P(XY0)，P(XY0) ，故(C)、(D)都不对； Pmax(X，Y)0)1Pmax(X，Y)0)1P(X0，Y0) 1P(X0)P(Y0)， 因为 XN(0，4)，YN(0，4)，所以 P(X0)P(Y0)，从而有 Pmax(X，Y)0 ，(A)不对； Pmin(X，Y)0)P(X0，Y0)P(X0)P(Y0)4.设(X 1 ，X 2 ，X 3 )为来自总体 X的简单随机样本，则下列不是统计量的是( )（分数：2.00）A.B.kX 1 2 (1k)X 2 2 X 3 2 C.X 1 2
11、 2X 2 2 X 3 2D.解析：解析：因为统计量为样本的无参函数，选(B)5.下列命题不正确的是( )（分数：2.00）A.若 P(A)0，则事件 A与任意事件 B独立B.常数与任何随机变量独立C.若 P(A)1，则事件 A与任意事件 B独立D.若 P(AB)P(A)P(B)，则事件 A，B 互不相容 解析：解析：P(A)0 时，因为 AB A，所以 P(AB)0，于是 P(AB)P(A)P(B)，即 A，B 独 立；常数与任何随机变量独立；若 P(A)1，则 P6.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.XY 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C
12、.X与 Y不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X与 Y相互独立，则 XY 服从正态分布 解析：解析：若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选(D)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设口袋中有 10只红球和 15只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 A 1 第一次取红球，A 2 第一次取白球，B第二次取红球， 则 P(B)P(A 1 B)P(A 2 B)P(A 1 )P(BA 1 )P(A 2 )P(BA 2 ) 8.设随机变量 X的分布律为 X
13、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Y 的可能取值为 2，3，6， P(Y2)P(X0) ，P(Y3)P(X1) ， P(Y6)P(X2)P(X2) , 则 Y的分布律为 Y9.随机变量 X的密度函数为 f(x)ke x (x)，则 E(X 2 ) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 f(x)dx1，所以 ke x dx2k 0 e x dx2k1，解得 k ， 于是 E(X 2 ) x 2 f(x)dx 10.设 x，y 为两个随机变量，D(X)4，D(Y)9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确
14、答案：正确答案：36）解析：解析：Cov(X，Y) XY 11.若总体 XN(0，3 2 )，X 1 ，X 2 ，X 9 为来自总体样本容量为 9的简单随机样本，则 Y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：9）解析：解析：因为 X i N(0，3 2 )(i1，2，9)，所以 N(0，1)(i1，2，9)且相互独立， 故 Y 12.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 AXY10，BXY，则 P(AB) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(A)PX4，Y6PX5，Y5)PX6，Y4)3 ， P(B)PX2，Y1PX3，Y1P(
15、X3，Y2)PX4，Y3 PX4，Y2PX4，Y1PX5，Y4PX5，Y3 PX5，Y2PX5，Y1PX6，Y5PX6，Y4 PX6，Y3PX6，Y2PX6，Y1 P(AB)PX6，Y4 ， 则P(AB)P(A)P(B)P(AB)13.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Zmin(X，Y)，则 P(0Z1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 X，Y 在(0，2)上服从均匀分布得 因为 X，Y 相互独立，所以 F Z (z)P(Zz)1P(Zz)1Pmin(X，Y)z1P(Xz，Yz) 1P(Xz)P(Yz)11P(Xz)1P(Yz
16、) 11F X (z)1F Y (z) 于是 P(0Z1)F Z (1)F Z (0)1 14.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.8413）解析：解析：三、解答题(总题数：14，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.袋中有 12只球，其中红球 4个，白球 8个，从中一次抽取 2个球，求下列事件发生的概率：(1)2 个球中 1个是红球 1个是白球；(2)2 个球颜色相同（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1
17、)令 A抽取的 2个球中 1个是红球 1个是白球，则 (2)令 B(抽取的 2个球颜色相同)，则 P(B) )解析：17.有三个盒子，第一个盒子有 4个红球 1个黑球，第二个盒子有 3个红球 2个黑球，第三个盒子有 2个红球 3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取 3个球，以 X表示红球个数(1)写出 X的分布律； (2)求所取到的红球数不少于 2个的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 A k 所取的为第 k个盒子(k1，2，3)，P(A i ) (i1，2，3)，X的可能取值为 0，1，2，3，P(X0)P(X0A 3 )P(A 3 ) ， P(X1)P(X1A 2 )P(
18、A 2 )P(X1A 3 )P(A 3 ) ； P(X2)P(X2A 1 )P(A 1 )P(X2A 2 )P(A 2 )P(X2A 3 )P(A 3 ) ； P(X3)P(X3A 1 )P(A 1 )P(X3A 2 )P(A 2 ) ； 所以 X的分布律为 X )解析：18.随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x,y) (1)求常数 A； (2)求(X，Y)落在区域 x 2 y 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 dx f(x,y)dy (2)令区域 D：x 2 y 2 ，(x，y)落在区域 D内的概率为 )解析：19.设 X，Y 相互独立，且 XB(3， （分数：2.
19、00）_正确答案：(正确答案：P(Uu)Pmax(X，Y)u)PXu，YuP(Xu)P(Yu)， P(U196)P(X196)P(Y196)P(X0)P(X1)P(Y196) (196)04875 P(U1)P(X1)P(Y1) )解析：20.设某箱装有 100件产品，其中一、二、三等品分别为 80件、10 件和 10件，现从中随机抽取一件，记X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(X 1 ，X 2 )的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(X 1 0，X 2 0)P(X 3 1)01， P(X 1 0，X 2 1)P(X 2 1)01， P(X 1
20、1，X 2 0)P(X 1 1)08， P(X 1 1，X 2 1)0 (X 1 ，X 2 )的联合分布律为 E(X 1 )E(X 1 2 )08，E(X 2 )E(X 2 2 )01，E(X 1 X 2 )0， 则 D(X 1 )016，D(X 2 )009，Cov(X 1 ，X 2 )008， 于是 X1X2 )解析：21.设 X 1 ，X 2 ，X 7 是总体 XN(0，4)的简单随机样本，求 P( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 X 1 ，X 2 ，X 7 与总体服从相同的分布且相互独立，得 X i 2 2 (7)， 于是 P( X i 2 64)P( X i 2 64)
21、100250975 查表得 0025 2 (7)16014，故 P( )解析：22.甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为 1小时，若乙停靠，则停靠的时间为 2小时，求它们不需要等候的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲、乙两船到达的时刻分别为 x，y(0x24，0y24)， 则两船不需要等待的充分必要条件是 令 D(x，y)l 0x24，0y24， 则 D 1 (x，y)yx1，xy2，(x，y)D， 则两船不需要等待的概率为 p )解析：23.设随机变量 X的概率密度为 f X (x) （分数：2.00）_正确答案：(正
22、确答案：F Y (y)P(Yy)P(e X y)， 当 Y1 时，X0，F Y (y)0； 当 Y1 时，X0，F Y (y)P(e X y)P(Xlny) lny f X (x)dx 0 lny e x dx，f Y (y) )解析：24.设随机变量 X，Y 相互独立，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 2 )k 2 ( 2 X 3 )k 3 Y 1 0，整理得 (k 1 Yk 3 ) 1 (k 1 k 2 ) 2 Xk 2 3 0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 又 1 2 ， 2 X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即
23、即 1 2 ， 2 X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY0 注意到 X，Y 相互独立，所以 1 2 ， 2 X 3 ，Y 1 线性相关的概率为 P(XY0)P(X0，Y )P(X1，Y0)P(X0，Y0) P(X0)P(Y )P(X1)P(Y0)P(X0)P(Y0) )解析：25.设有 20人在某 11层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用随机变量分解法(从未考过) 设随机变量 X表示停靠的总的次数，令 X i (i2,3,11)， 则 XX 2 X 3 X 11
24、 ，E(X) E(X i ) )解析：26.电话公司有 300台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X i (i1,2,300)，则 X i (i1,2,300) 令 X表示需要使用外线的分机数，则 X E(X)30000618，D(X)300005641692 设至少需要安装 n条外线，由题意及中心极限定理得 P(0Xn) 解得 )解析：27.设总体 X的概率分布为 (0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
25、E(X)0 2 12(1)2 2 3(12)34， (31303123)2，令 E(X) 得参数 的矩估计值为 L() 2 20(1) 2 2 (12) 4 4 6 (1) 2 (12) 4 ， lnL()ln46ln2ln(1)4ln(12)， 得参数 的最大似然估计值为 )解析：28.设总体 X在区间(0，)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体 X在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为 F U (u)P(Uu)Pmax(X 1 ，X 2 ，X 3 uP(X i u，X 2 u，X 3 u) P(X i u)P(X 2 u)P(X 3 u) F V (v)P(Vv)Pmin(X 1 ，X 2 ，X 3 )v)1P(min(X 1 ，X 2 ，X 3 )v) 1P(X 1 v，X 2 v，X 3 v)1P(X 1 v)P(X 2 v)P(X 3 v) 11P(X 1 v)1P(X 2 v)1P(X 3 v) 则 U，V 的密度函数分别为 )解析：
